【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——06 圆（原卷版+解析版）

易错点06 圆

1．  圆的定义及相关概念（圆的圆心、直径、半径、面积、周长）

2．  圆周角、圆心角关系及相关计算

3．  垂径定理运用

4．  与圆有关的位置关系

5．  切线性质判定

6．  弧长、母线长，扇形面积、椎体体积表面积计算

7．  圆的综合应用

在弧、弦、圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件

只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立

（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）下列语句中正确的是（    ）

A．各边相等的多边形是正多边形 B．相等的圆心角所对的弦相等

C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 D．三点确定一个圆

【答案】B

【思路点拨】答案有误，根据正多边形的定义，圆的有关知识进行分析，从而得到答案．

【规范解答】解：A、各边相等，各个内角也相等的多边形是正多边形，故本选项不符合题意；

B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；

C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；

D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．

故选：C．

【考点评析】本题考查了正多边形的定义和圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．

【变式训练01】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为______．

【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，点D是的中点，，则_____．

【变式训练03】（2020秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；

（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．

圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。

（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，正五边形和正三角形都内接于，则的度数为________°．

【答案】48

【思路点拨】答案有误，连接，，，，分别求出正五边形和正三角形的中心角，结合图形计算即可．

【规范解答】解：连接，，，，

∵五边形是正五边形，

∴，

∴，

∵是正三角形，

∴，

∴．

∴的度数为．

故答案为：．

【考点评析】本题考查圆心角和弧之间的关系，正多边形与圆的有关计算．掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．

【变式训练01】经过点A，且．

(1)请判断直线是否是的切线，并说明理由．

(2)若，，求的直径长．

【变式训练02】（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）作图：如图，已知点、和直线．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)在图（1）中，利用尺规在直线上作出点，使得；

(2)在图（2）中，利用尺规在直线上作出点，使得．

【变式训练03】（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．

(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；

(2)在（1）的条件下，若，，求长．

对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类讨论。

（2022秋·江苏盐城·九年级统考阶段练习）如图，半圆O的直径，弦，弦平分，的长为（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【思路点拨】答案有误，连接，，作于E，于F，运用圆周角定理，可证得，即证，所以，根据勾股定理，得，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长．

【规范解答】解：连接，，作于E，于F，

∴, ,

∵,

∴,

∵平分,

∴,

∵，

∴,

∵,

∴，

∴，

∴,

在Rt中，，

在Rt中，．

故选:C．

【考点评析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质、勾股定理．引辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【变式训练01】（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．

【变式训练02】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为5的中，直径的不同侧有定点C和动点P，已知，点P在弧上运动．

(1)当点P与点C关于对称时，求的长；

(2)当点P运动到弧的中点时，求的长；

【变式训练03】（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）是的直径，是上一点，是的内心，．若，则的面积为　　

切线的判定及性质应用。辅助线的作法：运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题

（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）下列命题中：（1）在同一圆中，两条相等的弦所对的圆周角相等；（2）三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；（3）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；（4）过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【思路点拨】答案有误，利用圆的有关知识即可解决问题．

【规范解答】解：（1）在同一圆中，两条相等的弦所对的圆心角相等，圆周角相等或互补，故原命题是假命题；

（2）三角形的内心到三角形三边的距离相等，故原命题是假命题；

（3）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，是真命题；

（4）过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线，是真命题．

故选：B．

【考点评析】本题考查了圆的有关知识，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识，掌握这些性质是解题的关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：中，为边上的一点

(1)如图①，过点作DE//AB交边于点若，，，求的长；

(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不要求写作法

(3)如图③，点在边上，连接、若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．

【变式训练02】（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点

(1)求证：与相切

(2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．

【变式训练03】（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，，当________时，直线与相切．

点和圆，圆和圆位置关系。

（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，则（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【思路点拨】答案有误，如图所示（见详解），连接，根据，，可求出，，根据圆周角于圆心角的关系即可求解．

【规范解答】解：如图所示，连接，

∵，，

∴，则，

∴，

∴，

∴，

故选：．

【考点评析】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，掌握圆的等弦对等弧，等弧对等角，同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半的知识是解题的关键．

【变式训练01】（2021秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，，则等于（）

A．100° B．80° C．140° D．40°

【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，已知中，，．、分别是边、上的点，，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【变式训练03】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是的内接三角形，是它的一个外角，交于点P，仅用直尺按下列要求分别画图：

(1)在图1中，画并标出的中线；

(2)在图2中，画并标出的角平分线；

(3)在图3中，画并标出的外角的角平分线．

圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系，弧长、母线长，扇形面积、椎体体积表面积计算。圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为。注意公式中字母的含义。

（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿21．（2023秋·江苏淮安·九年级校考期末）如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积等于________．（结果保留π）

【答案】

【思路点拨】答案有误，先计算母线长，再根据侧面积等于计算即可．

【规范解答】∵，高，

∴，

∴侧面积为，

故答案为：．

【考点评析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，熟练掌握勾股定理，圆锥侧面积计算公式是解题的关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在中， 以边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是___；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为____．

【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（　　）

A．15π B．24π C．36π D．48π

【变式训练03】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点均落在格点上．

(1)用无刻度直尺画出的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；

(2)用圆规画出的最小覆盖圆，则的半径为     ，      ；

(3)若将扇形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径（结果保留根号）．

与圆有关阴影部分面积计算。注意将阴影部分面积转化成规则图形或者特殊圆周角对应的扇形进行计算，也要注意辅助线作法

（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是_____．（结果用含π的式子表示）

【答案】

【思路点拨】根据的度数和内切圆的性质，得出圆心角的度数即可得出阴影部分的面积．

【规范解答】解：∵是的内切圆，

∴O到，和的距离相等，

∴和分别平分和，

，

，

，

故答案为：．

【考点评析】本题主要考查三角形内切圆的性质，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏·九年级统考期中）如图，将半径为的扇形沿西北方向平移，得到扇形若，则阴影部分的面积为______

【变式训练02】（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上．

(1)将向右平移个单位，得到，试在图中画出；

(2)将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出，并计算在上述旋转过程中线段所扫过的面积．

【变式训练03】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期末）如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足．

(1)求证：是的切线；

(2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积．

圆的综合题。这类题型考查知识点较为综合，圆与四边形、圆与三角形、圆与相似三角形、圆与二次函数等类型。注意各个知识点综合运用

（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，是直径，D是弦延长线上一点，且，的延长线交于点E，求证：．

【答案】证明见解析

【思路点拨】连接，首先证明，推出即可解决问题．

【规范解答】解：如图所示，连接，

∵是的直径，

∴，即，

∵，

∴是线段的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

【考点评析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

【变式训练01】（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）贵州六盘水牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是，洞高约是，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到）．

(2)若，点在弧上，则_______ °．

【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在等腰中，，底边的高与腰上的高相交于点，且，是的外接圆，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)求证：．

【变式训练03】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：

(1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？

(2)如图2，以Q为圆心，为半径作．

①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围．

一、选择题

1．（2022秋·九年级课时练习）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（　　）

A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米

2．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在中，直径，是弦，，点是弦上的动点，则的最小值是(    )

(为此，我校数学兴趣小组的部分同学做了如下探究，如图，过点作，过点作，得，从而，…顺着同学们的思路请你做出正确的选择)

A． B． C． D．

5．（2023·江苏泰州·九年级校考期末）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A．4 B．4.5 C． D．

二、填空题

6．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，点C是的中点，在同侧分别以为直径作半圆、．直线，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点，，设，．当，则y的取值范围是______．

7．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽，凹槽部分最深处，则凹槽所在圆的半径为________cm．

8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．

9．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

10．（2021秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，AB是圆O的直径，将AB绕点B旋转后交圆O于D点，点E是弦BD上一个动点，连接AE并延长交圆O于点F，若圆O的半径为5，则的最小值为_____．

11．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为_____cm．

三、解答题

12．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．

(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；

(2)在（1）的条件下，若，，求长．

13．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若，，是（1）中抛物线上的点，，垂足为，．

①求点的坐标；

②试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置关系，并说明理由．

14．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：

(1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想 ______180°；（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；

(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；

(3)如图3，凸四边形中，对角线长为6，，则四边形面积的最大值是______．

15．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）解答下列问题

(1)如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．

①求证：；

②如图2，连接并延长交小圆于E，连接，若，求的值；

(2)如图3，过内一点P作弦，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）