【上海专用】2023年中考数学易错题汇编——07 函数（原卷版+解析版）

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易错点07 函数




1、 各个待定系数表示的意义。
2、 定义域没有根据题意考虑清楚。
3、 各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。
4、 利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性。
5、 利用函数模型解实际问题。注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。
6、 反比例函数K值得特殊意义及应用。
7、 与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。
8、 数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。


一、单选题
例题1．（2020·上海·九年级统考专题练习）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P坐标为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解析】解：因为点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
所以点P的坐标为（4，-3），
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
例题2．（2021·上海·九年级期末）如果点在轴上，那么点所在的象限是（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【解析】解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
例题3．（2022·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】作出直角坐标系，标记点P，连接OP，过点P作PA⊥x轴，再根据正切的定义求解即可．
【解析】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，

则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了三角函数的定义，解题的关键是根据题意，构造出直角三角形．
例题4．（2021·上海·九年级专题练习）若函数是一次函数，则m的值为（      ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解析】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
例题5．（2022秋·上海奉贤·九年级统考阶段练习）直线的截距是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3．
【答案】D
【分析】令求出的值即可．
【解析】解：∵当时，，
∴直线的截距为3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
例题6．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）已知直线y=kx+b经过第一、三、四象限，那么直线y=bx+k一定不经过（     ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解析】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
例题7．（2021·上海·九年级专题练习）已知点（﹣3，y1）、（1，3）、（2，y2）在一次函数y＝kx+5的图象上，则y1、y2、3的大小关系是（　　）
A．3＜y2＜y1 B．y1＜3＜y2 C．y2＜y1＜3 D．y2＜3＜y1
【答案】D
【分析】首先求出函数解析式，再把（﹣3，y1）、（2，y2）代入可得y1，y2的值，然后可得答案．
【解析】解：∵（1，3）在一次函数y＝kx+5的图象上，
∴3＝k+5，
解得：k＝﹣2，
∴函数解析式为y＝﹣2x+5，
∵点（﹣3，y1）、（2，y2）在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，
∴y1＝6+5＝11，
y2＝﹣4+5＝1，
∵1＜3＜11，
∴y2＜3＜y1，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．
例题8．（2021·上海·九年级专题练习）设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先假设y=ax+b正确，得出a、b的符号，再对y=bx+a的图象进行分析即可．
【解析】解：A、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．
B、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y=bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；
C、假设y=ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y=bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y=ax+b与y=bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠-b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；
D、假设y=ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y=bx+a与y轴的交点在y=ax+b与y轴交点的下方，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
例题9．（2021·上海·九年级专题练习）甲乙两车分别从M，N两地同时出发，匀速相向而行，相遇时，甲比乙多行驶了90千米，相遇后，甲车的速度降为原速度的．设行驶时间为x（小时），两车之间的距离为y千米，图中的折线表示两车出发至甲车到达N地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法：①两地相距450千米；②乙车速度为60千米/小时；③相遇后，甲车速度为60千米/小时；④点C的纵坐标为120，正确的是（   ）

A．①②③ B．①② C．①③ D．①②③④
【答案】A
【分析】求出AB所在直线的解析式，根据图象求出甲和乙的路程和速度逐一判断即可；
【解析】设AB的解析式为，把点，代入得，
，
解得：，
∴解析式为，
∴两地相距450千米，故①正确；
由图可知，甲、乙行驶了3小时后相遇，设乙的速度为x千米/小时，
则，
解得：，故②正确；
甲行驶的路程为（千米），速度为（千米/小时），相遇后速度降为原来的，即（千米/小时），故③正确；
设甲车从相遇到N地用了y小时，则有，
解得，此时乙走了千米，
∴点C的纵坐标为，故④错误；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
例题10．（2021春·上海·九年级校联考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）
A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）
【答案】D
【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
例题11．（2021·上海·九年级专题练习）反比例函数y=的图像如图所示，下列说法正确的是（  ）

A．k>0
B．y 随x的增大而增大
C．若矩形 OABC的面积为2，则
D．若图像上点B的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y的取值范围是y<1
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质以及系数k的几何意义进行判断．
【解析】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；
D、若图象上点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
例题12．（2021·上海·九年级专题练习）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点（2，2）； B．函数图像位于第一、三象限；
C．当时，函数值随着的增大而增大； D．当时，．
【答案】C
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【解析】A、关于反比例函数y=-，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
例题13．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知二次函数的图象如图所示，则、、满足（    ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号．
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在y轴右侧，a，b异号；抛物线与y轴的交点即为c的值．
例题14．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④．
【解析】解：抛物线开口向下，
，
∵，
∴，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，故①符合题意；
，故②符合题意；
观察函数图象，可知：
当时，，
，故③符合题意；
抛物线与轴有2个交点，
，故④符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
例题15．（2021·上海·九年级专题练习）将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解析】解：将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减、上加下减”是解题的关键．
例题16．（2019·上海嘉定·校考二模）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】抛物线的顶点坐标为，开口向上，抛物线绕原点旋转后，开口向下，抛物线的开口大小不变，顶点坐标为，由此即可得．
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上，
则将抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为，开口向下，抛物线的开口大小不变，
所以旋转后的抛物线的解析式为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与旋转变换，解题的关键是熟练掌握抛物线绕某点旋转得到旋转后的抛物线的开口方向相反，开口大小不变．

二、填空题
例题17．（2021·上海·九年级专题练习）点在第四象限，则m的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据第四象限坐标的特点：横坐标是正数，纵坐标是负数，列出不等式解出m的范围即可.
【解析】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故m的取值范围是.
【点睛】本题考查象限点的坐标的符号特征，根据符号建立不等式是解题的关键.
例题18．（2022秋·上海奉贤·九年级统考阶段练习）已知一次函数的函数值随自变量的增大而减小，那么常数的取值范围是 _____．
【答案】##
【分析】根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【解析】解：∵一次函数图象是函数值随自变量的值增大而减小，
∴，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
例题19．（2022秋·上海青浦·九年级统考阶段练习）将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【解析】解：将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
例题20．（2022·上海崇明·统考二模）当时，一次函数的图像不经过第_____象限．
【答案】三
【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可．
【解析】∵，
∴k-1＜0，
∴函数图像一定经过第二、第四象限；
∵b=k＞0，
∴图像与y轴交于正半轴，
∴函数图像一定经过第一象限；
∴函数图像一定不经过第三象限；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握根据k，b判断图像的分布是解题的关键．
例题21．（2022·上海杨浦·校考一模）已知一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】x≤1
【分析】先求出kx+b≤-2，再根据一次函数y=kx+b的图象过点（1，-2），得出y的值小于-2的点都符合条件，从而得出x的解集．
【解析】解：如图，

∵kx+b+2≤0，
∴kx+b≤-2，
∵y=kx+b的图象过点（1，-2），
∴由图象可知y≤-2，
∴kx+b+2≤0的解集是x≤1．
故答案为：x≤1．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，在解题时要注意与函数的图象移动相结合是解题的关键．
例题22．（2021·上海·九年级专题练习）已知函数的图象在每个象限内，的值随的值增大而减小，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象在每个象限内的增减性判断出系数的正负．
【解析】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，的值随的值增大而减小，
∴，即．
故答案是：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的增减性．
例题23．（2021·上海·九年级专题练习）如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_______．（填“”、“ ”或“”）
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质：当时，在图象的每一支上随的增大而增大进行分析即可．
【解析】解：，
在图象的每一支上随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握反比例函数的性质是解决本题的关键．
例题24．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）抛物线在直线右侧的部分是______（从“上升的”或“下降的”中选择）．
【答案】下降的
【分析】只需要求出抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下即可得到答案．
【解析】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下，
∴抛物线在直线右侧的部分是下降的，
故答案为：下降的．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知抛物线开口向下时，在对称轴右侧部分抛物线是下降的是解题的关键．
例题25．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）抛物线与轴的交点坐标是________．
【答案】
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
【解析】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令或即可．
例题26．（2023秋·上海徐汇·九年级上海市第四中学校考期末）如图所示的抛物线的图像，那么的值是________．

【答案】
【分析】把原点坐标代入抛物线解析计算即可求出b的值，再跟进抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后求解即可．
【解析】解：有图可知，抛物线经过原点（），
将（）代入中得，
，
解得：，
∵抛物线的对称轴在轴的右边，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，准确识图判断出函数图像经过原点坐标是解题的关键．

三、解答题
例题27．（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．
【答案】(1)y=x+1
(2)
【解析】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，

设反比例函数解析式为y=，
把A（2，3）代入，得3=，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y=，
当x=6时，则y==1，
∴B（6，1），
∴AB=，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴ACx轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠ABC=．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．
例题28．（2023秋·上海闵行·九年级统考期末）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其顶点坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)将抛物线沿x轴正方向平移个单位后得到的新抛物线的顶点恰好落在反比例函数的图像上，求的余切值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，，用待定系数法即可求解；
（2）由沿轴正方向平移个单位，得，顶点恰好落在反比例函数的图像上，可求出，延长交轴的正半轴于点，在中，即可求解．
【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
由，得，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为．
（2）解：由沿轴正方向平移个单位，得，
又∵顶点恰好落在反比例函数的图像上，
∴．
∴，即，
如图所示，延长交轴的正半轴于点，

得，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，函数图像交点坐标的计算及余切值的计算方法是解题的关键．

1、没有养成解题素养，优先考虑k≠0，a≠0等；
2、解反比例函数时没有考虑在每个象限的增减性；
3、函数图像平移等变换时没有考虑清楚，本末倒置；还有k，a没有考虑进去。

一、单选题
1．（2023秋·上海浦东新·九年级统考期末）已知抛物线，那么它的顶点坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．
【解析】解：由抛物线的顶点式可得：
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
2．（2022秋·上海·八年级统考期末）正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是（     ）
A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布
C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点
【答案】B
【分析】利用正比例函数与反比例函数的性质，对每个选项进行判断后得出结论．
【解析】解：A、对于正比例函数，，函数值随的增大而减小，
对于反比例函数，，双曲线在每一象限内函数值随的增大而增大，
故A选项不符合题意；
B、对于正比例函数，，直线经过第二、四象限，
对于反比例函数，，双曲线的两个分支在第二、四象限，
故B选项符合题意；
C、对于正比例函数，它的图象经过原点，
对于反比例函数，它的图象与坐标轴没有交点，
故C选项不符合题意；
D、当，
正比例函数的图象不经过点．
当时，，
反比例函数的图象经过，
故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征．反比例函数的增减性只指在同一象限内且与正比例函数的图象的性质相反，这是解题的关键．
3．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ）

A．当时， B．方程 的解是
C．当时， D．不等式 的解集是
【答案】C
【分析】根据函数的图象直接进行解答即可．
【解析】解：由函数的图象可知，
当时，，A选项错误，不符合题意；
方程 的解是，B选项错误，不符合题意；
当时，，故C正确，符合题意；
不等式 的解集是，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么一次函数的表达式是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．
【解析】解：∵一次函数的图象与直线平行，
∴可设一次函数解析式为：．
将点代入，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：．
故选B．
【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式．
5．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向可以判断a与0的关系，再通过对称轴的位置，即可判断b与0的关系，由抛物线与x、y轴的交点情况，可以判断与0的关系以及c与0的关系．
【解析】A．由图像可知，开口向上，∴，故本选项正确，不符合题意；
B．由图像可知，函数对称轴，而，∴，故本选项错误，符合题意；
C．由图像可知，二次函数交y轴于正半轴，∴，故本选项正确，不符合题意；
D．由图像可知，二次函数与x轴有两个交点，∴，故本选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（    ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【分析】先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【解析】∵反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，
∴，
∴在二四象限内反比例函数y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出是解答本题的关键．
7．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）关于反比例函数，下列说法中错误的是（    ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析．
【解析】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；
D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内．
8．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数的图像上有三个点：，，，则、、的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图形的性质，对称性即可求解．
【解析】解：∵反比例函数中，，
∴图像经过第二、四象限，当时，，随的增大而增大；当时，，随的增大而增大，
∵，，在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．

二、填空题
9．（2022秋·上海·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点的坐标．
【解析】解：直线与双曲线交于点和点，
两点关于原点对称，
，
故答案为：．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．
10．（2023秋·上海青浦·九年级校考期末）已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则点P的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意，画出图形，过点P作轴于A，根据正切值可知，设设，则，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出，即可求出结论．
【解析】解：如下图所示，过点P作轴于A，

由题意可知：，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）
∴，
∴点P的坐标为
故答案为：．
【点睛】此题考查的是解直角三角形和求点的坐标，掌握利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形是解题关键．
11．（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）函数的定义域是________.
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件列出不等式即可求解．
【解析】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解题的关键．
12．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）抛物线在直线右侧的部分是______（从“上升的”或“下降的”中选择）．
【答案】下降的
【分析】只需要求出抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下即可得到答案．
【解析】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下，
∴抛物线在直线右侧的部分是下降的，
故答案为：下降的．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知抛物线开口向下时，在对称轴右侧部分抛物线是下降的是解题的关键．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）已知反比例函数经过点和点B，B在x轴正半轴上，且，则点B的坐标是 ___________．
【答案】
【分析】由题意可求得的长，进而求得点B的坐标，
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B在x轴正半轴上，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，求点的坐标，关键是求得的长．
14．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是______．

【答案】
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解析】解：根据函数图可知：
函数和的图象交于点P的坐标是，
所以的解为，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．

三、解答题
15．（2023秋·上海徐汇·九年级校联考期末）在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移前的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解．
【解析】（1）将点和点代入解析式得到：
，
∴，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）∵，
∴该图象的顶点为，与y轴的交点为，
将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，
则函数图象向上平移了m个单位，
∴平移后顶点M的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律．
16．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）已知抛物线经过点，顶点为点B．
(1)求抛物线的表达式及顶点B的坐标；
(2)将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，求．
【答案】(1)，
(2)3

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据二次函数图象平移的规律求出点C的坐标，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，最后根据三角形面积公式求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线顶点B的坐标为；
（2）解：∵将抛物线向上平移1个单位再向左平移1个单位，平移后抛物线顶点记为C点，
∴点C的坐标为，
∴,,，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
17．（2021·上海·九年级期末）在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象相交于横坐标为3的点A．

(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如图，已知点在这个一次函数的图象上，点在反比例函数（）的图象上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点.如果点恰好是的中点，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上求出点A坐标为，再代入，求出，问题得解；
（2）设点，则点，根据点在反比例函数（）的图象上，求出，，根据点在第一象限内，即可求出点的坐标为．
【解析】（1）解：∵横坐标为3的点A在反比例函数（）的图象上，
∴将代入得，
点A的坐标为，
∵点A在直线上，
∴，
，
一次函数的解析式为；
（2）解：设点，
∵点是的中点，
∴点，
点在反比例函数（）的图象上，
，
解得，，
点在第一象限内，
点的坐标为．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，理解线段中点的坐标特点与函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
18．（2022·上海·九年级专题练习）抛物线与x轴正半轴交于A点，在抛物线上，交y轴于D点，抛物线沿射线方向平移个单位，求平移后的解析式．
【答案】
【分析】先求得点、，再求得直线的表达式为，得到点，计算出，即抛物线沿射线方向平移个单位相当于先向左平移个单位，再向下平移个单位，据此可求得平移后的抛物线的解析式
【解析】解：由，
解得：，，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
将点、代入得：，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，且，
∴，，，
∴，
∴点A沿射线方向平移个单位后与点D重合，即点A平移到点D，
∴抛物线沿射线方向平移个单位相当于先向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后的抛物线解析式为：．
【点睛】本题考查了抛物线的平移变换、待定系数法求一次函数解析式及等腰直角三角形的性质，将沿射线方向移动转化为平移是解决问题的关键
19．（2021·上海·九年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出的的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8

【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）将不等式转化为，找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【解析】（1）分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）根据图象可知：
当或时，；
（3）如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．

当时，，解得，则点坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴



．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．

一、单选题
1．（2022·上海·统考中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【解析】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2016·上海·中考真题）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解析】解：抛物线向下平移1个单位，
抛物线的解析式为，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减．
3．（2018·上海·统考中考真题）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【解析】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4．（2021·上海·统考中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【答案】D
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．
【解析】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
5．（2022·上海闵行·统考二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（    ）
①图像经过点；②图像经过第三象限；③当时，y的值随x的值增大而增大
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可．
【解析】A.，当时，，经过点；图像经过第三、四象限；对称轴为轴，开口向下，当时，y的值随x的值增大而增大；所以同时具备①②③三个特征,符合题意；
B. 图像经过第二、四象限，故不符合题意；
C. 图像经过第一、二、四象限，故不符合题意；
D. ，当时，y的值随x的值增大而减小，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．（2022·上海崇明·统考二模）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（    ）
A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点．
【答案】B
【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解．
【解析】的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0）
将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为：
∴平移后对称轴为，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2）
∴开口方向不变
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的规律．
7．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知A(1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m
【答案】C
【分析】根据已知得，从而得出的取值范围．
【解析】解：点，两点在双曲线上，且，
，
，
的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
8．（2020·上海嘉定·统考二模）下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是(　　)
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解析】A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误；
由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误；
C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D．该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
9．（2019·上海奉贤·校联考一模）某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
－3
0
－1
0
－3
…

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（    ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，利用交点式求出抛物线解析式，求出x＝2时的函数值，则顶点坐标为（2， 1），然后可判断B选项错误．
【解析】解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；x＝0和x＝4时y=-3；
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设抛物线解析式为,代入坐标（0，-3）得，
∴
解得
抛物线
当时，
∴顶点坐标为（2， 1），
∴错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性，是解题的关键．
10．（2021·上海宝山·统考一模）如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（    ）．

A． B．抛物线的对称轴为直线
C． D．点和在拋物线上，则
【答案】B
【分析】根据图象分别求出a、c的符号，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x=1，即可判断B；把x=-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C；将x=-2与x=2带入二次函数，可得出y与y的值，即可判断D．
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∴ac＜0 选项A正确；
∵由图像可看出，抛物线与x轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，
∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B错误；
把x=-1代入y=ax+bx+c得：y=a-b+c，由图像可知，x=-1时y=0，
∴a-b+c=0 选项C正确；
把x=-2和x=2代入y=ax+bx+c中，由图像可知，y＞0，y＜0，
∴y＞y 选项D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a、b、c之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．

二、填空题
11．（2021·上海·统考中考真题）已知，那么__________．
【答案】．
【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．
【解析】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．
12．（2021·上海·统考中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．
【答案】（且即可）
【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．
【解析】解：∵正比例函数经过二、四象限，
∴k<0，
当经过时，k=-1，
由题意函数不经过，说明k≠-1，
故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．
【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限．
13．（2022·上海·校考模拟预测）如果抛物线的顶点在轴上，那么常数m的值是_________
【答案】
【分析】把二次函数一般式转化为顶点式，求出其顶点坐标，再根据顶点在x轴上确定其纵坐标为0，进而求出m的值．
【解析】∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的一般式转化为顶点式的方法和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键．
14．（2020·上海·统考中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【解析】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
15．（2019·上海·中考真题）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的关系式是______．
【答案】y=-6x+2##y=2-6x．
【分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．
【解析】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y=-6x+2．
故答案为：y=-6x+2．
【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面的气温-降低的气温．
16．（2022·上海浦东新·统考二模）已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据在每个象限内，随自变量的增大而增大，可得，即可求解．
【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而增大是解题的关键．
17．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如果将抛物线向下平移个单位后，恰好经过点，那么的值为___________.
【答案】2
【分析】根据平移，求得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变，所给坐标可得a的值．
【解析】解：原抛物线的顶点为（0，8），向下平移a个单位后，那么新抛物线的顶点为（0，8-a）；
可设新抛物线的解析式为，把代入得：a=2．
故答案为：2．
【点睛】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
18．（2022·上海青浦·统考二模）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为________．
【答案】##
【分析】设抛物线为 ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，即可求解．
【解析】设抛物线为
将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得
即为

解得
抛物线为
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．
19．（2021·上海嘉定·统考二模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外一个交点的纵坐标为，那么常数k的值是__________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数与正比例函数的对称性可得图象经过的点坐标，进而求解．
【解析】解：∵反比例函数的图像与正比例函数的图象都关于原点对称，
∴图象经过两点坐标为（1，3）与（-1，-3），
∴k=1×3=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握两种函数的性质．
20．（2022·上海·二模）在一次数学活动课上，老师给出一个函数，甲、乙两位同学各正确地指出了这个函数的一个性质．甲：函数的图象经过第一、二、三象限；乙：对于图象上的任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＞x2，则y1＞y2．请你根据他们的描述，构造出一个满足上述性质的函数：_______________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的图象经过第一、二、三象限，图象上的任意两点，，，，若，则，可得该函数可以是一次函数且，．
【解析】解：函数的图象经过第一、二、三象限；对于图象上的任意两点，，，，若，则．
该函数可以是一次函数且，；
满足上述性质的函数可以是（答案不唯一），
故答案为：y＝x＋1（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查对一次函数的图象与性质的理解和掌握，能熟练掌握一次例函数的图象与性质是解此题的关键．

三、解答题
21．（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．
【答案】(1)y=x+1
(2)

【解析】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，

设反比例函数解析式为y=，
把A（2，3）代入，得3=，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y=，
当x=6时，则y==1，
∴B（6，1），
∴AB=，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴ACx轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠ABC=．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．
22．（2022·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2 - bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)两点．

(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
(2)将抛物线y=x2 - bx+c向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'．
①求∠BP'P的度数；
②将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②或

【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；
（2）①连接，则轴，设交点为，则，根据平移求得点的坐标，进而即可求得∠BP'P的度数，
②根据题意画出图形，过点作轴于点，过点作轴于点，根据△MNB的面积为1建立方程，即可求得点的坐标．
（1）
解：∵抛物线y=x2 - bx+c经过A(-1．2)、B(0，-1)

解得


（2）
将抛物线向左平移(+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P'

连接，则轴，设交点为，则


在中，


②过点作轴于点，过点作轴于点，
在中，，
，，则
将线段P'B绕点B按逆时针方向旋转150°，点P’落在点M处，


在与中


,


将抛物线向左平移(+1)个单位，平移后的抛物线顶点
平移后的抛物线解析式为
设，则
，







解得或
的坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，平移问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．