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【浙江专用】2023年中考数学易错题汇编——08 圆 （原卷版+解析版）
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这是一份【浙江专用】2023年中考数学易错题汇编——08 圆 （原卷版+解析版），文件包含08圆解析版docx、08圆原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
易错点08 圆
1.点与圆的位置关系
2.垂径定理
3.圆心角、弧、弦的关系
4.切线辅助线
5.圆内接四边形
6.与圆有关的最值
7.圆中定值问题
点与圆的位置关系
此类题目主要考察点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
易错点是不清楚判断点与圆的位置关系的方向--确定该点到圆心距离与半径的关系。
1．（2023•宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
2．（2020•拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
1．（2021•丰南区一模）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝1时，点B在⊙A上 B．当2＜a＜3时，点B在⊙A内
C．当a＜5时，点B在⊙A内 D．当a＞5时，点B在⊙A外
2．（2022•吴兴区校级二模）如果⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
3．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 ．
垂径定理
此类题目主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
易错点是构造辅助线。
1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．6
2．（2022•富阳区二模）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
1．（2022•鄞州区模拟）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022•西湖区校级一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
3．（2022•金华模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
圆心角、弧、弦的关系
此类题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
易错点是综合性强，关键是熟练掌握基本知识。
1．（2022•鹿城区校级二模）如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（ ）
A．3 B．12 C．2 D．6
2．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（ ）
A．44° B．80° C．88° D．92°
3．（2022•鹿城区二模）若圆的半径为3cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为 cm．
1．（2022•西湖区校级模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
2．（2022•龙湾区模拟）一段长为6π，弧度为60°的弧所在圆的半径长为 ．
3．（2022•金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
切线辅助线
此类题目主要考查直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，及综合运用。熟练掌握各定理是解题的关键
易错点是辅助线的构造，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
1．（2019•杭州模拟）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．
1．（2021•金台区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA
长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
2．（2020•岐山县一模）如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．
3．（2018•武城县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
圆内接四边形
此类题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
易错点是熟记圆内接四边形，注意构造辅助线。
1．（2022•鹿城区二模）如图，点B在上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
2．（2023•宁波模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结AC．DF＝5，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接CP交BD于H，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．12
1．（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
2．（2022•鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC＝20°．则∠D的大小为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2022•乐清市一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝25°，△ABC外角∠ABE的平分线交⊙O于点D，若BC＝BD，则∠C的度数为 ．
与圆有关的最值
此类题考查了利用圆求解最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
易错点是不能确定动点的轨迹。
1．（2020•奉化区模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．1 B．1.6 C．﹣2 D．2
2．（2022•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
3．（2022•平邑县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1．（2021•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E在折线B﹣A﹣D上运动，连结CE，过点B作BM⊥CE于点M，则D，M两点之间的最小距离为 ．
2．（2022•东胜区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是 ．
3．（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
圆中定值问题
此类题考查了圆的综合知识，几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
易错点是几何综合题考察大量运算能力；推理能力。
1．（2022•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．
（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；
（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；
（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，
①求证：AC+AD＝DE；
②求tan∠E的值．
2．（2017•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形OABC，A（6，0），B（6，6），C（0，6），现有一个动点P从C点出发，向y轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点Q以相同的速度．从A点出发，向x轴正方向运动，作直线PQ，交射线BA于D，设两运动点运动的时间为t秒．
（1）求证：△BCP≌△BAQ；
（2）求出直线PQ的解析式（用含的式子表示）；
（3）求t为何值时，△BDP为等腰三角形；
（4）当P在线段CO上运动时，过P、B、D三点的一个圆交BC于E，E点关于BP的对称点为F，在第一象限内是否存在一个点G，并且G到F的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由．
1．（2021•宁波模拟）如图①，点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，射线DM与△AMB的外接圆的另一个交点为N，与射线CB相交于点P．
（1）当点N与点B重合时，的值为 ；
（2）如图②，当MN是△AMB外接圆的直径时，求的值：
（3）若△PNC为等腰三角形，求的值．
2．（2021•岳阳模拟）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，点D是上一动点（不与E，A重合），连接AE并延长至点C，ED，BA的延长线相交于M，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：
（1）若∠CBE＝∠BDE，则BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，则AD2＝DF•DB；
（3）在（2）的条件下，则AD的长为2π；
（4）无论D怎样移动，ED•EM为定值．
正确的是 ．（填序号）
3．（2022•北仑区二模）【证明体验】
（1）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP•PE的值．
1．（2023•宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
2．（2022•常山县模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022•舟山模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
4．（2021•拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．m B．m C．5m D．m
5．（2022•金华模拟）如图，四边形ABCD内接于直径为4的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED＝，则弦AD的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022•鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC＝20°．则∠D的大小为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
8．（2022•上城区校级二模）如图，已知OA，OB，OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB＝α，∠OBC＝β，∠AOC＝γ，则（ ）
A．α+2β﹣γ＝90° B．2α﹣β+γ＝90°
C．α+β+γ＝180° D．3α﹣β+γ＝180°
9．（2022•衢州二模）如图，C、D是⊙O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若∠ABC＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022•长兴县模拟）如图，CD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
11．（2021•金华模拟）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
12．（2022•淳安县一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为 ．
13．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝ °．
14．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 ．
15．（2022•萧山区校级二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若∠CAD＝30°．则的长为 ．
16．（2022•余杭区一模）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结DE，设＝k（k＞1）．当k＝2时，＝ ；当k＜时，＝ .（用含k的代数式表示）
17．（2012•杭州模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝2，AB＝AC＝AD＝3．则BD的长为 ．
18．（2019•荆州一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 度．
19．（2021秋•漳州期末）如图，已知∠AOM＝45°，OA＝，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．
20．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝4，DE＝3，求⊙O的半径长．
21．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
22．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ ；
（2）AC的最大值＝ ．
23．（2022•慈溪市一模）如图1，在⊙O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结BF，AE＝BF．
（1）证明：AC＝BF．
（2）当EM：OE＝2时，求tan∠EAB．
（3）如图2，连结CF交AB于点G，当CD＝2时，设EM＝x，AG•AB＝y，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值．
易错点08 圆
1.点与圆的位置关系
2.垂径定理
3.圆心角、弧、弦的关系
4.切线辅助线
5.圆内接四边形
6.与圆有关的最值
7.圆中定值问题
点与圆的位置关系
此类题目主要考察点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
易错点是不清楚判断点与圆的位置关系的方向--确定该点到圆心距离与半径的关系。
1．（2023•宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
2．（2020•拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
1．（2021•丰南区一模）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝1时，点B在⊙A上 B．当2＜a＜3时，点B在⊙A内
C．当a＜5时，点B在⊙A内 D．当a＞5时，点B在⊙A外
2．（2022•吴兴区校级二模）如果⊙O的半径为6cm，OP＝7cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
3．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 ．
垂径定理
此类题目主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
易错点是构造辅助线。
1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．6
2．（2022•富阳区二模）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
1．（2022•鄞州区模拟）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022•西湖区校级一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
3．（2022•金华模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
圆心角、弧、弦的关系
此类题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
易错点是综合性强，关键是熟练掌握基本知识。
1．（2022•鹿城区校级二模）如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（ ）
A．3 B．12 C．2 D．6
2．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（ ）
A．44° B．80° C．88° D．92°
3．（2022•鹿城区二模）若圆的半径为3cm，圆心角为60°，则这个圆心角所对的弧长为 cm．
1．（2022•西湖区校级模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
2．（2022•龙湾区模拟）一段长为6π，弧度为60°的弧所在圆的半径长为 ．
3．（2022•金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
切线辅助线
此类题目主要考查直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，及综合运用。熟练掌握各定理是解题的关键
易错点是辅助线的构造，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．
1．（2019•杭州模拟）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．
1．（2021•金台区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA
长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
2．（2020•岐山县一模）如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．
3．（2018•武城县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
圆内接四边形
此类题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
易错点是熟记圆内接四边形，注意构造辅助线。
1．（2022•鹿城区二模）如图，点B在上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
2．（2023•宁波模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结AC．DF＝5，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接CP交BD于H，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．12
1．（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D﹣∠B＝40°，连结AO，CO，则∠AOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
2．（2022•鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC＝20°．则∠D的大小为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．（2022•乐清市一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝25°，△ABC外角∠ABE的平分线交⊙O于点D，若BC＝BD，则∠C的度数为 ．
与圆有关的最值
此类题考查了利用圆求解最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
易错点是不能确定动点的轨迹。
1．（2020•奉化区模拟）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．1 B．1.6 C．﹣2 D．2
2．（2022•宁波模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
3．（2022•平邑县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1．（2021•长兴县模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E在折线B﹣A﹣D上运动，连结CE，过点B作BM⊥CE于点M，则D，M两点之间的最小距离为 ．
2．（2022•东胜区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是线段BC上的动点，连接AD，过点C作CM⊥AD于M，连接BM，则BM的最小值是 ．
3．（2022•武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为 ．
圆中定值问题
此类题考查了圆的综合知识，几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
易错点是几何综合题考察大量运算能力；推理能力。
1．（2022•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为劣弧AC上动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥AB交⊙O于F，连结CF．
（1）如图①，当点D为的中点时，求证：DF＝BC；
（2）如图②，若CF＝CA，∠ABC＝α，请用含有α的代数式表示∠E；
（3）在（2）的条件下，若BC＝CE，
①求证：AC+AD＝DE；
②求tan∠E的值．
2．（2017•鹿城区校级一模）在平面直角坐标系中，正方形OABC，A（6，0），B（6，6），C（0，6），现有一个动点P从C点出发，向y轴的负方向运动，速度为每秒1个单位，同时另一个动点Q以相同的速度．从A点出发，向x轴正方向运动，作直线PQ，交射线BA于D，设两运动点运动的时间为t秒．
（1）求证：△BCP≌△BAQ；
（2）求出直线PQ的解析式（用含的式子表示）；
（3）求t为何值时，△BDP为等腰三角形；
（4）当P在线段CO上运动时，过P、B、D三点的一个圆交BC于E，E点关于BP的对称点为F，在第一象限内是否存在一个点G，并且G到F的距离为定值，如存在，请直接写出这个定值；如不存在，请说明理由．
1．（2021•宁波模拟）如图①，点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，射线DM与△AMB的外接圆的另一个交点为N，与射线CB相交于点P．
（1）当点N与点B重合时，的值为 ；
（2）如图②，当MN是△AMB外接圆的直径时，求的值：
（3）若△PNC为等腰三角形，求的值．
2．（2021•岳阳模拟）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，AE＝BE，点D是上一动点（不与E，A重合），连接AE并延长至点C，ED，BA的延长线相交于M，AB＝12，BD与AE交于点F．下列结论：
（1）若∠CBE＝∠BDE，则BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，则AD2＝DF•DB；
（3）在（2）的条件下，则AD的长为2π；
（4）无论D怎样移动，ED•EM为定值．
正确的是 ．（填序号）
3．（2022•北仑区二模）【证明体验】
（1）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，在上取一点P，连结AP，BP，CP．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）条件下，若点P为的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E，且∠ABP＝∠E，求AP•PE的值．
1．（2023•宁波模拟）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
2．（2022•常山县模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022•舟山模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
4．（2021•拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．m B．m C．5m D．m
5．（2022•金华模拟）如图，四边形ABCD内接于直径为4的⊙O，AB＝AC，E是弦AC和直径BD的交点，ED＝，则弦AD的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022•鹿城区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC＝20°．则∠D的大小为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
8．（2022•上城区校级二模）如图，已知OA，OB，OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB＝α，∠OBC＝β，∠AOC＝γ，则（ ）
A．α+2β﹣γ＝90° B．2α﹣β+γ＝90°
C．α+β+γ＝180° D．3α﹣β+γ＝180°
9．（2022•衢州二模）如图，C、D是⊙O上的两点，且位于直径AB两侧，连接BC、CD、BD，若∠ABC＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（2022•长兴县模拟）如图，CD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝20°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
11．（2021•金华模拟）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
12．（2022•淳安县一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为 ．
13．（2023•宁波模拟）圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A＝ °．
14．（2021•西湖区校级三模）已知⊙O的半径为4，若PO＝4，则点P在圆 ．
15．（2022•萧山区校级二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若∠CAD＝30°．则的长为 ．
16．（2022•余杭区一模）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结DE，设＝k（k＞1）．当k＝2时，＝ ；当k＜时，＝ .（用含k的代数式表示）
17．（2012•杭州模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝2，AB＝AC＝AD＝3．则BD的长为 ．
18．（2019•荆州一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，则∠CBD＝ 度．
19．（2021秋•漳州期末）如图，已知∠AOM＝45°，OA＝，点B是射线OM上的一个动点．当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为 ．
20．（2023•宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝4，DE＝3，求⊙O的半径长．
21．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，⊙O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；
（2）点M的坐标为（1，0），
①如图2，若⊙M的半径为1，当b＝1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．
22．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ ；
（2）AC的最大值＝ ．
23．（2022•慈溪市一模）如图1，在⊙O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交⊙O于点F，连结BF，AE＝BF．
（1）证明：AC＝BF．
（2）当EM：OE＝2时，求tan∠EAB．
（3）如图2，连结CF交AB于点G，当CD＝2时，设EM＝x，AG•AB＝y，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值．
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