山西省忻州市2023届高三数学下学期百日冲刺试题（Word版附解析）

高三百日冲刺

数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．     B．    C．    D．

2．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则

A．4     B．     C．8     D．

3．已知，则的最小值是

A．6     B．8     C．10     D．12

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是棱BC，PD的中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值是

A．     B．     C．     D．

5．已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

6．溶液酸碱度是通过PH计量的，PH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的PH值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（取，）

A．摩尔/升  B．摩尔/升  C．摩尔/升  D．摩尔/升

7．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有

A．120种    B．240种    C．420种    D．720种

8．若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是

A． B． C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列关于非零复数，的结论正确的是

A．若，互为共轭复数，则   B．若，则，互为共轭复数

C．若，互为共轭复数，则    D．若，则，互为共轭复数

10．已知，，且，则

A．    B．  C．   D．

11．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内任意一个向量，向量，满足，且，则的取值可以是

A．9     B．     C．     D．6

12．已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则

A．的图象关于直线对称    B．的图象关于点对称

C．         D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是．

14．在等比数列中，若，，则当取得最大值时，n＝．

15．一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则的最小值是，此时，该正方体内切球的体积是立方米．（本题第一空3分，第二空2分）

16．已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

设等差数列的前n项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前100项和．

18．（12分）

某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：

将频率视为概率．

（1）从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；

（2）从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，且△ABC的面积是，求AD的最小值．

20．（12分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．

（1）证明：BD⊥平面ACE．

（2）若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．

21．（12分）

已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围．

高三百日冲刺

数学试题参考答案

1．C

由题意可得，，则．

2．A

由题意可得，解得，则，故．

3．D

，当且仅当，即时，等号成立．

4．B

如图，取棱AD的中点H，连接PH，EH，HF，则，则∠HEF是异面直线EF与AB所成的角（或补角）．设，则EH＝2，．在△EFH中，易证，则，故．

5．C

由题意可知直线l过定点，要使直线l与圆C一定相交，则解得，故“”是“直线l与圆C一定相交”的充要条件．

6．A

设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，从而，即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．

7．C

如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，故不同的布置方案有种．

8．D

因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．综上，的取值范围是．

9．AC

设，由，互为共轭复数，得，则，故A正确．当，时，，此时，，不是共轭复数，则B错误．由，互为共轭复数，得，从而，即，则C正确．当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D错误．

10．ABD

因为，所以，所以．设，则在上单调递增．因为，所以，则A正确．因为，，且，所以，所以，则B正确，因为，所以，所以，即，则D正确．

11．AB

设，，，，此即点到，，三个点的距离之和．△ABC是等腰锐角三角形，由费马点的性质可知当点M满足时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，因为，，，所以，的最小值是．

12．ABC

因为，所以（a为常数），所以．因为，所以．令，得，解得，所以，则的图象关于直线对称，故A正确．因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则B正确．因为是奇函数，所以，所以，所以，则是周期为4的函数．因为，所以，所以，，则

．因为是奇函数，所以，所以

，则C正确．因为，所以，所以，，，，所以，所以，则D错误．

13．22

由题意可得这组数据的平均数是．

14．6

因为，，所以公比，则，故．

因为，，所以当取得最大值时，．

15．；

设该正方体的棱长为x，则，，故．设，则．由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故，即的最小值是．此时该正方体的棱长是4，则其内切球的半径，从而该正方体内切球的体积为．

16．

不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得

．因为，所以．

17．解：

（1）由题意可得，

解得，．

故．

（2）由（1）及等差数列前n项和公式可得，

则．

故数列的前100项和

．

18．解：

（1）由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是，高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是，

则所求概率．

（2）由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率是．

X所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

，

则X的分布列为

故．

19．解：

（1）因为，

所以，

所以，

解得．

因为，所以．

（2）因为△ABC的面积是，

所以，解得．

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以．

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

即当时，AD取得最小值．

20．（1）证明：因为，所以，所以．

因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面平面，所以AE⊥平面ABCD．

因为平面ABCD，所以．

因为四边形ABCD是菱形，所以．

因为AE，平面ACE，且，所以BD⊥平面ACE．

（2）解：记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，

则，，，，，

故，，，．

设平面ABFE的法向量为，

则，令，得．

设平面CEF的法向量为，

则，令，得．

设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，

则，

解得，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是时，BF的长为3．

21．解：

（1）设椭圆C的焦距为2c，

由题意可得，

解得，

故椭圆C的标准方程为．

（2）设直线l的方程为，，，

联立，

整理得，

则，即，

解得，，．

故△OPQ的面积．

设，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

则，即△OPQ面积的最大值为．

22．解：

（1）由题意可得．

当时，由，得，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

当时，，则．

由，得或，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．

当时，，则．

由，得或，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．

要使有两个零点，需至少满足，即．

当时，，

，

则在与上各有一个零点，即符合题意．

当时，只有一个零点，则不符合题意．

当时，由，当时，，，

则在上恒成立．

由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．

综上，a的取值范围为．