新疆乌鲁木齐地区2022-2023学年高三数学（理）二模试题（Word版附答案）

乌鲁木齐地区2023年高三年级第二次质量监测

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．

2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则

A.    B.     C.    D.

2.复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在复平面内位于

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

3.已知向量，，满足，，，，则

A.3      B.     C.     D.5

4.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为

A.10千里    B.12千里    C.14千里    D.16千里

5.偶函数在区间上是增函数，且，则不等式的解集为

A.    B. C.     D.

6.已知，则

A.     B.9      C.     D.16

7.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，，视所在直线为轴，则双曲线的方程为

A.   B.   C.   D.

8.下图为2012年——2022年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是

A.2012年——2022年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2017年——2022年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年——2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速

D.2019年——2022年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

9.已知函数，下列说法中，正确的是

A.函数不是周期函数

B.函数的最大值为

C.直线是函数图象的一条对称轴

D.函数的增区间为

10.甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，，则下列结论正确的是

A.最高处的树枝一定是       B.这九根树枝从高到低不同的顺序共有24种

C.最低处的树枝一定是       D.这九根树枝从高到低不同的顺序共有21种

11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列命题：

①不存在点，使平面；

②三棱锥的体积是定值；

③不存在点，使平面；

④，，，，五点在同一个球面上．其中正确的是

A.①②     B.③④     C.①③     D.②④

12.在中，内角，，的对边分别是，，，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为

A.     B.     C.1      D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.函数的图象在处的切线方程为________．

14.已知，则________．

15.设，分别为椭圆的左、右焦点，为下顶点，，为椭圆上关于轴对称的两点，若，，在一条直线上，，则此椭圆的离心率是________．

16.晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面．在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子与（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子与8个原子均相切．已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个原子与1个原子）的体积之和最小时，原子的半径为________．

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如下表：

（Ⅰ）从中任取一名学生，记“该生参加了校外补习”，“该生成绩为优秀”．求及；

（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？

附：，其中．

18.若数列的前项和满足．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）设，记数列的前项和为，证明：．

19.如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，点在棱上．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，，直线与平面所成的角为，求的值．

20.抛物线上的点到轴的距离为，到焦点的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程和点的坐标；

（Ⅱ）若点在第一象限，过作直线交抛物线于另一点，且直线与直线交于点，过作轴的垂线交于．证明：直线过定点．

21.已知函数．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．

选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22.[选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若曲线和直线相交于，两点，为的中点，点，求．

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知，，都是正数，且，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

乌鲁木齐地区2023年高三年级第二次质量监测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1~5.AADBD    6~10.CACBD    11~12.DB

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.2    15.    16.

三、解答题

17.（1）易知，

，；

（2）列列联表得

不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．

18.（1）由可得，

且时，，所以

时，，

数列构成以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）知，

，

即成立．

19.（1）证明：在直三棱柱中，，又，为中点，

，又，平面，平面

平面，平面，

（2），

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，

设，，则，

于是，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，有，即

得，

又，有，

，

．

20.（1）设，则，

又，，即抛物线的方程为，点的坐标为；

（2）由（1）知，可设与联立得：

设，，则，，

且，

，

由点在直线上，可得：

即：，，即：

由，即，过定点．

21.（1），令，即，，，的关系如下表：

时，的极大值为，无极小值．

（2）由题意得，，即方程有4个不相等的实根．令，

令，可知要使有四个零点，则至少应有三个零点，

至少有两个零点，，其中，

①当时，，则在上单调递增，至多只有一个零点不合题意；

②当时，时，；，，

在上递减，在上递增，

要使有两个零点，，解得

此时，，

，，，

在存在一个零点，且

下面证明当时，

当时，

令，，令，

当时，，在上递增，

在上递增，，即

，，

在存在一个零点，且

时，，上单调递增

只需，在，，，各有一个零点

其中，

令，

在上单调递减，，，

存在，使得，当时，，

又因为是整数，的最小值是4．

22.（1）由已知，，即

由得，即；

（2）将直线参数方程代入到中得

，即

，则由的几何意义可知，．

23.（1），

，；

（2），，，

．