重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一数学下学期3月第一次月考试题（Word版附解析）

万州二中教育集团高一（下）

三月质量检测数学试题

（120分钟150分）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.

【详解】因为，所以复数在复平面上的对应点为，在第三象限.

故选：C.

2. 已知平面向量，且，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.

考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.

3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（    ）

A. 30° B. 60°

C. 30°或150° D. 60°或120°

【答案】A

【解析】

【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.

【详解】由正弦定理得，

即，

解得sinB=，

又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，

又因为a>b，所以A>B，即B=30°.

故选：A.

4. 在中，若，则一定是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 以上说法都不对

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得，但B、C的大小不定，即可得答案.

【详解】由，即，

又，则，即为锐角，

但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角.

故选：D

5 若，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.

【详解】因为，，所以，

所以，.

又，所以.

所以，.

故选：C.

6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.

【详解】，

由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，

在Rt△ABM中，AM＝＝，

在△ACM中，由正弦定理得＝，

所以CM＝＝，

在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.

故选：D

7. 已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】不妨设，，，，利用数量积和模长的坐标表示求得点的轨迹即可求解.

【详解】因为，，夹角为，

所以，

不妨设，，，则，，

则，解得或，

设，由得在以为圆心，1为半径的圆上，

或

所以的最小值为.

故选：C

8. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.

【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

，，，

，，三者直接各自的夹角都为锐角，

，，，

，，即在上的投影为1，在上的投影为3，

，，如图

，

即，且

则，

由基本不等式得，

，

与的夹角为锐角，

，

由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，

故选：C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的共轭复数是

B. 的虚部是

C.

D. 若复数满足，则的最大值是

【答案】AD

【解析】

【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模几何意义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，则，A对；

对于B选项，复数的虚部为，B错；

对于C选项，，C错；

对于D选项，令，则，

即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，

由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.

故选：AD.

10. 下列说法错误的是（    ）

A. 若向量与向量共线，则

B. 在平行四边形中，有向线段与有向线段相等

C. 为平面中两个不共线的单位向量，若，则

D. 一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力所做的功就是力与位移所对应的向量的内积

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据向量的共线，考虑与共线情况，可判断A；根据向量和有向线段的概念判断B；根据数量积的运算判断C；根据力做功的含义结合数量积（内积）定义判断D.

【详解】.向量与向量共线，若与共线，则，A错误；

B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度，

向量完全由模和方向确定，并且有向线段与有向线段的方向相反，二者不相等，B错误

C.当时，，此时，C错误；

D. 一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为为和的夹角，

则就是力与位移所对应的向量的内积，D正确，

故选：ABC

11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）

A.  B. 向量，夹角的最小值为

C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案.

【详解】，，故A对；

，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；

，故D错.

故选：AC

12. 已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 为内心

C.

D. 对于平面内任意一点，总有

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误.

【详解】A：由为的重心，则，，，

所以，即，正确；

B：，由为外心，所以，

即，同理，故为垂心，错误.

C：，所以，

因，故，而，

所以，即，正确.

D：，所以，

因为，故，正确.

故选：ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知点和向量，若，则点的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.

【详解】设为坐标原点，

因为，，

故，

故点的坐标为．

故答案为：.

14. 小明在整理笔记时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，、、分别是角、、的对边，已知，，求边.显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，则的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意,由正弦定理可得， 如图所示, 因为只有一解,

以为圆心, 为半径的圆与射线有且仅有一个交点, 观察可得的取值范围.

【详解】

由正弦定理,可得 ,

，则，

因为只有一解,

所以 , 即 ;

故答案为：.

15. 已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出，参变分离根据二次函数值域得到，通过题意得出，即可得出答案.

【详解】为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，

，

，

则，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：.

16. 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.

【答案】##.

【解析】

【分析】根据内心特点可知，利用向量线性运算进行转化可求得，，则；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.

【详解】为的内心，，，

，

，，

即，，；

（当且仅当时取等号），

，，（当且仅当时取等号），

的最大值为.

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知向量，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）计算出和的坐标，利用得出关于实数的等式，解出即可；

（2）求出坐标，由，可得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可.

【详解】，

，

，，解得；

（2），

，，解得.

【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.

18. 是平面直角坐标系的原点，，记.

（1）求在上的投影向量坐标；

（2）若向量，满足条件：与互补，求

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合向量的投影公式，即可求解.

（2）结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

由题意可得，，，

则在上的投影向量坐标为.

【小问2详解】

，

又与互补，

，

，化简整理可得，，

解得或，

显然时，，不符合题意，

故.

19. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.

（1）求点到点的距离；

（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.

【答案】（1）海里；（2）小时

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；

（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.

【详解】（1）由题意知：，，，

所以，

在中，由正弦定理可得：即，

所以海里，

（2）在中，，，，

由余弦定理可得：

，

所以海里，

所以需要的时间为小时，

所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.

20. 在锐角中，分别是角所对的边，，且.

（1）求；

（2）若周长的范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得，由此可得；

（2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公式可得，利用正弦型函数值域的求法可求得的范围.

【小问1详解】

由得：，

由正弦定理知：，又，，

，又，，，

，，，则，，解得：.

【小问2详解】

由正弦定理得：，，，

；

为锐角三角形，，解得：，

，，，

即周长的取值范围为.

21. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．

（1）已知△ABC的面积为，求；

（2）若G为三角形的重心，且，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理将其转化为角的形式，化简可得答案

（2）将作为基底，然后根据题意，把用基底表示，再利用可得，从而可得到的关系，利用基本不等到式可求出的范围，再利用三角函数的关系可求得的范围

【小问1详解】

因为的面积为，

所以

所以，

所以由正弦定理得，

因为，

所以，

【小问2详解】

延长交于，延长交于，

因为为的重心，

所以，

，

因为，所以，

所以，化简得，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，即的取值范围

22. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）

（1）求（结果用表示）；

（2）若

①求的取值范围；

②设，记，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）由，再结合平面向量的数量积，得解；

（2）①设，，化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，得解；

②设，由，结合，推出，再利用分离常数法和基本不等式，得解．

【小问1详解】

解：；

【小问2详解】

解：①设，，

则，

，，

又，则.

②设，则，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，即，

化简得，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为．