2023年四川省内江六中中考数学一模试卷

这是一份2023年四川省内江六中中考数学一模试卷，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省内江六中中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（　　）

A．越长 B．越短
C．一样长 D．随时间变化而变化
4．（3分）杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（　　）
A．1×105 B．1×106 C．1×107 D．1×108
5．（3分）下列关于分式方程+1＝的解的情况，判断正确的是（　　）
A．x＝1.5 B．x＝﹣0.5 C．x＝0.5 D．无解
6．（3分）当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（　　）
A．5，2 B．3，2 C．2，3 D．3，6
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（　　）

A．127° B．108° C．126° D．125°
10．（3分）《九章算术》中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，则下列符合题意的方程是（　　）
A．x﹣4＝x﹣1 B．3（x+4）＝4（x+1）
C．x+4＝x+1 D．3x+4＝4x+1
11．（3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（共4小题，每题5分）
13．（5分）计算（+1）（﹣1）的结果等于　 　．
14．（5分）已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是 　 　．
15．（5分）设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是　 　．
16．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．若OG＝2，OE＝4，则BD的长 　 　．

三、解答题（本大题共12小题，共44分）
17．（6分）计算：．
18．（9分）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

19．（9分）如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）

20．（10分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．

21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．

22．（6分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝，则a＝　 　．
23．（6分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　 　．

24．（6分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　 　．

25．（6分）如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作菱形ABMN与菱形BCEF，点F在BM边上，AB＝n，∠ABM＝60°，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；…；当AB＝n时，△AME的面积记为Sn，当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝　 　．

26．（12分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
27．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　 　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年四川省内江六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；算术平方根；实数的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据倒数的定义及二次根式的性质化简即可．
【解答】解：的倒数是，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，二次根式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（3分）如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上向下看，可得如图：

故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（　　）

A．越长 B．越短
C．一样长 D．随时间变化而变化
【考点】中心投影．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
【解答】解：由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短，
故选：B．

【点评】此题主要考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．
4．（3分）杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（　　）
A．1×105 B．1×106 C．1×107 D．1×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：100万＝1000000＝1×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列关于分式方程+1＝的解的情况，判断正确的是（　　）
A．x＝1.5 B．x＝﹣0.5 C．x＝0.5 D．无解
【考点】分式方程的解．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴（x﹣1）（2﹣4x）＝2x﹣1，
∴4x2﹣4x+1＝0，
∴（2x﹣1）2＝0，
∴x＝，
经检验，x＝不是原方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
6．（3分）当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数大小比较．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据已知x的具体范围，所以可选用取特殊值方法求解．
【解答】解：∵0＜x＜1，
令x＝，那么x2＝，＝4，
∴x2＜x＜．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，当给出未知的字母较小的范围时，可选用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
7．（3分）在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（　　）
A．5，2 B．3，2 C．2，3 D．3，6
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为2、2、3、5、6，
所以这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】∠A的余弦值可求得AB，再由勾股定理可求得BC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∴，即，解得AB＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数的定义是解题的关键．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（　　）

A．127° B．108° C．126° D．125°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（3分）《九章算术》中记录了一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，则下列符合题意的方程是（　　）
A．x﹣4＝x﹣1 B．3（x+4）＝4（x+1）
C．x+4＝x+1 D．3x+4＝4x+1
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：假设绳长为x尺，则可列方程为x﹣4＝x﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE+FD＝CD﹣EF＝CD﹣2EH，分别求出CD，EF即可．
【解答】解：由题意得：
D点坐标为（7，），
如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．
则GH＝，EG＝2，
则EH＝＝1
∴CE+FD＝CD﹣EF＝CD﹣2EH＝6﹣2＝4．
故选：B．

【点评】此题首先要正确分析出各点的坐标，然后根据两点的坐标进行计算．
12．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答】解：①∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
则：2a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，
则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
即y1＝y2，
∴x1、x2关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x＝﹣＝1，
故（x1+x2）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每题5分）
13．（5分）计算（+1）（﹣1）的结果等于　2　．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
14．（5分）已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是 　y＝3（x﹣2）2+2　．
【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【答案】y＝3（x﹣2）2+2．
【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，然后再写出抛物线的解析式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线分别向上、向右均平移2个单位后，新抛物线的顶点坐标为（2，2），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2+2．
故答案为：y＝3（x﹣2）2+2．
【点评】本题主要考查了抛物线的平移，解题的关键是熟练掌握平移特点，求出平移后抛物线的顶点坐标．
15．（5分）设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是　　．
【考点】三角形的外接圆与外心；解一元二次方程﹣公式法．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】解方程求出Rt△ABC的两条直角边的长，根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：解方程x2﹣17x+60＝0，得x1＝5，x2＝12，
则Rt△ABC的两条直角边的长为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边长＝＝13，
∴Rt△ABC外接圆的半径为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、一元二次方程的解法，掌握直角三角形的斜边长等于这个直角三角形的外接圆的直径是解题的关键．
16．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点（不含端点），点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．若OG＝2，OE＝4，则BD的长 　16　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质．菁优网版权所有
【答案】16．
【分析】根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．
【解答】解：∵点F是点E关于AD的对称点，
∴∠EAD＝∠FAD，AE＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴AF∥BD，
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵AF∥BD，
∴G为CF的中点，
∴OG是△CAF的中位线，
∴AF＝2OG＝2×2＝4，
∴AE＝4，
∵OE＝4，
∴OA＝8，
∴AC＝2OA＝16，
∴BD＝AC＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长．
三、解答题（本大题共12小题，共44分）
17．（6分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【答案】10．
【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，最后运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝10．
【点评】本题是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
18．（9分）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c
（1）表中a＝　30　，b＝　0.3　，c＝　0.4　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．菁优网版权所有
【答案】（1）30，0.3，0.4；
（2）图形见解析；
（3）．
【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】作CED⊥AB于D，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CD，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，

∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点
∴AC＝40×＝20海里，
∵∠A＝45°，∠1＝75°，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，
则∠B＝30°，
则DC＝ACsin45°＝20×＝10海里，
故BC＝2CD＝20≈28.3海里．
答：此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里．
【点评】此题主要考查了方向角问题，根据题意作出正确辅助线是解题关键．
20．（10分）如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点D（﹣1，﹣2），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣x+1；反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）x＞0或x＜﹣1；
（3）点P的坐标为（﹣5，6）或（3，﹣2）．
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（m，﹣m+1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【解答】解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（﹣1，﹣2），
∴OE＝1，DE＝2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入直线y＝mx+1，
得：﹣m+1＝2，
解得：m＝﹣1，
将A（﹣1，2）代入反比例函数y＝，
得：2＝，
解得：k＝﹣2；
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵当x＝﹣1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
∴x的取值范围为：x＞0或x＜﹣1；
（3）∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴S菱形OACD＝OC•AD＝4，
∵S△OAP＝S菱形OACD，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（m，﹣m+1），AB与y轴相交于点F，
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵S△OAF＝×1×1＝，
当P在A的左侧时，S△OAP＝S△OFP﹣S△OAF＝（﹣m）•OF﹣＝﹣m﹣，
∴﹣m﹣＝2，
∴m＝﹣5，﹣m+1＝5+1＝6，
∴P（﹣5，6），
当P在A的右侧时，S△OAP＝S△OFP+S△OAF＝m•OF+＝m+，
∴m+＝2，
∴m＝3，﹣m+1＝﹣2，
∴P（3，﹣2），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，6）或（3，﹣2）．

【点评】本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握反比例函数图象和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根据垂径定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可；
（2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD＝BE＝5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，
∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，
∵CD⊥OA，OA过O，
∴CH＝DH，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∴∠EFB＝∠DFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）解：设⊙O的半径为R，
∵在△DFB和△EFB中

∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD＝BE，
∵BE＝5，
∴BD＝5，
∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，
∴∠ADB＝∠DHB＝90°，
∵∠DBH＝∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴＝，
∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣，
∴＝，
解得：R＝，R＝﹣2（舍去），
即⊙O的半径是．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（6分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝，则a＝　﹣5　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】﹣5．
【分析】根据根与系数的关系用a表示出x1+x2和x1x2的积，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝a，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝32﹣4a＝9﹣4a，
∵x1﹣x2＝，
∴9﹣4a＝29，
解得a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
23．（6分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．
【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，
∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC＝2BD，
又∵OC•AC＝OD•BD，
∴OD＝2OC．
∵CD＝k，
∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（﹣，﹣），
∴AC＝3，BD＝，
∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD＝，
∴CD＝k＝＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．
24．（6分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　2　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【解答】解：如图：

取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD+PG＝PD′+PG＝D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．
∵D′C′＝4，OC′＝6
∴D′O＝
∴D′G＝2
∴PD+PG的最小值为2
故答案为：2
【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．
25．（6分）如图，线段AC＝n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作菱形ABMN与菱形BCEF，点F在BM边上，AB＝n，∠ABM＝60°，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；…；当AB＝n时，△AME的面积记为Sn，当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝　　．

【考点】三角形的面积；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2，即可得出答案．
【解答】解：连接BE．

∵菱形ABMN及菱形BCEF，∠ABM＝60°，∠FBC＝180°﹣∠ABM＝120°，
∴NA∥MB，∠EBC＝60°，
∴NAB＝180°﹣∠ABM＝120°，
∴∠MAB＝60°，
∴∠MAB＝∠EBC，
∴BE∥AM，
∴△AME与△AMB同底等高，
∴△AME的面积＝△AMB的面积，
∴当AB＝n时，△AME的面积记为Sn＝S△ABM＝n2，
Sn﹣1＝（n﹣1）2，
∴当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1＝（n﹣1）2﹣n2＝；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及菱形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．
26．（12分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣50x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，30≤x≤120，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣30）y
＝（x﹣30）（﹣50x+12000）
＝﹣50x2+13500x﹣360000
＝﹣50（x﹣135）2+551250，
∵﹣50＜0，
∴当x＜135时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤120，且x为正整数，
∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000）
＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m，
∴对称轴为直线x＝135+0.5m，
∵﹣50＜0，
∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数，
实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大，
只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了，
∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29，
∵29＜m≤60，
∴29＜m≤60．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．
27．（12分）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．
∴∠BCE+∠DCE＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠COD＝90°．
∴∠CDF+∠DCE＝90°．
∴∠CDF＝∠BCE，
∴△CBE≌△DFC．
∴CE＝DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．
【问题探究】
如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．试猜想的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】
如图2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．则＝　　．
【拓展应用】
如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF．求的值．



【考点】四边形综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）结论：＝1．证明见解析部分；
（2）；
（3）．
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可；
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM∽△ADN．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．证明△CME∽△BAF，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）结论：＝1．
理由：如图（1）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴＝1；

（2）如图（2）中，过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，

∴AM＝HF，AN＝EG，
在长方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．
∴＝，
∵AB＝m，BC＝AD＝n，
∴＝．
故答案为：；

（3）如图3中，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O．

∵CM⊥AB，
∴∠CME＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△CME∽△BAF，
∴＝，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴＝＝sin60°＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；（3）存在，点M的坐标为（﹣1，），EM+MP+PB的最小值为+1．
【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；
（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；
（3）由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．
【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），
则，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）存在，理由：
∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），
由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，
故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则或，
解得或，
故点F的坐标为（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

（3）存在，理由：
由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），

连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1为最小，
由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y＝（x+2），
当x＝﹣1时，y＝（x+2）＝，故点M的坐标为（﹣1，），
则EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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