2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷+答案

这是一份2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷+答案，共32页。


1.（单选题，3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（单选题，3分）下列计算正确的是（ ）
A.2a2•3a2=6a2
B.（-3a2b）2=6a4b2
C.（a-b）2=a2-b2
D.-a2+2a2=a2
3.（单选题，3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A.18分，17分
B.20分，17分
C.20分，19分
D.20分，20分
4.（单选题，3分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（单选题，3分）已知点A（-3，m）与点B（2，n）是直线y=- x+b上的两点，则m与n的大小关系是（ ）
A.m＞n
B.m=n
C.m＜n
D.无法确定
6.（单选题，3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（单选题，3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（ ）
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
8.（单选题，3分）对于抛物线y=ax2+2ax，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.（单选题，3分）如图1，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB-BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（ ）
A.5
B.8
C.5
D.2
10.（单选题，3分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B．C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）
A.12
B.3
C.4
D.3
11.（填空题，3分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___ ．
12.（填空题，3分）分解因式：4x2-1=___ ．
13.（填空题，3分）光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是 ___ ．
14.（填空题，3分）若单项式2xm-1y2与单项式 x2yn+1是同类项，则m+n=___ ．
15.（填空题，3分）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ___ ．
16.（填空题，3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是 ___ ．
17.（填空题，3分）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是___ ．
18.（填空题，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为___ ．
19.（问答题，5分）计算： -（π+1）0+（-3）2-（ ）-3．
20.（问答题，5分）解不等式组： ．
21.（问答题，6分）先化简，再求值：（ ） ，其中x= ．
22.（问答题，6分）已知：如图，AC=BD，AD=BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE=BE．
23.（问答题，6分）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ___ ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
24.（问答题，10分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了___ 名同学；
（2）条形统计图中，m=___ ，n=___ ；
（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是___ 度；
（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
25.（问答题，8分）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D，交BC于E．
（1）当点E的坐标为（3，n）时，求n和k的值；
（2）若点E是BC的中点，求OD的长．
26.（问答题，10分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE= ，BD=1，求AB的长．
27.（问答题，10分）如图，二次函数y=ax2+4ax-12a的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．
（1）请直接写出A、B两点的坐标：A___ ，B___ ；
（2）若以AB为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点．
① 求这个二次函数的表达式；
② 若P为二次函数图象位于第二象限部分上的一点，过点P作PQ平行于y轴，交直线BC于点Q．连接OQ、AQ，是否存在一个点P，使tan∠OQA= ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
28.（问答题，10分）【问题提出】（1）如图1，正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P在边BC上，且BP= BC，连接DE、PE、DP，求证：△PDE是直角三角形．
【问题探究】（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，PE⊥DE交BC于点P，点Q在线段DE上，且EQ=AE，连接PQ．
① 当点E是边AB的中点时，求四边形BPQE的周长；
② 当点E在线段AB上运动时，四边形BPQE的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
【问题解决】（3）如图2，在（2）条件下，随着点E在边AB上移动，求PQ的最小值．
2022年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
试题数：28，总分：0
1.（单选题，3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：B
【解析】：根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】：解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.（单选题，3分）下列计算正确的是（ ）
A.2a2•3a2=6a2
B.（-3a2b）2=6a4b2
C.（a-b）2=a2-b2
D.-a2+2a2=a2
【正确答案】：D
【解析】：根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【解答】：解：∵2a2•3a2=6a4，故选项A错误，
∵（-3a2b）2=9a4b2，故选项B错误，
∵（a-b）2=a2-2ab+b2，故选项C错误，
∵-a2+2a2=a2，故选项D正确，
故选：D．
【点评】：本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
3.（单选题，3分）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A.18分，17分
B.20分，17分
C.20分，19分
D.20分，20分
【正确答案】：D
【解析】：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】：解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，
所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，
故选：D．
【点评】：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
4.（单选题，3分）有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：C
【解析】：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】：解：从上面看，是一个矩形，矩形内部有一个圆与矩形的两边相切．
故选：C．
【点评】：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.（单选题，3分）已知点A（-3，m）与点B（2，n）是直线y=- x+b上的两点，则m与n的大小关系是（ ）
A.m＞n
B.m=n
C.m＜n
D.无法确定
【正确答案】：A
【解析】：先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】：解：∵直线y=- x+b中，k=- ＜0，
∴此函数是减函数．
∵-3＜2，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
6.（单选题，3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：B
【解析】：直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】：解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点评】：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
7.（单选题，3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（ ）
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
【正确答案】：A
【解析】：根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
【解答】：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD || CB，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠DFC=∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC=3，
同理可证：AE=AB=3，
∴AF=DE
∵AD=4，
∴AF=4-3=1，
∴EF=4-1-1=2．
故选：A．
【点评】：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．
8.（单选题，3分）对于抛物线y=ax2+2ax，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【正确答案】：C
【解析】：根据当x=1时，y=a+2a=3a＞0，确定a＞0，求出顶点坐标，即可求解．
【解答】：解：当x=1时，y=a+2a=3a＞0，
函数的对称轴为：x=-1，
顶点纵坐标为：0- =-a＜0，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：C．
【点评】：本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9.（单选题，3分）如图1，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB-BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（ ）
A.5
B.8
C.5
D.2
【正确答案】：D
【解析】：通过观察图2可以得出AC=6，BC=a，AB=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8，AB=10，当P为BC的中点时CP=4，由勾股定理求出AP长度．
【解答】：解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AC=6，P从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，
而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x=a时，BC=PC=a，此时y=a+2，
即AP=AB=a+2，AC=6，BC=a，AB=a+2，
∵∠C=90°，
由勾股定理得：（a+2）2=62+a2，
解得：a=8，
∴AB=10，BC=8，
当点P为BC中点时，AP=4，
∴AP= = =2 ，
故选：D．
【点评】：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
10.（单选题，3分）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B．C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y=kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）
A.12
B.3
C.4
D.3
【正确答案】：B
【解析】：过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图，根据点A（3，4）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形”ABCD面积．
【解答】：解：过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图．
∵点A的坐标为（3，4），
∴AC=AO= =5，AF=3，OF=4．
∵点A（3，4）在直线y=kx+1上，
∴3k+1=4，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=4-1=3=AF，
∴∠FGA=45°，AG= =3 ．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=3 ．
在Rt△ABC中，BC= = = ．
∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC=3 × =3 ；
故选：B．
【点评】：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
11.（填空题，3分）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1]x≥2
【解析】：根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】：解：由题意，得
x-2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】：此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.（填空题，3分）分解因式：4x2-1=___ ．
【正确答案】：[1]（2x+1）（2x-1）
【解析】：直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【解答】：解：4x2-1=（2x+1）（2x-1）．
故答案为：（2x+1）（2x-1）．
【点评】：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
13.（填空题，3分）光速是每秒30万公里，每小时1080000000公里．用科学记数法表示1080000000是 ___ ．
【正确答案】：[1]1.08×109
【解析】：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】：解：1080000000=1.08×109．
故答案为：1.08×109．
【点评】：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
14.（填空题，3分）若单项式2xm-1y2与单项式 x2yn+1是同类项，则m+n=___ ．
【正确答案】：[1]4
【解析】：根据同类项的意义，列方程求解即可．
【解答】：解：∵单项式2xm-1y2与单项式 x2yn+1是同类项，
∴ ，
∴m+n=4，
故答案为：4．
【点评】：本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提．
15.（填空题，3分）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ___ ．
【正确答案】：[1]
【解析】：直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出飞镖落在阴影区域的概率．
【解答】：解：（3+3+1）÷16= ．
故飞镖落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】：此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
16.（填空题，3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是 ___ ．
【正确答案】：[1]9-
【解析】：根据直角三角形的性质求出AE和∠AEM，根据勾股定理求出AM，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】：解：由题意得，AE= AB= ME= ，
∵∠A=90°，
∴∠AME=30°，AM= ，
∴∠AEM=60°，
同理，∠BEN=60°，
∴∠MEN=60°，
阴影部分的面积= =9- ，
故答案为：9- ．
【点评】：本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
17.（填空题，3分）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是___ ．
【正确答案】：[1]-3＜x＜1
【解析】：根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解答】：解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，
∴-m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P（1，p），Q（-3，q）两点，
观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，
直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是-3＜x＜1．
故答案为-3＜x＜1．
【点评】：本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
18.（填空题，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=3，P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为___ ．
【正确答案】：[1]1
【解析】：以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“=”，再求得 = = ，即可得出PM || AB || CD，∠CMN'=90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1．
【解答】：解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN=PN'，
∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为4，
∴AC= AB=4 ，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=2 ，
∵N为OA中点，
∴ON= ，
∴ON'=CN'= ，
∴AN'=3 ，
∵BM=3，
∴CM=AB-BM=4-3=1，
∴ = = ，
∴PM || AB || CD，∠CMN'=90°，
∵∠N'CM=45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM=MN'=1，
即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】：本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19.（问答题，5分）计算： -（π+1）0+（-3）2-（ ）-3．
【正确答案】：
【解析】：先计算二次根式、平方、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
【解答】：解： -（π+1）0+（-3）2-（ ）-3
=4-1+9-8
=4．
【点评】：此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
20.（问答题，5分）解不等式组： ．
【正确答案】：
【解析】：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】：解：解不等式3（x+1）＞6，得：x＞1，
解不等式2x≤x+5，得：x≤5，
则不等式组的解集为1＜x≤5．
【点评】：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.（问答题，6分）先化简，再求值：（ ） ，其中x= ．
【正确答案】：
【解析】：先算括号里面的，再算除法，把x的值代入进行计算即可．
【解答】：解：原式= •
= •
= •
= ，
当x=2+ 时，原式= =- ．
【点评】：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22.（问答题，6分）已知：如图，AC=BD，AD=BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE=BE．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用SSS证明△ACB≌△BDA；
（2）根据全等三角形的性质得出∠DAB=∠CBA，则OA=OB，根据等腰三角形的性质可得出结论．
【解答】：证明（1）在ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CBA=∠DAB，
∴OA=OB，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE．
【点评】：此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ACB≌△BDA是解题的关键．
23.（问答题，6分）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ___ ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
【正确答案】：
【解析】：（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】：解：（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
∵共有9种等可能结果，其中张三和李四在同一个检测点做核酸检测有3种情况，
∴张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率是 ．
【点评】：此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.（问答题，10分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了___ 名同学；
（2）条形统计图中，m=___ ，n=___ ；
（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是___ 度；
（4）学校计划购买课外读物5000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
【正确答案】：200; 40; 60; 72
【解析】：（1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；
（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，即可得出m的值；
（3）利用360°乘以对应的百分比即可求解；
（4）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量；
【解答】：解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，
故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人，
故答案为：200；
（2）根据科普类所占百分比为：30%，
则科普类人数为：n=200×30%=60人，
m=200-70-30-60=40人，
故m=40，n=60；
故答案为：40，60；
（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是： ×360°=72°，
故答案为：72；
（4）由题意，得5000× =750（册）．
答：学校购买其他类读物750册比较合理．
【点评】：此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
25.（问答题，8分）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D，交BC于E．
（1）当点E的坐标为（3，n）时，求n和k的值；
（2）若点E是BC的中点，求OD的长．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意表示出点D的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于n的方程，求得n的值，进而求得k的值．
（2）设D（x，2）则E（x+2，1），由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x的值即可得出答案．
【解答】：解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，点E的坐标为（3，n），
∴OB=3，AB=AD=2，
∴D（1，2），
∵反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为：y= ，
∵反比例函数y= 在第一象限的图象交BC于E，
∴n= ；
（2）设D（x，2），
∵点E是BC的中点，
∴E（x+2，1），
∵反比例函数y= 在第一象限的图象经过点D、点E，
∴2x=x+2，
解得x=2，
∴D（2，2），
∴OA=AD=2，
∴OD= =2 ．
【点评】：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
26.（问答题，10分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE=2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE= ，BD=1，求AB的长．
【正确答案】：
【解析】：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE=∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE=90°，推出∠BCD=∠OCE，得到∠BCD=∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】：（1）证明：连接OC，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE，
∴∠BOC=2∠E，
∵∠ABE=2∠E
∴∠ABE=∠BOC，
∴AB || OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠BCD=∠E，
∵∠A=∠E，tanE= ，BD=1，
∴ = ，
∴AD=9，
∴AB=8．
【点评】：本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
27.（问答题，10分）如图，二次函数y=ax2+4ax-12a的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．
（1）请直接写出A、B两点的坐标：A___ ，B___ ；
（2）若以AB为直径的圆恰好经过这个二次函数图象的顶点．
① 求这个二次函数的表达式；
② 若P为二次函数图象位于第二象限部分上的一点，过点P作PQ平行于y轴，交直线BC于点Q．连接OQ、AQ，是否存在一个点P，使tan∠OQA= ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【正确答案】：（2，0）; （-6，0）
【解析】：（1）令y=0，解方程即可得到答案；
（2） ① 根据二次函数的对称性可以表示出顶点坐标，再根据圆的半径相等建立方程即可得到答案；
② 由tan∠ABQ= 得到∠OQA=∠QBA，再根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到答案．
【解答】：（1）在y=ax2+4ax-12a中，
令y=0得ax2+4ax-12a=0，
解得：x1=2，x2=-6，
∴A（2，0），B（-6，0），
故答案为：A（2，0），B（-6，0）．
（2） ① ∵A（2，0），B（-6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x= =-2，AB=6-（-2）=8，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-16a），
∵以AB为直径的圆经过这个二次函数图象的顶点，
∴-16a= ，
∴ ，
∴这个二次函数的表达式为 ．
② 如图所示：
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=3，
∵ = = ，
∴tan∠ABQ= ，
∴∠OQA=∠QBA，
∴△AQO∽△ABQ，
∴AQ2=AO×AB=2×8=16，
∵C（0，3），
∴CQ解析式为y= +3，
设点P（x，- x2-x+3），则Q（x， x+3），
∴（2-x）2+（ x+3）2=16，
解得x=- 或x=2（不合题意，舍去），
∴点P的坐标为（- ， ）．
【点评】：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、圆的性质、相似三角形和三角函数的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识并能灵活运用是解决问题的关键．
28.（问答题，10分）【问题提出】（1）如图1，正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P在边BC上，且BP= BC，连接DE、PE、DP，求证：△PDE是直角三角形．
【问题探究】（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，PE⊥DE交BC于点P，点Q在线段DE上，且EQ=AE，连接PQ．
① 当点E是边AB的中点时，求四边形BPQE的周长；
② 当点E在线段AB上运动时，四边形BPQE的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
【问题解决】（3）如图2，在（2）条件下，随着点E在边AB上移动，求PQ的最小值．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用两边成比例且夹角相等，可证明△AED∽△BPE，得∠ADE=∠BEP，从而证明结论；
（2） ① 利用两个角相等证明△AED∽△BPE，得 ，可得BP的长，再利用勾股定理求出PQ和EP的长，可得答案；
② 设EQ=AE=a，由 ① 同理，用a的代数式表示出BP、PQ、EP的长，从而解决问题；
（3）由（2）知，QP= = ，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点E是边AB的中点，且BP= BC，
∴AD=2AE，BE= ，∠EAD=∠PBE=90°，
∴ ，∠EAD=∠PBE=90°，
∴△AED∽△BPE，
∴∠ADE=∠BEP，
又∵∠ADE+∠AED=180°-∠EAD=90°，
∴∠BEP+∠AED=90°，
∴∠DEP=180°-90°=90°，
∴△PDE是直角三角形；
（2）解： ① 由题意知，∠PED=90°，∠A=∠B=90°，
∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEP=180°-∠PED=90°，
∴∠ADE=∠BEP，
∴△AED∽△BPE，
∴ ，
又∵AE=BE= ，
∴BP=1，
在Rt△BEP中，EP= ，
在Rt△EPQ中，PQ= ，
∴四边形BPQE的周长为：BP+PQ+EQ+BE=1+3+2+2=8；
② 是定值，
设EQ=AE=a，
∴BE=4-a，
由 ① 得：△AED∽△BPE，
∴ ，
∴BP= ，
在Rt△BEP中，EP2=BE2+BP2，
在Rt△EPQ中，QP2=EP2+EQ2=BE2+BP2+EQ2=（4-a） = ，
∴QP= （负值已舍），
∴四边形BPQE的周长为：EP+EQ+QP+BP=4-a+a+ =4+4=8，
∴四边形BPQE的周长与a无关，为定值8；
（3）解：由（2）知，QP= = ，
即当a=2时，PQ有最小值，最小值为3，
∴当点E在AB上移动时，PQ的最小值为3．
【点评】：本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理，二次函数的性质等知识，运用含a的代数式表示出各线段的长是解题的关键．