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2023年广西壮族自治区柳州市中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年广西壮族自治区柳州市中考数学模拟试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西柳州市中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣2 D．4
2．（3分）北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
3．（3分）把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝3 B． C．＝ D．（）2＝3
5．（3分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
6．（3分）某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是80，60，80，70，90，这组数据的中位数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
7．（3分）如图1所示，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144° B．140° C．135° D．120°
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
10．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
11．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2分）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．
15．（2分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） ．
16．（2分）分解因式：x2﹣4x＝ ．
17．（2分）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点，若△APQ的面积S△APQ＝1，则△ABC的面积S△ABC＝ ．
18．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣8）÷4+﹣（﹣2022）0．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
22．（10分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
23．（10分）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）
（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）
24．（10分）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
（2）AD的取值范围是 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠PCB＝，BE＝8，求PC的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标（﹣，）；第二，确定自变量x的取值范围；第三，判定x＝﹣是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当m≤x≤n＜﹣（m＜n）时，x＝n时，y最大；当﹣＜m≤x≤n（m＜n）时，x＝m时，y最大．
若t＜0，t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值是t，求t的值．
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且∠DAP＝45°，求点P的坐标．
2023年广西柳州市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣2 D．4
【解答】解：﹣2＜0＜1＜3＜4，
故小于0的数是﹣2．
故选：C．
2．（3分）北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105元．
故选：B．
3．（3分）把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由x+1≤2x﹣1，得：
x≥2，
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝3 B． C．＝ D．（）2＝3
【解答】解：＝2，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
不能化简，是最简二次根式，故选项C错误，不符合题意；
（）2＝3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝110°，
∴∠2＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣110°＝70°，
故选：D．
6．（3分）某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是80，60，80，70，90，这组数据的中位数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【解答】解：把这组数据从小到大排列为60，70，80，80，90，
故中位数为80；
故选：C．
7．（3分）如图1所示，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共6张卡片，写有“信”的有1张，
所以从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是，
故选：D．
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144° B．140° C．135° D．120°
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故选：B．
10．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
【解答】解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∴CE＝BC＝4m．
故选：C．
11．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，
即：y＝x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，）
b的最大值为．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥4 ．
【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
14．（2分）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 96 分．
【解答】解：小丽的平均成绩是＝96（分），
故答案为：96．
15．（2分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） ﹣1（答案不唯一）． ．
【解答】解：∵点P（m，2）在第二象限内，
∴m＜0，
则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
16．（2分）分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
17．（2分）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点，若△APQ的面积S△APQ＝1，则△ABC的面积S△ABC＝ 4 ．
【解答】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴AP＝AB，AQ＝AC，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∵＝＝＝，
∴S△ABC＝4S△APQ＝4×1＝4，
故答案为：4．
18．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为 4 ．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，
解得AB＝4或3，
∵AB＜AD，即AB＜BC，
∴AB＝3，BC＝4．
即AD＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣8）÷4+﹣（﹣2022）0．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣1
＝﹣1．
20．（6分）解方程：．
【解答】解：方程的两边同乘x（x+1），
得：2（x+1）＝3x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入x（x+1）＝6≠0，
∴原方程的解为：x＝2．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ﹣2 ， 0 ）中心对称．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
故答案为：﹣2，0．
22．（10分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 1000 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%＝1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是：1000﹣400﹣250﹣150＝200，
补图如下；
（3）18000×＝3600（人）．
答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
23．（10分）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）
（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）
【解答】解：（1）设足球单价x元、篮球单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：足球单价30元、篮球单价40元；
（2）设最多买篮球m个，则买足球（46﹣m）个，根据题意得：
40m+30（46﹣m）≤1480，
解得：m≤10，
∵m为整数，
∴m最大取10，
答：这所中学最多可以买10个篮球．
24．（10分）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： A ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
（2）AD的取值范围是 1＜AD＜6 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【解答】（1）证明：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS）．
故选：A；
（2）∵△BDE和△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝5，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6，
故答案为：1＜AD＜6；
如图3，延长CB，GE交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBM＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠EBM，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵∠AEG＝∠BEM，
∴△AGE≌△BME（ASA），
∴GE＝ME，BM＝AG＝2，
∵∠GEF＝90°，
∴FE垂直平分MG，
∴FG＝FM，
∵FM＝FB+BM＝4+2＝6，
∴FG＝FM＝6．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠PCB＝，BE＝8，求PC的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE．
∵∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴AE＝BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
AB＝BE＝16，
∴OB＝OC＝8．
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴＝．
∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝．
∴＝＝．
设PB＝3x，则PC＝4x，
在Rt△POC中，（3x+8）2＝（4x）2+82，
解得x1＝0，x2＝，
∵x＞0，∴x＝，
∴PF＝PC＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标（﹣，）；第二，确定自变量x的取值范围；第三，判定x＝﹣是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当m≤x≤n＜﹣（m＜n）时，x＝n时，y最大；当﹣＜m≤x≤n（m＜n）时，x＝m时，y最大．
若t＜0，t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值是t，求t的值．
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且∠DAP＝45°，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵﹣＝﹣＝1，＝＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为D（1，4），
∵t＜0，
∴t+1＜1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵t≤x≤t+1＜1，
∴当x＝t+1时，y最大＝t，
∴﹣（t+1）2+2（t+1）+3＝t，
解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
（3）如图，作DE⊥x轴于点E，
∵D（1，4），
∴E（1，0），
作GD⊥AD，交AP的延长线于点G，作GF⊥x轴，DF⊥y轴，GF与DF交于点F，
∵∠ADG＝∠EDF＝90°，∠DAP＝45°，
∴∠GDF＝∠ADE＝90°﹣∠EDG，∠DGA＝∠DAG＝45°，
∴DG＝DA，
∵∠F＝∠AED＝90°，
∴△GDF≌△ADE（AAS），
∴DF＝DE＝4，GF＝AE＝1﹣（﹣1）＝2，
∴F（5，4），G（5，2），
设直线AG的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣1，0），G（5，2）代入y＝mx+n，
得，解得，
∴直线AG的解析式为y＝x+，
解方程组，得，（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，）．
2023年广西柳州市中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣2 D．4
2．（3分）北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
3．（3分）把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝3 B． C．＝ D．（）2＝3
5．（3分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
6．（3分）某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是80，60，80，70，90，这组数据的中位数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
7．（3分）如图1所示，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144° B．140° C．135° D．120°
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
10．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
11．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2分）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 分．
15．（2分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） ．
16．（2分）分解因式：x2﹣4x＝ ．
17．（2分）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点，若△APQ的面积S△APQ＝1，则△ABC的面积S△ABC＝ ．
18．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣8）÷4+﹣（﹣2022）0．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
22．（10分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
23．（10分）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）
（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）
24．（10分）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
（2）AD的取值范围是 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠PCB＝，BE＝8，求PC的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标（﹣，）；第二，确定自变量x的取值范围；第三，判定x＝﹣是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当m≤x≤n＜﹣（m＜n）时，x＝n时，y最大；当﹣＜m≤x≤n（m＜n）时，x＝m时，y最大．
若t＜0，t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值是t，求t的值．
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且∠DAP＝45°，求点P的坐标．
2023年广西柳州市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）有理数3，1，﹣2，4中，小于0的数是（ ）
A．3 B．1 C．﹣2 D．4
【解答】解：﹣2＜0＜1＜3＜4，
故小于0的数是﹣2．
故选：C．
2．（3分）北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ）
A．0.72×104 B．7.2×105 C．72×105 D．7.2×106
【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105元．
故选：B．
3．（3分）把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由x+1≤2x﹣1，得：
x≥2，
故选：A．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝3 B． C．＝ D．（）2＝3
【解答】解：＝2，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
不能化简，是最简二次根式，故选项C错误，不符合题意；
（）2＝3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【解答】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝110°，
∴∠2＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣110°＝70°，
故选：D．
6．（3分）某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是80，60，80，70，90，这组数据的中位数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【解答】解：把这组数据从小到大排列为60，70，80，80，90，
故中位数为80；
故选：C．
7．（3分）如图1所示，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共6张卡片，写有“信”的有1张，
所以从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是，
故选：D．
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144° B．140° C．135° D．120°
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
9．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝70°，则∠C的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，
∴∠C＝∠AOB＝×70°＝35°．
故选：B．
10．（3分）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
【解答】解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∴CE＝BC＝4m．
故选：C．
11．（3分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，
即：y＝x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，）
b的最大值为．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥4 ．
【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
14．（2分）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是 96 分．
【解答】解：小丽的平均成绩是＝96（分），
故答案为：96．
15．（2分）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可） ﹣1（答案不唯一）． ．
【解答】解：∵点P（m，2）在第二象限内，
∴m＜0，
则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
16．（2分）分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
17．（2分）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点，若△APQ的面积S△APQ＝1，则△ABC的面积S△ABC＝ 4 ．
【解答】解：∵P，Q分别为AB，AC的中点，
∴AP＝AB，AQ＝AC，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∵＝＝＝，
∴S△ABC＝4S△APQ＝4×1＝4，
故答案为：4．
18．（2分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为 4 ．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，
解得AB＝4或3，
∵AB＜AD，即AB＜BC，
∴AB＝3，BC＝4．
即AD＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣8）÷4+﹣（﹣2022）0．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣1
＝﹣1．
20．（6分）解方程：．
【解答】解：方程的两边同乘x（x+1），
得：2（x+1）＝3x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入x（x+1）＝6≠0，
∴原方程的解为：x＝2．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ﹣2 ， 0 ）中心对称．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
故答案为：﹣2，0．
22．（10分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 1000 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%＝1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是：1000﹣400﹣250﹣150＝200，
补图如下；
（3）18000×＝3600（人）．
答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
23．（10分）某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（提示：列方程组解答）
（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球？（提示：列不等式解答）
【解答】解：（1）设足球单价x元、篮球单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：足球单价30元、篮球单价40元；
（2）设最多买篮球m个，则买足球（46﹣m）个，根据题意得：
40m+30（46﹣m）≤1480，
解得：m≤10，
∵m为整数，
∴m最大取10，
答：这所中学最多可以买10个篮球．
24．（10分）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： A ；（填入你选择的选项字母）
A．SAS
B．SSS
C．AAS
D．ASA
（2）AD的取值范围是 1＜AD＜6 ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
【解答】（1）证明：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS）．
故选：A；
（2）∵△BDE和△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝5，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6，
故答案为：1＜AD＜6；
如图3，延长CB，GE交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EBM＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠EBM，
∵E是AB中点，
∴AE＝BE，
∵∠AEG＝∠BEM，
∴△AGE≌△BME（ASA），
∴GE＝ME，BM＝AG＝2，
∵∠GEF＝90°，
∴FE垂直平分MG，
∴FG＝FM，
∵FM＝FB+BM＝4+2＝6，
∴FG＝FM＝6．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠PCB＝，BE＝8，求PC的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE．
∵∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴AE＝BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
AB＝BE＝16，
∴OB＝OC＝8．
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴＝．
∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝．
∴＝＝．
设PB＝3x，则PC＝4x，
在Rt△POC中，（3x+8）2＝（4x）2+82，
解得x1＝0，x2＝，
∵x＞0，∴x＝，
∴PF＝PC＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标（﹣，）；第二，确定自变量x的取值范围；第三，判定x＝﹣是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当m≤x≤n＜﹣（m＜n）时，x＝n时，y最大；当﹣＜m≤x≤n（m＜n）时，x＝m时，y最大．
若t＜0，t≤x≤t+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值是t，求t的值．
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且∠DAP＝45°，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵﹣＝﹣＝1，＝＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为D（1，4），
∵t＜0，
∴t+1＜1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵t≤x≤t+1＜1，
∴当x＝t+1时，y最大＝t，
∴﹣（t+1）2+2（t+1）+3＝t，
解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
（3）如图，作DE⊥x轴于点E，
∵D（1，4），
∴E（1，0），
作GD⊥AD，交AP的延长线于点G，作GF⊥x轴，DF⊥y轴，GF与DF交于点F，
∵∠ADG＝∠EDF＝90°，∠DAP＝45°，
∴∠GDF＝∠ADE＝90°﹣∠EDG，∠DGA＝∠DAG＝45°，
∴DG＝DA，
∵∠F＝∠AED＝90°，
∴△GDF≌△ADE（AAS），
∴DF＝DE＝4，GF＝AE＝1﹣（﹣1）＝2，
∴F（5，4），G（5，2），
设直线AG的解析式为y＝mx+n，
将A（﹣1，0），G（5，2）代入y＝mx+n，
得，解得，
∴直线AG的解析式为y＝x+，
解方程组，得，（不符合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，）．
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