2023年湖南省中考数学模拟试题（含答案）

这是一份2023年湖南省中考数学模拟试题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023湖南省中考数学模拟试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方框里）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
2. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形
3. 不等式的解集是（　　　 ）．
A. B. C. D.
4. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7. “冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
玩具数量（件）
35
47
50
48
42
60
68
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ）
A. 48，47 B. 50，47 C. 50，48 D. 48，50
8. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）

A. 1 B. C. 2 D.
10. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. 是直角三角形
C. D.
11. 将直线向上平移2个单位，相当于（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位
C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位
12. 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13. 四个数－1，0，，中，为无理数的是_________．
14.分解因式：________．
15. 若有意义，则的取值范围是_________．
16. 方程的解为________．
17. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为_________米．
18. 如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则______．

三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19.（6分）化简：
20. （6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21. （10分）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求的解析式并直接写出时的取值范围；
（2）以为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
22．（8分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
23．（8分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

25. （12分）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

（1）如图①，求射线的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；
（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．
26. （16分）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．

（1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
（2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方框里）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点-2到原点距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A．
2. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形
【答案】B
【解析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．
因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．
3. 不等式的解集是（　 ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以4即可求解．
4x−12，
故答案为：x>2．
【点睛】本题考查的是分式及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0解题的关键．
16. 方程的解为________．
【答案】
【解析】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
方程两边同时乘以，


解得
经检验，是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
17. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为_________米．
【答案】4×105
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
400000＝4×105，
故答案为：4×105．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
18. 如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则______．

【答案】110º
【解析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE=180º，代入求解即可．
∵是等腰三角形，∠A=120º，
∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，
∵四边形是平行四边形，
∴OFDE，
∴∠2+∠ABE=180º，
即∠2+30º+40º=180º，
∴∠2=110º．
故答案为：110º．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19.（6分）化简：
【答案】
【解析】原式括号中通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再将分子分母分别因式分解，进而约分得到最简结果即可．
原式



．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．
20. （6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【解析】平常速度行驶了的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】设小强家到他奶奶家的距离是千米，则平时每小时行驶千米，减速后每小时行驶千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：，
解得：，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题，直接设未知数法，找到准确的等量关系，列出方程正确求解是解题的关键．
21. （10分）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求的解析式并直接写出时的取值范围；
（2）以为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【答案】（1）或
（2）或或或
【解析】【分析】（1）由点可求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的对称性可求出，从而求解出时的取值范围；
（2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线的图象上且两个点关于原点对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．
【小问1详解】
解：设，
在反比例函数的图象上，
，
，
由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即，
当或时，；
小问2详解】
如图所示，菱形的另外两个点设为M、N，


由菱形的性质和判定可知M、N在直线的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设，则，
菱形AMBN的周长为，
,
，，
，
，即，，
设直线AM的解析式为：,
则：，解得：，
AM的解析式为：，
同理可得AN的解析式为：，
BM的解析式为：，
BN的解析式为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合性问题，涉及了菱形性质的应用，勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数解析式求法，菱形性质的灵活应用是解题的关键．
22．（8分）一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【答案】见解析。
【解析】（1）设白球有x个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右可估计摸到红球的概率为0.75，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：＝0.75，
解得x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．
23．（8分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．

【答案】见解析。
【解析】在Rt△BCD中，利用正切函数求得BC，在Rt△ACD中，利用正切函数求得AC，即可根据AB＝AC﹣BC求得旗杆AB的高度．
解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20（m），
在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6（m），
∴AB＝AC﹣BC＝56（m）．
答：旗杆AB的度约为56m．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

【答案】见解析。
【解析】（1）根据题意先得出AB切⊙O于点D，⊙O与AC边相切于点D，根据切线长定理即可得出AB＝AD；
（2）根据题意作出辅助线BD，根据角之间的互余关系推出∠EBD＝∠EDC，再根据正切函数的定义以及相似三角形的性质推出各边之间的关系，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
又∵AB经过半径⊙O的外端点B，
∴AB切⊙O于点D，
又∵⊙O与AC边相切于点D，
∴AB＝AD．
（2）解：如图，

连接BD，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵，
∴，
即，
∵DE＝2，
∴BD＝4，，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
设CE＝x，则DC＝2x，
∴，
∴x1＝0（舍去），，
即线段EC的长为．
25. （12分）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

（1）如图①，求射线的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；
（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．
【答案】（1）， （2）4 （3）
【解析】【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解；
（3）先求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点A、B坐标，设P点坐标为，根据A、P的坐标求出直线AP的解析式，即可求出AP与ME的交点N的坐标，即可用含a的代数式表示出和，即可得到，则问题得解．
【详解】（1）∵直线与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标(2,0)，E点坐标为(0,2)，
∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5,3)，
设射线MF的解析式为，，
∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，
∴ ，解得：，
∴射线MF的解析式为，，
（2）根据题意可知射线ME的解析式为：，，
在（1）中已求得射线MF的解析式为，，
∵的对称轴为x=2，
又∵M点(2,0)，
∴M点刚好在的对称轴为x=2上，
∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，
∵，
∴此时交点的坐标为、，且、，
∵、在抛物线上，
∴，
由①-②，得：，
整理得：
∵、，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵抛物线过点C(0,5)，
∴代入C点坐标可得a=5，
∴抛物线解析式为，
令y=0，得，
解得：，，
∴A点坐标(-1,0)、B点坐标为(5,0)，
∵P点在抛物线上，
∴设P点坐标为，
显然A、P不重合，即a≠-1，
∵P点在x轴上方，
∴，
设直线AP的解析式为，
∴即有，解得，
即直线AP的解析式为：，
联立，解得，
∴N点坐标为，
∵P点坐标为，A点坐标(-1,0)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且通过图像可知，只有当P点在直线ME上方时，的值才有可能取得最大值，
∴，即，
∴即有，
∴，
∴当时，取的最大值，且最大值为：，
即的最大值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键．

26. （16分）在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．

（1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
（2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．
【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解
【解析】【分析】（1）①证明即可；②连接BG，CG，证明，即可证明；
（2）①的结论和（1）中证明一样，证明即可；②的结论，作，证明即可．
【小问1详解】
证明：①证明过程：
四边形ABCD为矩形，

平分

为等腰直角三角形






②证明：连接BG，CG，

G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，


平分，










【小问2详解】
作，如图所示


由（1）同理可证：

四边形ABCD为平行四边形



G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得
，