吉林省长春市第五十二中学2022-2023学年下学期九年级数学第一次月考试题

吉林省长春市第五十二中学2022-2023学年下学期九年级数学第一次月考试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各式属于最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．方程的解是（    ）

A．， B．， C．， D．，

3．若，则的值为（    ）

A． B． C．5 D．

4．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（    ）

A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月

5．小明沿着坡比为的上坡向上走了100米，则他升高了（    ）米

A． B．50 C． D．100

6．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的是（  ）

A． B． C． D．

7．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

8．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．计算=________．

10．二次根式有意义的条件是_____________

11．如图，则△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为______．（结果保留π）

12．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若，则_________．

13．如图，在中，，．若以点为圆心的圆与相切于点，连结，则____________

14．已知函数．当时，，则的取值范围_____________

三、解答题

15．计算：．

16．有A、B两个不透明的盒子，A盒子里有三张卡片，分别标有数字1、2、3．B盒子里有两张卡片，分别标有数字4、5，这些卡片除数字外其余均相同．将卡片摇匀后，从A、B盒子里各抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率．

17．学校图书馆去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册．求这两年的年平均增长率．

18．如图，在中，是的直径，是弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）的半径为，求的长．

19．如图，是由个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点A，B，C均在格点上，在，上各取一点D，E，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图

(1)在图①中画线段，使

(2)在图②中画线段DE，使

20．从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测．过程如下，请补充完整．

收集数据：

从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数如下：

千家店镇：120  115  100  100  95  85  80  70  50  50  50  45

永宁  镇：110  90   105  80   90  85  90  60  90  45  70  60

整理、描述数据：

空气质量

按如表整理、描述这两镇空气污染指数的数据：

（说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．）

分析数据：

两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示；

请将以上两个表格补充完整；

得出结论：可以推断出　   　镇这一年中环境状况比较好，理由为　   　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

21．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）

22．【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点．以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在的内部，连结．

求证：的面积等于面积的一半．

【问题解决】小慧的做法是连结并延长，交CB于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明．

【问题拓展】如图②，在四边形中，平分．，若．，则面积的最大值为______．

23．如图，在中，，，动点从点出发、以每秒2个单位的速度向终点运动；当点不与、重合时，过点作的平行线交于点.动点从点出发，以每秒3个单位的速度向终点运动.以、为邻边作.点、同时出发，设运动时间为秒.

(1)用含的代数式表示的长

(2)设和重合部分的面积为，求与的函数关系式.

(3)若点关于直线的对称点为，直接写出直线和的边垂直时的值

24．在平面直角坐标系中，点，在二次函数（是常数）的图像上，，两点之间的部分（包括，两点）图像记为．设点，两点的横坐标分别为，．

(1)当时，求二次函数图像的最低点的坐标．

(2)当图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围．

(3)设图像的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，当图像的最高点只有点时，求与之间的函数关系式．

(4)设图像的最高点与最低点分别为，，以，为对角线作矩形，若矩形的周长为4，求的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案．

【详解】解：A、被开方数是小数，故A不符合题意；

B、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，故B符合题意；

C、可以进行分母有理化，故C不符合题意；

D、被开方数含开得尽的因数，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式．

2．B

【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方即可得到方程的解．

【详解】解：，

变形得：，

开方得：，

解得，，

故选：B．

【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的依据是解题的关键．

3．B

【分析】把变形为，再代入求值即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确将变形为是解答本题的关键．

4．D

【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可

【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；

B、水涨船高是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；

D、水中捞月是不可能事件，符合题意；

故选D

【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．

5．B

【分析】根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设米，则米，根据勾股定理求解即可．

【详解】解：根据题意，画出图形，如下：

由题意可得，，

设米，则米，

由勾股定理可得：，即

解得，

即米，他升高了50m，

故选：B．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．

6．C

【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．

【详解】∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

∴，

故选：C．

【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

7．C

【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．

【详解】解：∵⊙O的直径是AB，

∴∠ACB=90°，

又∵AB=2，弦AC=1，

∴sin∠CBA=，

∴∠CBA=30°，

∴∠A=∠D=60°，

故选C．

考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形．

8．D

【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．

【详解】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），

把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：

，

解得：，

∴函数表达式为：，

∵a＜0，故函数有最大值，

∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，

答：水流喷出的最大高度为2米．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解．

9．1

【详解】试题解析：3-2=1.

10．##

【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可作答．

【详解】根据题意有：，且，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须；要使分式有意义，即分式的分母不为0．

11．．

【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠B的度数，再代入弧长公式计算即可．

【详解】解：∵△ABC中，∠BAC=100°，AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°﹣100°）=40°，

∵AB=4，

∴的长为=．

故答案为：．

【点睛】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．

12．2

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质，得，然后由三角形的中位线定理，即可求出答案．

【详解】解：根据题意，

∵在中，∠ACB=90°，

∵点是AB的中点，

∴，

∵点、分别是、的中点，

∴；

故答案为：2

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．

13．##

【分析】先利用勾股定理求出，再证明，问题随之得解．

【详解】∵在中，，，，

∴，，

∵点为圆心的圆与相切于点，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求解一个角的正弦值，圆切线的性质以及勾股定理等知识，掌握圆切线的性质是解答本题的关键．

14．

【分析】先确定抛物线的对称轴，计算时，自变量的值；当时，自变量的值，根据函数的增减性建立不等式计算即可．

【详解】∵函数，

∴对称轴为直线；

当时，，

解得；

当时，，

解得，，

∵时，，

∴，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，增减性，不等式组的解集，熟练掌握抛物线的性质，灵活转化为不等式组求解是解题的关键．

15．3．

【详解】试题分析：利用特殊三角函数值，零指数幂，算术平方根，绝对值计算即可.

试题解析：原式=4× +1-2+2=2+1-2+2=3 .

16．树状图见解析，

【分析】画出树状图，由树状图求出数字之积是偶数的数量，再由概率公式即可求出答案．

【详解】解：画树状图得：

由图可知共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的结果有4种，

抽到两张卡片上标有的数字之积是偶数的概率为．

【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．

17．这两年的年平均增长率为

【分析】设这两年的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．

【详解】解：设这两年的年平均增长率为，

根据题意列方程得，

即，

解得，（负值舍去），

即：．

答：这两年的年平均增长率为．

【点睛】按照增长率下降率的模型，列方程．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

18．（1）见解析；（2）

【分析】连接，求出，根据切线的判定得出即可；

解直角三角形求出，求出，根据勾股定理可得

【详解】证明：连接

是弦的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

解：在中    

在中

在中

．

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及有切线的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，本题属于中等题型．

19．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用三角形中位线定理解决问题；

（2）取格点P，Q，连接交于点D，交于点E，线段即为所求．

【详解】（1）如图①中，线段即为所求；

（2）如图，线段即为所求．

【点睛】本题考查-应用与设计作图，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．

20．1，9，2；82.5，90；千家店；千家店镇空气质量优的天数多于永宁镇，千家店镇的污染指数的平均数小于永宁镇或千家店镇空气污染指数的众数是50，属于空气质量优，而永宁镇空气污染指数的众数是90，属于轻微污染等（理由不唯一）．

【分析】首先根据空气污染指数的数据及空气优、良和轻度污染的标准，对永宁镇进行分类并填空，根据众数和平均数的定义，计算出千家店镇的中位数和永宁镇的众数；根据表格的平均数、中位数、众数对两个镇的情况作出一个简单的判断即可．

【详解】解：永宁镇空气质量为优的天数是1天；空气质量为良的天数为9天；空气质量为轻微污染的天数为2天；

故答案为：1，9，2

千家店镇：120  115  100  100  95  85  80  70  50  50  50  45，

其中位于中间的两个数是85和80，所以其中位数为=82.5；

永宁镇的数据中，90出现了三次最多，故其众数为90．

故答案为：82.5，90．

千家店镇的环境状况较好．（理由不唯一）

例如：千家店镇空气质量优的天数多于永宁镇，千家店镇的污染指数的平均数小于永宁镇或千家店镇空气污染指数的众数是50，属于空气质量优，而永宁镇空气污染指数的众数是90，属于轻微污染等．

【点睛】本题考查了数据的整理分析，中位数和众数的求法，果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，也可能是一个或几个．

21．点E与点D间的距离是358.4米．

【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，即，解得（米），

答：点E与点D间的距离是358.4米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到为直角三角形．

22．【问题解决】见解析；【问题拓展】6．

【分析】问题解决：如图，连结并延长，交边于点Q．证明，可得．点P为的中点．从而可得的面积等于面积的一半．

问题拓展：如图，以为直径作，延长交的延长线于 由（1）同理可得： 可得当时，可得最大，则最大，从而可得答案．

【详解】解：问题解决：如图，连结并延长，交边于点Q．

∵为⊙O的直径，

∴．

∴．

∵平分，

∴

∵，

∴．

∴．

∵．

∴点P为的中点．

∴，

∴．

∴的面积等于面积的一半．

问题拓展：最大面积为6．理由如下：

如图，以为直径作，由，则在上，延长交的延长线于

由（1）同理可得：

当时，最大，则最大，

即的面积的最大值为：

【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的中线的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）如图1中，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

（2）分三种情形：如图2-1中，当时，重叠部分是四边形．如图2-2中，当时，重叠部分是四边形，如图2-3中，当时，重叠部分是，分别求解即可．

（3）分两种情形：①如图3-1中，当时，设交于K．②如图3-2中，当于J时，延长交于K．分别构建方程求解即可．

【详解】（1）如图1中，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）如图2-1中，当时，重叠部分是四边形，；

如图2-2中，当时，重叠部分是四边形，；

如图2-3中，当时，重叠部分是，；

综上所述，；

（3）①如图3-1中，当时，设交于K．

由题意，，，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得或（舍弃）．

②如图3-2中，当于J时，延长交于K．

由题意：，，，，

∵，

∴，

∴，

经检验：是分式方程的解．

综上所述，满足条件的t的值为或．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

24．(1)

(2)

(3)当时，；当时，

(4)或

【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式即可；

（2）图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大时，点A和点B在抛物线对称轴的右侧，且点A在点B右侧，由此列不等式即可求出的取值范围；

（3）分别求出的最低点坐标，点A，点B的纵坐标，分和两种情况，找出点为图象G的最高点时，图象G的最低点坐标，即可求出与之间的函数关系式；

（4）结合（3）中结论，分，，，四种情况，分别找出图象G的最高点和最低点，根据矩形的周长为4，列式计算即可．

【详解】（1）解：当时，

，

最低点的坐标为．

（2）解：二次函数中二次项系数为正，

抛物线开口向上，对称轴为：，

当时，随的增大而增大，

图像的最高点为点，且图像对应的函数值随的增大而增大，

，

解得，

即的取值范围是．

（3）解：，

二次函数图象的最低点坐标为，

将，代入，可得：

，

，

当对称轴时，点A和点B都在对称轴右侧，

图像的最高点只有点，

，

解得，

此时，点为图象G的最高点，点A为图象G的最低点，

；

当对称轴时，点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，

图像的最高点只有点，

解得，

此时，点为图象G的最高点，点为图象G的最低点，

；

综上可知，当时，；当时，；

（4）解：由（3）可知，当时，点为图象G的最高点，点A为图象G的最低点，

M点坐标为，N点坐标为，

矩形的周长，

解得或（舍）；

当时，点为图象G的最高点，点为图象G的最低点，

M点坐标为，N点坐标为，

矩形的周长，

解得（舍），或（舍）；

当时，，

点A和点B都在对称轴右侧，点为图象G的最低点，点A为图象G的最高点，

M点坐标为，N点坐标为，

矩形的周长，

解得或（舍）；

当时，，

点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧，点A为图象G的最高点，点为图象G的最低点，

M点坐标为，N点坐标为，

矩形的周长，

综上可知，的取值范围为或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数的最值、对称轴，根据增减性求参数的取值范围等，解题的关键是熟练运用数形结合思想，注意分类讨论．