2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市八年级（下）第一次段考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “的倍与的差是正数”用不等式可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在，，，，，中，是不等式的解的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  已知“”，则下列不等式中，不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是内一点，且点到三边，，的距离相等，即，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，于点，于点，于点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  “两直线平行内错角相等”的逆命题是______ 命题填“真”或“假”

10.  不等式有        个负整数解．

11.  如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则，两地相距        海里．

12.  如图，是的边的垂直平分线，分别交，于点，，平分，若，则        ．

13.  如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，，则的面积等于        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
将下列不等式的解集分别表示在数轴上．
；

．
 

15.  本小题分
将下列不等式化成“”或“”的形式．
；
；
 

16.  本小题分
如图，在中，已知，，求的长．

17.  本小题分
请将下面的证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，，交的延长线于点，且．
求证：．
证明：，
       两直线平行，同位角相等，
      
，
       等量代换，
      
，
等量代换，
      

18.  本小题分
如图，是内的一条射线，是上一点，过点作于点，于点，已知，求证：是的平分线．

19.  本小题分
近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某乡镇计划在村、村之间建一个医疗站，两村座落在两相交的笔直公路，内如图所示医疗站必须满足下列条件：点到两公路距离相等，点到两村的距离也相等请你通过尺规作图确定点的位置保留作图痕迹，不写作法

20.  本小题分
为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示．

若购买该批设备的资金不超过元，请你写出购买的甲型设备数量台应满足的不等式；
若要求有效监控半径覆盖范围大于米，请你写出购买的甲型设备数量台应满足的不等式．

21.  本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，点为的中点，连接，此时，求证：．

22.  本小题分
如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，求的长．

23.  本小题分

如图，四边形中，，，为边上的一点，且平分，平分求证：

；
为的中点．

24.  本小题分
如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点．
求的度数．
求证：．

25.  本小题分
如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，．
若的周长为，的周长为．
求线段的长；
求线段的长．
若，求的度数．

26.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分．
如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______
问题解决：如图，求证；
问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：中，，，
直角三角形的两个锐角互余，
．
故选：．
根据直角三角形的两个锐角互余的性质进行解答．
本题考查了直角三角形的性质．解答该题时利用了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
正数就是大于的意思，根据的倍与的差大于，可列出不等式．
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
 

3.【答案】 

【解析】解：秋千旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，
，，
．
故选：．
根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，
可得：，
所以，在，，，，，中，是不等式的解的有，，，共个，
故选：．
根据一元一次不等式解法计算即可．
此题考查一元一次不等式解法，关键是根据一元一次不等式解法：移项、合并同类项和系数化为计算即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意米，
，
米，
米．
故选：．
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
由题意得：
，，，
，
平分，平分，
，，



，
故选：．
先利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得平分，平分，从而利用角平分线的定义可得，，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先得出是的中线，得出，又，将代入即可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
 

9.【答案】真 

【解析】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，
其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；
故答案为：真．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．
本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
 

10.【答案】 

【解析】解：不等式的负整数解为、，，共个，
故答案为：．
从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，
一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，
，海里，
是等边三角形，
海里．
故答案为：．
由已知可得，海里，所以是等边三角形，即可得出结果．
本题考查了解直角三角形中的方向角问题，根据题意得出为等边三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是边的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示，
平分，，，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的面积，
故答案为：．
过点作于点，然后根据平分线的性质可知，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的度数，从而可以求得的长，然后根据可以得到的长，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】解：如图所示：
如图所示： 

【解析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法分别画出所求范围即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
 

15.【答案】解：两边同时减去，
得，
即；
两边同时加上，
得，
得；
两边都乘，
得，
两边同时乘，
即． 

【解析】根据不等式的性质不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可；
根据不等式的性质不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，求解即可；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，求解即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，，
． 

【解析】由等腰三角形的判定可得，由三角形的内角和定理可求解，再利用勾股定理计算可求解．
本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】  两直线平行，内错角相等    等角对等边  等边对等角 

【解析】解：，
两直线平行，同位角相等，
两直线平行，内错角相等，
，
等量代换，
等角对等边，
，
等量代换，
等边对等角，
故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；等边对等角．
先利用平行线的性质可得：，，从而利用等量代换可得，然后利用等角对等边可得，从而可得，最后利用等边对等角即可解答．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：于点，于点，
，
在与中，
，
≌，
，
即是的平分线． 

【解析】根据垂直的定义和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据证明与全等解答．
 

19.【答案】解：画出角平分线；作出垂直平分线．

交点即满足条件． 

【解析】画出两条公路夹角的平分线和、两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．
此题主要考查角平分线、垂直平分线的作法在实际中的应用．
 

20.【答案】解：设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，
依题意得：．
设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，
依题意得：． 

【解析】设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，根据总价单价数量，结合购买该批设备的资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式即可；
设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于米，即可得出关于的一元一次不等式，解．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

，，
，
，
点为的中点，
，
是线段的垂直平分线，
，
垂直平分，
，
． 

【解析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，作于，

，，
，
在中，，，
，
，
． 

【解析】作于，利用等腰三角形的性质可求解，再利用含角的直角三角形的性质求出即可．
本题主要考查含角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】解：，
，
平分，平分，
，
，
，
即；
作交于，
，，
，，
平分，平分，
，，
，
即为的中点． 

【解析】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到答案；
作，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到答案．
 

24.【答案】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
．

证明：是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
． 

【解析】利用平行线的性质求出，再利用三角形的内角和定理解决问题即可．
想办法证明，即可解决问题．
本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
；
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
；
，
，
，，
，，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

26.【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等；
如图，作交延长线于，于，

平分，，，
，
，，
，
在和中，

≌，
；
如图，在时截取，连接，

，，
，
平分，
，
，
，即，
由的结论得，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
平分，，，
角平分线上的点到角的两边距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
作交延长线于，于，证明≌，根据全等三角形的性质证明；
在时截取，连接，根据的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明．