陕西省西安市第八十五中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷+

这是一份陕西省西安市第八十五中学2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷+，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安八十五中2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．对顶角相等
D．同位角互补，两直线平行
3．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm
4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
5．如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BF＝CE B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF
6．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（　　）

A．120° B．30° C．60° D．80°
7．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝
C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
9．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
10．若关于x的不等式2x+a≤3的最大整数解是4，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣3 B．﹣5＜a≤﹣3 C．﹣7≤a＜﹣5 D．﹣7＜a≤﹣5
二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）
11．“x的一半与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是　 　．
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设　 　．
13．商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打　 　折销售．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高线，E为AC上一点，且有AE＝AD．已知∠EDC＝12°，则∠B＝　 　．

15．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠BAD＝15°，BD＝18cm，则AC的长是　 　cm．

三、解答题（共75分）
16．（8分）解不等式和不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）+1≥x．
17．（6分）求不等式组：的非负整数解．
18．（5分）为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等．请用尺规作图画出体育中心G的位置．

19．（6分）若不等式与x﹣a＞5x的解集相同，求a的值．
20．（8分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．

（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．

21．（10分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
22．（10分）在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，求等腰三角形ABC顶角的度数．（要求先画图，再写出解答过程）
23．（10分）如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．

24．（12分）如图在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】解：x﹣1＜0，
∴x＜1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
2．下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．对顶角相等
D．同位角互补，两直线平行
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、全等三角形的判定和平行线的判定进行判断．
【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、若三角形的三边满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边满足a2+b2＝c2，成立，符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
D、同位角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
3．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当9为腰时，9+9＞12，故此三角形的周长＝9+9+12＝30；
②当12为腰时，9+12＞12，故此三角形的周长＝9+12+12＝33．
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
5．如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BF＝CE B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
A．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，AB＝DE，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为（　　）

A．120° B．30° C．60° D．80°
【分析】先根据等腰三角形内角和定理得出∠B的度数，再由中垂线的知识得出△ABD为等腰直角三角形，可得出∠BAD的度数，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，即可得出∠ADC的度数．
【解答】解：根据题意，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
在△BAD中，∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，
∴∠ADC＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理和三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和．做题时，要结合图形，选择方法．
7．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝
C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．
【解答】A、∵∠A+∠C＝∠B，
∴∠B＝90°，
故是直角三角形，正确；
B、∵（）2+（）2≠（）2，
故不能判定是直角三角形；
C、∵（b+a）（b﹣a）＝c2，
∴b2﹣a2＝c2，
即a2+c2＝b2，
故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
∴∠A＝×180°＝90°，
故是直角三角形，正确．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．
9．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2
【分析】由图象可以知道，当x＝﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＜k1x+b解集．
【解答】解：两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
10．若关于x的不等式2x+a≤3的最大整数解是4，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣3 B．﹣5＜a≤﹣3 C．﹣7≤a＜﹣5 D．﹣7＜a≤﹣5
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的最大整数解是﹣5得到一个关于a的不等式组，从而求解．
【解答】解：解不等2x+a≤3得：x≤，
根据题意得：4≤＜5．
解得：﹣7＜a≤﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．
二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）
11．“x的一半与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是　﹣2≤﹣1　．
【分析】关键描述语是：差不大于﹣1．意思是，最后算的差，应小于或等于﹣1．
【解答】解：根据题意，得﹣2≤﹣1．
【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设　∠B≥90°　．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打　8　折销售．
【分析】由题意可知：利润率为20%时，获得的利润为4×20%＝0.8元；若打x折该商品获得的利润＝该商品的标价×﹣进价，列出不等式，解得x的值即可．
【解答】解：设可以打x折出售此商品，由题意得：，
解得：x≥8，
答：该文具盒实际价格最多可打8折，
故答案为：8
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC上的高线，E为AC上一点，且有AE＝AD．已知∠EDC＝12°，则∠B＝　66°　．

【分析】先由AD＝AE，得到∠ADE＝∠AED，由直角得出互余的角，再根据等边对等角得出结果．
【解答】解：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDC＝12°，
∴∠ADE＝∠AED＝78°，
∴∠C＝66°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝66°，
故答案为66°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
15．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠BAD＝15°，BD＝18cm，则AC的长是　9　cm．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB＝18，根据三角形的外角性质求出∠ADC＝30°，根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵DE是线段AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB＝18，
∴∠B＝∠BAD＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，
∴AC＝DA＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解不等式和不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）+1≥x．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可；
（2）根据解一元一次不等式的方法求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【解答】解：（1）2（﹣3+x）＞3（x+2），
去括号，得：﹣6+2x＞3x+6，
移项及合并同类项，得：﹣x＞12，
系数化为1，得：x＜﹣12，
其解集在数轴上表示如下：
；
（2）+1≥x，
去分母，得：x﹣1+2≥2x，
移项及合并同类项，得：﹣x≥﹣1，
系数化为1，得：x≤1，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
17．（6分）求不等式组：的非负整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集，进而求出所有的非负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤4，
即所有非负整数解为0，1，2，3，4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等．请用尺规作图画出体育中心G的位置．

【分析】分别作线段PQ、PR的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为G处．
【解答】解：如下图：

点G即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握线段的垂直平分线的性质是解决问题的关键．
19．（6分）若不等式与x﹣a＞5x的解集相同，求a的值．
【分析】求出两个不等式的解集，由解集相同列出关于a的方程，再求出a的值即可．
【解答】解：解不等式，得：x＜﹣2，
解不等式x﹣a＜5x，得：x＜﹣，
根据题意知，﹣2＝﹣，
解得：a＝8．
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
20．（8分）如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．

（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．

【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，根据含30度的直角三角形的性质即可求出CE的长度；
（2）由角平分线的性质可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性质可求出AC，再根据勾股定理即可求出AD．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米）
∴点C到AB的距离是15米；
（2）∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝AC，
∴AC＝CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得：AD＝＝＝15（米），
答：线段AD的长度是15米．

【点评】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，并求出CD的长度是解决问题的关键．
21．（10分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
【分析】（1）根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；
（2）购物所需费用需分情况讨论，一般分为①两家超市购物所付费用相同，②到乙超市更优惠，③到甲超市更优惠，三种情况，分别计算即可．
【解答】解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元，
在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元；

（2）①当0.8x+60＝0.85x+30时，解得x＝600．
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
②当0.8x+60＞0.85x+30时，
解得x＜600，而x＞300，
∴300＜x＜600．
即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；
③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，
即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．
【点评】此题的关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用，（2）用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
22．（10分）在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，求等腰三角形ABC顶角的度数．（要求先画图，再写出解答过程）
【分析】由等腰三角形的性质及已知条件证得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，根据三角形内角和定理即可求出顶角∠BAC的度数．
【解答】解：∵AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，
∵AB＝AC，
∴顶角∠BAC＝90°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质证得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD是解决问题的关键．
23．（10分）如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．

【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF＝10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC＝10，故此FC＝2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵S△ABF＝24，
∴，即．
解得：BF＝8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：AF＝＝＝10．
由翻折的性质可知：BC＝AD＝AF＝10，ED＝FE．
∴FC＝10﹣8＝2．
设DE＝x，则EC＝6﹣x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝FC2+EC2，x2＝4+（6﹣x）2．
解得：x＝．
∴ED＝．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
24．（12分）如图在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小：如改变，请说明理由；
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的负半轴上，再根据全等三角形的性质即可得出结果
【解答】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝，OC＝＝3，
∴点B的坐标为B（3，）；

（2）∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，
，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；

（3）如图2，∵点P在x轴负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ＝3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝3，
∴此时P的坐标为（﹣3，0）．


【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用三角形全等的性质解决问题是本题的关键．