2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题03 错位相减求和 Word版含解析

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专题3 错位相减求和
一、解答题
1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得：，解得：，
所以，
由得：，所以，所以
(2)，
则①，
②，
两式相减得：
，所以
2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知数列满足（q为实数，且），，，，且，，成等差数列．
(1)求q的值和的通项公式；
(2)设 ，记数列的前n项和为，若对任意的，满足，试求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据，，成等差数列以及，计算出，再根据奇偶项分别写出的通项公式即可
（2）根据题意先求出的通项公式，再根据错位相减法求出的前n项和为，最后根据列出关于的不等式，解出即可
(1)
由己知，有，即，所以，又因为，所以．由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
(2)由（1）得，
设数列的前n项和为，则，
，
两式相减，得，整理得，所以数列的前n项和为．
∴，
即，又，∴，∴
3．（2022·全国·模拟预测）已知数列是首项为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且满足，．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列满足______，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
设出数列的公差d及数列的首项，由题列方程可求出d，，利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求解；（2）结合（Ⅰ）若选①，利用错位相减法即可求解；若选②，利用分组求和法即可求解；若选③，利用裂项相消法即可求解．
(1)
设数列的公差为d，数列的首项为．
由题意得，，
解得，，
则，，所以．
(2)
若选①，
即，
所以，
则，
两式相减得

所以．
若选②，
即，
所以

．
若选③，
即，
所以
．
4．（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，即可得到，从而得到，作差即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得的通项公式，从而得到，再利用错位相减法计算可得；
(1)
证明：因为时，，
则，
即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)
解：由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，·
所以，·
所以.·
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列满足，，其前n项和为．数列满足．
(1)求．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）列方程组求得等比数列的首项公比q，进而利用等比数列前n项和公式即可求得的值；
（2）先求得数列的通项公式，再利用错位相减法去求其前n项和即可.
(1)
设等比数列首项为，公比为q，
则，解之得，
则，，，
则
(2)
由，可得
则数列的前n项和

则
则
6．（2022·全国·模拟预测（文））若数列满足，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等比中项法判断出为等比数列，设其公比为q（），由，求出，得到的通项公式；
（2）先得到，利用错位相减法求和.
(1)
因为数列满足，，，所以.
所以数列为等比数列，设其公比为q（）.
所以，解得：.
所以.
即的通项公式为.
(2)
由（1）可知：，所以，
所以          ①
得：             ②
①-②得：

所以
7．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列的公比即可得其通项公式，再求出等差数列的公差，求出其通项作答.
（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求解作答.
(1)
依题意，等比数列的公比，则有，因此，，
由得，等差数列的公差，，
所以数列、的通项公式分别为：，.
(2)
由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以.
8．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】
（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设，       ⑧
则．        ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】
本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
9．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式；
（2）需要先用错位相减法求得数列{}的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可．
(1)
解：等差数列{}中，设公差为d，
则

数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)
解：数列{}中，.
则
所以
故

所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．
10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由公式当时，可得与的关系式，进而可证数列为等比数列，并求得数列的通项公式；
（2）由题意得，所以与同号，又数列为递增数列，又，累加得
所以
(1)
当时，；
当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
(2)
由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．
11．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列，等比数列代入计算；
（2）利用错位相减法可得，令，由为递增数列，结合恒成立思想可得答案．
(1)
解：因为数列是等比数列，则可得，解得，
所以．
因为数列是等差数列，且，，则公差，
所以．
故，；
(2)
解：由（1）得：，
数列的前n项和为①
所以②
由①-②得：，
所以．
不等式恒成立，化为不等式恒成立，
令且为递增数列，即转化为
当时，，所以．
综上可得：实数的取值范围是．
12．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知正项数列的前项和，其中，，为常数.
(1)若，证明：数列是等比数列；
(2)若，，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由退位相减法求得数列的通项公式，再由等比数列的定义进行判断即可；
（2）先由求得，再由求得，即得数列的通项公式，再由错位相减求和即可.
(1)
当时，，则，
又正项数列，则且，当时，，又，则，也符合，
则，，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列；
(2)由（1）知：当时，，则，由可得，又正项数列可得，则，
，则，又，可得，则，时也符合，则，
则，，
两式相减得，则.
13．（2022·天津·耀华中学一模）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；.
(2)（i）；（ii）存在；和.
【解析】
【分析】
（1）设的公差为，根据题意列式求出和即可求出；根据可求出；
（2）（i）根据等差中项的性质得到，再根据错位相减法可求出；
（ii）根据和的通项公式得到，推出，令，推出的单调性，根据单调性可知，只有和，由此可求出结果.
(1)
设的公差为，，
则，解得，
所以.
由得，得，
，所以，
所以，即，
所以.
综上所述：；.
(2)
（i）依题意得，，，
，，，
所以



令，
则，
所以，
所以，
所以，
所以，
（ii）假设存在正整数，，使，即，即成立，
因为，所以，所以，所以，
令，则，
所以数列单调递减，，，，当时，，
所以由，得；由，得，
所以存在正整数，，使，且所有的正整数对为：和.
14．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设数列的前n项和为，若点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前n项和
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据点在直线上建立数列递推关系式，通过化简后结合等比数列的定义确定数列是等比数列，并求得首项与公比，即可得到其通项公式；
（2）先根据数列的通项公式表示得到，然后利用错位相减法求数列的和.
(1)
解：因为点在直线上，
所以，
当时，，
解得
当时，，
所以，
所以，
所以可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以.
(2)
由（1）可知，，
所以，
所以.
所以,
则，
两式相减，可得
,
化简得.
15．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知数列，，点在曲线上，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，.
【答案】(1)证明见解析
(2)；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，由，结合等差数列的定义可证结论成立；
（2）利用错位相减法求出，根据的解析式可证当时，.
(1)
因为点在曲线上，所以，
因为，所以，
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
(2)
由（1）得，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以.
16．（2022·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足．
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解析；.
(2)
(3)有最小值，最大值.
【解析】
【分析】
（1）等式两边同除以得即可证明结论，再根据等差数列的定义求通项公式；
（2）结合（1），根据错位相减法求解即可；
（3）由题知，进而裂项求和，并分的奇偶性讨论单调性求解最值即可.
(1)
解：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为，首项为.
所以，，即.
(2)
解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
(3)
解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值.
17．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用数列中与的关系即可求得的通项公式；
（2）先利用题给条件求得数列的通项公式，再利用错位相减法去求数列的前项和．
(1)
当时，；
当时，．
综上，
(2)
因为，
所以当时，，所以．
当时，由
得，所以．
又当时，，所以．
所以，
，
所以，
所以．
18．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求正整数的值；
(3)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)4；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由求出的首项，由、、成等差数列求出的公比，再求出它们的通项作答.
（2）求出，，再求出数列前n项和，代入给定等式求解即得.
（3）利用（1）的结论求出，再借助分组求和法、错位相减法求解作答.
(1)
依题意，，解得，则，
设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，有，而，解得，，
所以数列和的通项公式分别为：，.
(2)
由（1）知，，，，
依题意，，整理得，而，解得，
所以正整数n的值是4.
(3)
由（1）知，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，，
，
数列的前项和.
【点睛】
方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
19．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）已知正项数列满足，数列的前n项和为且满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)；.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将移项后化简可轻易得出为等差数列，通过将已知条件代入后易得为等比数列，再分别通过等差数列与等比数列的通项公式即可求解.
（2）将化简后，可判断出，设将此式的前项和为，错位相消后可求出的表达式，通过判断出即可证明.
(1)
由已知条件，可化为
为正项数列，∴，所以为等差数列，则.
①，②
时，得，由①②得，所以为等比数列.
(2)
证明：由题意，，
，设的前项和为，
③
④，
③④得，，
，.
20．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】
关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.