2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题04 数列中的存在性与恒成立问题 Word版含解析

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专题4 数列中的存在性与恒成立问题
1．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）已知正项数列的前n项和满足.数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）试问:数列是否构成等比数列(注:是数列的前n项和)?请说明理由；
（3）若是否存在正整数n，使得成立?若存在求所有的正整数n；否则，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，.
【解析】
【分析】
（1）由，得到是等差数列，即可得解；
（2）首先求出，则，即可得到，再由，即可得到，即可得证；
（3）由（2）可得，所求不等式即设，利用裂项相消法可得到，同理，有，再由题意求出的值；
【详解】
解：（1）由于，故；时；
作差得，
由于是正项数列，故，是等差数列，；
所以
（2）由于，，
故由于，所以
当时，，数列构成等比数列；
当时，数列不构成等比数列.
（3）若，由（2）知，于是，所求不等式即
设，则
故

同理，有

由于，故而只能有.
于是，



综上所述，所有符合条件的正整数只有
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
2．（2021·全国·模拟预测）从①，且；②，，且存在，使得，；③若(常数)，且，，这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线中，并解答．
已知各项均为正数的数列的前n项和为，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）选①：根据与的关系式可求出数列的通项公式；
选②：根据题意可得出数列是等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列，从而可求出数列的通项公式；
选③：令，可求出；然后根据与的关系式可求出数列的公差，从而可求出数列的通项公式；
（2）根据（1）中求出的数列的通项公式，然后利用错位相减法可求出数列的前n项和．
(1)
选①：当n＝1时，，因为，所以解得；
当时，因为，所以，
两式相减，得，即，
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故．
选②：由，知数列是等差数列，
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
所以，又因为，，所以解得m＝2；
设等差数列的公差为d，则，因为，所以解得d＝3，所以．
选③：因为，所以数列是等差数列，
因为，所以，
两式相减，得，即，又，所以d＝3．
当n＝1时，，即，因为，所以解得，
故，即．
(2)
由（1）得，
所以，
所以，
两式相减，得
，
则．
3．（2021·上海静安·一模）对于数列：若存在正整数，使得当时，恒为常数，则称数列是准常数数列．现已知数列的首项，且．
(1)若，试判断数列是否是准常数数列；
(2)当a与满足什么条件时，数列是准常数数列？写出符合条件的a与的关系；
(3)若，求的前项的和（结果用k、a表示）．
【答案】(1)取时，恒等于，数列是准常数数列；
(2)答案见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）将代入已知条件，即可求出；
（2）根据已知条件，对进行分类讨论，分别写出答案即可；
（3）由和分别求出，，…，，，，…，
，的值，将前项放在一起，后项中，从项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解.
(1)
由得，，
当时，恒等于，数列是准常数数列，取即可；
(2)
∵，
∴时，,
而当时，若存在，当时，，则必有，
若时，则，，此时只需，，
故存在，，取（取大于等于1的正整数也可以），数列是准常数数列.
若，不妨设，，则，
，若，则，
所以或，取，当时，（，取大于等于的皆可）
若，不妨设，，则，
所以，，，…，，
所以,若，则或，
取，当，（ ，取大于等于的皆可以）
存在和：，，；，；，
（其中,），（为某个整数加上时，数列是准常数数列）.
(3)
∵,且，
∴，，…，，
，，，
，…，，.
所以



.
4．（2021·四川自贡·一模（理））已知等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，，________，，．在以下三个条件中任选一个①，②，③，补充在上面横线上，并作答．
(1)求数列，的通项公式；
(2)是否存在正整数．使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，，
(2)存在，且的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，求得等比数列的首项和公比，从而求得数列，的通项公式.
（2）先求得，由求得的最小值.
(1)
设等比数列的公比为，，
则解得，所以.
，
设等差数列的公差为，
若选①，则.
若选②，则.
若选③，则.
(2)
由于，所以，
，
所以，
，所以正整数的最小值为.
5．（2022·天津·南开中学二模）已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}前2k项和S2k；
(3)在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，1
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知条件列方程组求得后可得通项公式；
（2）按奇数项与偶数项分组求和；
（3）按分奇偶讨论，利用，寻找的解．
(1)
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a5=1+2d．
∵S3=a4，∴1+2+(1+d)=2q，即4+d=2q，
又a3+a5=2+a4，∴1+d+1+2d=2+2q，即3d=2q，解得d=2，q=3．
∴对于k∈N*，有a2k-1=1+(k-1)•2=2k-1，
故
(2)
S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)=[1+3+…+(2k－1)]+2(1+3+32+…+3k-1)=
．
(3)
在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1，下面说明理由
若am=a2k，则由am+am+2=2am+1，得2×3k-1+2×3k=2(2k+1)．
化简得4•3k-1=2k+1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立．
若，则由am+am+2=2am+1，得(2k－1)+(2k+1)=2×2×3k-1
化简得k=3k-1，
令，则．
因此，1=T1＞T2＞T3＞…，故只有T1=1，此时k=1，m=2×1－1=1．
综上，在数列{an}中，仅存在连续的三项a1，a2，a3，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m的值为1．
6．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知是等差数列的前项和，，，公差，且___________.从①为与等比中项，②等比数列的公比为，这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列存在并作答.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)选择条件见解析，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据选择条件求解
（2）数列求和后证明，使用裂项相消法
(1)
若选①，为与的等比中项，
则，由为等差数列，，得，∴，
把代入上式，可得，解得或（舍）
∴，；
若选②，为等比数列的公比，且，
可得，即，即有，即；
又，可得，即，解得，
此时；
(2)
∵，
∴；
∴，得证
7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列；数列的前n项和是，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，是否存在正整数m，使得对任意恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，5﹒
【解析】
【分析】
(1)设等差数列的公差为，根据，，成等比数列求出d即可求其通项公式；根据与关系即可求的通项公式通项公式；
(2)利用裂项相消法求{}前m项和，设，根据正负判断{}单调性，求出其最大项，{}前m项和大于该最大值即可求出m的范围和最小值.
(1)
设等差数列的公差为，
∵，，成等比数列，∴．
∴，解得，∴．
当时，，∴．
当时，，∴．
∴是以1为首项，以2为公比的等比数判，∴．
(2)
由题意得，则．
∴

．
设，则，
∴当，2，3时，；当时，；当时，，
∴数列的最大项为，
∴，整理得，
∴存在正整数m，且m的最小值是5．
8．（2022·辽宁辽阳·二模）①为等差数列，且；②为等比数列，且.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在数列中，，________.
(1)求的通项公式；
(2)已知的前n项和为，试问是否存在正整数p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，，﹒
【解析】
【分析】
(1)若选①，则可根据等差数列性质求出的公差d，根据等差数列通项公式可求，从而求得；若选②，则可证明等比数列概念求出的公比，根据等比数列通项公式可求，从而求得；
(2)根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n项和，将其化为形式即可得p、q、r的值．
(1)
若选①：
设等差数列的公差为d，则，
∴，
即．
若选②：
设等比数列的公比为q，则，
∴，
即；
(2)
，
，
则两式相减得，


，
∴．
∵，
∴存在正整数p，q，r，使得，且，，．
9．（2021·河北衡水中学三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.
（1）若，求出；
（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.
【详解】
（1）由题可知：当时有：，
当时，，
又满足上式，故.
（2）假设存在实数，满足题意，则当时，
由题可得：，
和题设对比系数可得：，，.
此时，，
故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.
从而.
所以.
【点睛】方法点睛：数列求和方法：（1）等差等比公式法（2）错位相减法（3）分组求和法（4）倒序相加法（5）裂项相消法.
10．（2022·浙江·模拟预测）已知递增的等差数列满足：，且成等比数列．数列满足：，其中为的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，是否存在实数，使得不等式对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设的公差为，根据成等比数列，由求解，由，利用数列的通项与前n项和的关系求解；
得，
（2）由（1），得到，，利用裂项相消法求得，再由不等式对一切恒成立求解.
(1)
解：设的公差为，
则，
所以．
当时，；
当时，由，
得，
两式相减得：，
所以是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以
(2)
，显然，
所以，
由得

，
故，
．
显然恒成立，且当时，，
所以存在唯一实数．
11．（2022·江西·二模（理））已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列．
(1)求d的值．
(2)令，数列的前n项和为，若对恒成立，求取值范围．
【答案】(1)2；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件，写出等差数列前4项，按去掉的项讨论求解作答.
（2）由（1）求出等差数列的通项，再利用裂项相消法求出并讨论其单调性，列式计算作答.
(1)
等差数列的前四项为，
若去掉第一项，则有，解得，不符合题意，
若去掉第二项，则有，解得，或，不符合题意，
若去掉第三项，则有，解得（舍去），或，
若去掉第四项，则有，解得，不符合题意，
所以.
(2)
由（1）知，，
于是得，显然数列是递增数列，恒有，
因对恒成立，于是有，解得或，
所以取值范围是或．
12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）对于等差数列直接列方程求解，数列根据求解；
（2）利用错位相减法可得，根据题意讨论得：当是奇数时，；当是偶数时，，再通过定义证明数列的单调性，进入确定相应情况的最值．
(1)
∵
则，解得或（舍去）
∴.
又∵，
当时，，则，
当时，，则，即，
则数列是以首项，公比为的等比数列，
∴.
(2)
，
，

两式相减得：

∴
∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立
①当是奇数时，任意的'恒成立
∴对任意的恒成立
②当是偶数时，对任意的恒成立
∴对任意的恒成立
令，对任意的恒成立
∴为递增数列
①当是奇数时，则，即
②当是偶数时，则
∴.
13．（2022·浙江省临安中学模拟预测）各项均为正数的数列的前n项和为，，数列为等比数列，且.
(1)求数列､的通项公式；
(2)记，为数列的前n项和，对任意的.恒成立，求及实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）先求出，再当时，由，得，两式相减化简可得，从而可得数列是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出，从而可求出，进而可求出，
（2）当n为奇数时，利用裂项相消求和法可求出，当n为偶数时，利用等比数列的求和公式求出，从而可求出，进而可求出实数的取值范围
(1)
∵①，
∴，∵，∴
当时，②，
由①-②得
∴，又，
∴，
∴数列是公差为1，首项为1的等差数列.
∴
∵，，数列为等比数列，
∴
(2)
n为奇数时，
∴

n为偶数时，
∴
∴
∵，∴单调递增，
∴，∴
14．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)最小值为
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由及等差数列的通项公式得到，则，再根据等比中项的性质得到方程，求出，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得到，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解；
(1)
解：设等差数列的公差为，由得，则，
所以．
因为、、成等比数列，所以，即，
所以，解得或，
因为为正项数列，所以，所以，所以．
(2)由（1）可得，
所以，
因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为
15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知和均为等差数列，，，，记，，…，（n=1，2，3，…），其中， ，，表示，，，这个数中最大的数．
(1)计算，，，猜想数列的通项公式并证明；
(2)设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求偶数m的值．
【答案】(1)，，，，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列，的公差分别为，，利用，，，利用通项公式可得，，可得，．根据，，．猜想数列的通项公式，证明数列为单调递减数列，即可得出结论．
（2），利用裂项求和方法即可得出，根据对任意恒成立即可得出的取值范围．
(1)
解：设等差数列和的公差为、，
那么，解得，
∴，，
那么，，，
，
猜想的通项公式为，
当时，，
所以数列关于单调递减，
所以；
(2)
解：，
所以，
因为对任意恒成立，
所有，解得，所以．
16．（2022·天津·耀华中学一模）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前项和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；.
(2)（i）；（ii）存在；和.
【解析】
【分析】
（1）设的公差为，根据题意列式求出和即可求出；根据可求出；
（2）（i）根据等差中项的性质得到，再根据错位相减法可求出；
（ii）根据和的通项公式得到，推出，令，推出的单调性，根据单调性可知，只有和，由此可求出结果.
(1)
设的公差为，，
则，解得，
所以.
由得，得，
，所以，
所以，即，
所以.
综上所述：；.
(2)
（i）依题意得，，，
，，，
所以



令，
则，
所以，
所以，
所以，
所以，
（ii）假设存在正整数，，使，即，即成立，
因为，所以，所以，所以，
令，则，
所以数列单调递减，，，，当时，，
所以由，得；由，得，
所以存在正整数，，使，且所有的正整数对为：和.
17．（2022·天津河北·一模）设数列的前项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列前n项和为，求；
（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.
【解析】
【分析】
（1）直接由与的关系求解；
（2）将（1）中求得的结果代入，化简后利用裂项相消法求和；
（3）将表示为含n的等式，利用是整数，找出符合条件的n即可.
【详解】
（1）令n＝1得，；当n时，，
所以
（2）当时，,此时 ，又
∴.
故，
当时，
.
（3）若，
则等式为，不是整数，不符合题意；
若，则等式为，
∵是整数,     ∴必是的因数,   ∵时     
∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.
综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，
当时，不存在正整数使等式成立
【点睛】
本题考查了数列的通项与前n项和的关系，考查了裂项求和法，考查了分析问题解决问题的能力及逻辑思维能力，属于难题.
18．（2022·四川达州·二模（理））已知数列满足，，为的前n项和.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的定义可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，即求；
（2）由题可得当 n为奇数时，，进而可得对一切正奇数n恒成立，即得.
(1)
∵，，
∴，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴；
(2)
由题可得，
∴，
∴，n为奇数，
∴当 n为奇数，且时，

，
当时，也适合，
故当 n为奇数时，，
又对一切正奇数n恒成立，
∴对一切正奇数n恒成立，
又，
∴.
19．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】（1）利用与的关系即可求解；
（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列的前项和为，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.
(1)由题意,当 时，,
当 时， ，
所以， 即 ，
数列是首项为，公比为的等比数列，

故数列的通项公式为.
(2)
，
由 (1)，得当为偶数时，，
当为奇数时， ，
设数列的前项中奇数项的和为，
所以，
设数列的前项中偶数项的和为，
，
由两，得
，
整理得
故，，
.
不等式对一切恒成立, 即不等式对一切恒成立,
在上是单调增
所以，易知在上为递增数列，
当为偶数时，，
当为奇数时, ， 解得，
所以的取值范围为.
20．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明数列是等差数列，并求出；
（2）求；
（3）令，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）.
【解析】
（1）由可得即即可求证；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减即可求；
（3），计算，可判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.
【详解】
（1）证明：，，       
可得即，
可得数列是首项和公差均为的等差数列，
所以，
可得，即；       
（2），
，
相减可得，
化简可得；       
（3），
，
当时，；时，；即，
当时，，即，
则时，的最大值为，不等式恒成立，
可得，即为，解得或．
则m的取值范围是.
【点睛】
易错点睛：解决函数与数列的综合问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.