2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题05 等差等比综合 Word版含解析

专题5  等差等比综合

一、解答题

1．已知等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；

（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得，所以；

（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，

所以数列的前n项和.

2．已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列的通项公式，根据条件中的递推式求出，利用它们成等差数列列方程求出，进而可得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前项和.

【详解】

解：（1）由条件可知，，.

，， ，.

由题意为等差数列，，解得，

；

（2）由（1）知，，

①

则②

①-②可得，

.

3．若数列的前n项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据公式，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；

（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义、等差数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】

（1）数列的前n项和，.

时，，化为：，

时，，解得.数列是等比数列，首项为2，公比为2.

.

（2）.因为，

数列是等差数列，首项为1，公差为2，所以

.

4．在等差数列中，，且

（1）求数列的首项､公差；

（2）设，若，求正整数m的值.

【答案】（1）数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；

（2）由（1）求出数列的通项，然后再求出，再根据求出.

【详解】

（1）设等差数列的公差为d，前n项和为，由已知可得：

或，

即数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.

（2）由（1）可知或

当时，，又，而不满足题意；

当时，，又，

所以，

整理得，因为m为正整数，所以m=6.

5．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】证明过程见解析

【解析】

【分析】

选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.

【详解】

选①②作条件证明③：

[方法一]：待定系数法+与关系式

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，，故.

[方法二] ：待定系数法

设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，

则，将代入，

化简得对于恒成立．

则有，解得．所以．

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]：定义法

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.

【整体点评】

这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.

6．已知正项数列的前项和为，且，(且).

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；

（2）利用裂项相消法即可求出答案．

(1)

∵，

∴，

又，

∴，

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，

∴，∴，

当时，，

当时，，满足上式，

∴数列的通项公式为；

(2)

由（1）可知，，

，

∴当时，．

7．已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．

（1）求证：{ bn }是等比数列；

（2）求{ an }的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得an＋1＋1＝2(an＋1)，利用等比数列的定义即可证明.

（2）利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】

（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，

∵b1＝＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．

（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，

∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.

8．已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

（3）设，，求数列的前项和.

【答案】（1）；；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）假设公差和公比，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得，由等差和等比通项公式可求得结果；

（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果；

（3）由（1）可得，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，等比数列公比为，

，解得：，

；；

（2）由（1）得：，

，

，

两式作差得：，

.

（3）由（1）得：，

则.

【点睛】

方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：

①列出的形式；

②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；

③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；

④整理所得式子求得.

9．已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；

（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.

【详解】

（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

【点睛】

易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.

10．已知实数成等差数列，求证：成等比数列.

【答案】见详解.

【解析】

【分析】

根据条件，证明：即可，注意各项均不为零.

【详解】

因为成等差数列，所以，即且，

又，

所以成立且各项均不为零，

所以：成等比数列.

【点睛】

本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零.

11．设数列的前项和为，且.

(1) 求；

(2) 求数列的通项公式.

【答案】(1)；；.(2).

【解析】

【分析】

(1)对于已知式令即可解得的值.

(2)由，得，两式相减可推得是等比数列，进而可得通项公式.也可以由(1)的结论归纳出的通项公式，再验证其符合已知条件.

【详解】

（1）由，

令，得，又，所以；

令，得，所以；

令，得，所以.

（2）方法一：当时，由，可得，

两式相减得，即.

所以是以为首项，为公比的等比数列，

于是.

方法二：由（1）归纳可得，

此时，可使成立，

所以.

【点睛】

本题考查数列问题，考查由和的关系求通项公式.通过赋值列举若干项，寻找规律和解题思路，是解决数列问题的一种常见策略.

12．已知数列满足，其中.

（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.

【答案】（1）证明见解析，；（2）最小值为1.

【解析】

【分析】

（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列的通项公式；

（2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案.

【详解】

（1）证明：∵，

∴，

∵，∴，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列.

，∴.

（2）解：∵，

∴，

即对任意的恒成立，

而，

设，

∴，

，

∴，

∴数列单调递减，

∴当时，，∴.

∴p的最小值为1.

13．设数列的前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用，得到数列是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项，再利用等比数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意，可得，之后应用裂项相消法对数列求和.

【详解】

（Ⅰ）∵，∴是公比为的等比数列，

又，解得.

∴是以为首项，以为公比的等比数列，

通项公式为.

（Ⅱ）∵

∴

【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.

14．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第个月的维修费和工资支出为元.

（1）设月平均消耗为元，求与（月）的函数关系；

（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）

（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？

【答案】（1）；（2）投入第个月，成本最低；

（3）7年后收回成本.

【解析】

【分析】

（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗与（月）的函数关系；

（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时的值，即可求解；

（3）假设年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即可求解.

【详解】

（1）购船费和所有支出费为

元，

所以月平均消耗，

即月平均消耗为与的函数关系.

（2）由（1），

当且仅当，即时等号成立，

所以当投入营运100个月时，营运成本最低.

（3）假设年后可收回成本，则收入为：

，

解得时满足条件，时不满足条件，

故7年后可收回成本.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

15．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且 是等比数列的前项.

（1）求，；

（2）设，求的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设数列的公差为，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则，可求；

（2）把（1）中求得的通项公式代入，分组后利用等比数列前n项和与裂项相消法求解数列的前项和.

【详解】

解：（1）设数列的公差为，

由题意，，①

又∵成等比数列，∴，

即，得，②

联立①②可得，

∴ ，；

（2）∵，

∴

＝.

∴数列的前项和为.

【点睛】

本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与的和，进而利用裂项求和求解.

16．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【解析】

【分析】

(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

17．已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.

(1)求数列的前n项和；

(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1).

(2).

【解析】

【分析】

（1）由等差数列的性质得，继而有，两式相减得，由此得数列是以2为公比的等比数列，求得，，再由此求得，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得.

（2）由（1）将不等式转化为，再令，作，判断出当时，取得最大值，由此得，求解即可.

(1)

解：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，

即，所以数列是以2为公比的等比数列，

又，，所以，解得，所以，，

所以，

所以

，

所以；

(2)

解：由（1）得不等式为，整理得，

令，则，

所以当，时，，即，

当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，即，解得.

所以实数m的取值范围为.

18．已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求与；

（2）设数列满足，求的前项和.

【答案】（1）, （2）

【解析】

【分析】

（1）由和，可求出和，然后利用等差数列的性质可求出与；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消的求和方法，可求出的前项和.

【详解】

解：（1）设等差数列公差为，，故，

，故，

，，

易得，

∴ ．

（2）由（1）知，则，

则 ．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式及前项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．

19．数列满足，已知．

（1）求，；

（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；；（2）存在；．

【解析】

【分析】

（1）代入，进入，结合，即得解；

（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解

【详解】

（1）当时，．

当时，，

∴．

∴，解得．

（2）当时，

．

要使为等差数列，则为常数，即，

即存在，使为等差数列．

20．在正项数列中，，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），，（2）

【解析】

（1）在已知等式两边同时除以，即可证得是等比数列（必须求出），然后可求得，解方程可得；

（2）由（1）求出，其前项和用分组求和法，一部分由等差数列前项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和．

【详解】

（1）∵，

∴，

∴.

又，∴是首项为2，公比为2的等比数列，

从而.

∵，∴，又，解得.

（2），

设数列的前项和为，

则，

，

则，

即，

即，

故.

【点睛】

本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查分组求和、错位相减法求和．数列求和除等差数列和等比数列的求和公式外还有一些特殊数列的特殊方法：