2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题06 三角函数性质与恒等变换 Word版含解析

专题6  三角函数与解三角形

1．设函数.

(1)求函数单调递减区间；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)

(2)最小值为，最大值是

【解析】

【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：，再根据余弦函数的单调性求解即可；

(2)化简得,再根据，求解即可.

(1) ，

当        ，即时是单调递减区间；

(2) ，

因为，所以，

，

，

 故最小值为，最大值是；

2．已知函数

(1)求的值；

(2)求函数在上的增区间和值域．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，值域为

【解析】

【分析】

（1）利用和差角公式化简函数解析式，再代入由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；

（2）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

(1)

解：因为，

所以

，

即，

所以

(2)

解：由（1）可得，

因为，所以，所以，则，

令，解得，即函数在上的单调递增区间为；

3．已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．

(1)求时函数的值域；

(2)若函数图像向右平移m个单位长度后与函数的图像重合，求正数m的最小值．

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；

若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；

（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

(1)

若选择条件①作为已知：，

时，，

，

故函数的值域为；

若选择条件②作为已知：

时，，，

故函数的值域为；

(2)

若选择条件①作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像，

∵的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

若选择条件②作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像．

的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

4．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和对称中心；

(2)若，方程有两个实数解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)最小正周期，对称中心为

(2)

【解析】

【分析】

（1）先将通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可.

（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.

(1)

        =

        =

        =

=

所以，最小正周期，

由，得

所以，对称中心为．

(2)

因为，所以，

由正弦曲线可得．

5．设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】

（1）由辅助角公式得，

则，

所以该函数的最小正周期;

（2）由题意，

，

由可得，

所以当即时，函数取最大值.

6．已知函数，其中

(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；

(2)若，求函数在上的最小值；

【答案】(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.

（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.

(1)

可知，

因为直线是图象的一条对称轴，故，

解得，而，故，则，

则周期，

再令，则，

故的递减区间为.

(2)可知

因为，故，

则在即取最小值，其最小值为.

7．自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地是一段圆弧（以为圆心，与相切于），其中为两条人行步道，为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．

(1)当时，求人行步道的长度之和；

(2)如何设计圆弧的长度，才能使人行步道的总造价最低，并求出总造价．（长度精确到米，造价精确到元）

【答案】(1)米

(2)当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.75元

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件及圆的定义，再利用锐角三角函数及勾股定理即可求解；

（2）根据已知条件及（1）的思路，求出的关系式，再利用辅助角公式及三角函数的性质，求出的最小值，进而得出的最小值，结合题意即可求解.

(1)

作，垂足分别为，如图所示

由题意可知，米，

在中，，

所以，

在中，，

同时，，

在中，由勾股定理得 ，，即

解得

米

∴米

(2)

设（米）

则与第（1）问相同，设，由于为定值，只需考虑的变化情况

则

由勾股定理，

解得

，

，

所以当即时，取得最小值．

则米

则总造价元

此时圆弧米

故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道的总造价最低，为203646.75元．

8．函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．

(1)求的最小正周期及的值；

(2)若，求A的值．

【答案】(1)2；；

(2).

【解析】

【分析】

（1）利用的解析式求出周期，再由给定的最高点P求出作答.

（2）由（1）求出点M，N的坐标，结合图形求出和的正切，再利用和角公式计算作答.

(1)函数的最小正周期，

因是函数图象的最高点，则，而，有，，所以函数的最小正周期为2，.

(2)由（1）知，，由得，即点，由得，即点，

于是得，，而，

则，又，解得，所以.

9．已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．

(1)求的值及的对称中心；

(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．

【答案】(1)，对称中心；

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由倍角公式及辅助角公式化简得，再结合已知求得周期即可求出，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；

（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围．

(1)

，

显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；

令，解得，则的对称中心为；

(2)，，又，则，

由正弦定理得，则，

则周长为

，又，则，

则，故周长的取值范围为.

10．已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；

(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．

【答案】(1)(2)3

【解析】

【分析】

（1）由图得，，根据，所以，将点代入，结合的条件，求得，从而求得的解析式为；

（2）由，得，因为为锐角，求得，，根据正弦定理，得到，利用三角形内角之间的关系，以及三角恒等变换，进一步将其化简为，结合B的范围，以及正弦型函数的相关性质求得结果.

(1)

由图得，

，又，所以，

将点代入，得，即，

考虑到，故，

即的解析式为

(2)

由，得及，故，

因为为锐角三角形，且，故

由正弦定理，得

所以

又，故，

故周长的最大值为3.

11．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)在为锐角的中，角、、的对边分别为、、，若，，且的面积为，求的值.

【答案】(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，代入点、的坐标，可分别求出、的值，可得出函数的解析式；

（2）由结合角的取值范围可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值.

(1)

解：由图象可知，函数的最小正周期为，.

因为点在函数的图象上，所以，即.

又，则，从而，即.

又点在函数的图象上，所以由，得.

此时，则在附近单调递增，合乎题意，

所以函数的解析式为.

(2)

解：由，所以，，

因为，

，

，则，所以，或，可得或，

当时，因为，可得.

又因为，所以，

解得；当时，因为，可得，

因为，所以，

解得.所以或.

12．已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．

(1)求函数的解析式；

(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）应用降幂公式及辅助角公式可得，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得，即可得解析式.

（2）由已知有，根据及三角形面积公式可得，再应用余弦定理求，进而可得的长．

(1)因为，

设函数的周期为，由题意，即，解得，

所以.

(2)由得：，即，解得，

因为，所以，

因为的平分线交于，

所以，即，可得，

由余弦定理得：，，而，

得，因此.

13．设函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)将的图象往右平移，得到新函数的内角的对边分别为，已知，且，求.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】（1）先化简，再令即可求出答案；

（2）根据三角函数的平移变换求出，再由可求得，再由正弦定理和二倍角公式化简可得，即可求出.

(1)

，，

所以单调递增区间为.

(2)

，

又，

，或（舍）或，

14．已知函数，

(1)求的解析式，并求其单调递增区间；

(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换和辅助角公式计算求出的解析式，结合整体代换法即可求出函数的增区间；

(2)令求出x的值，进而得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前n项求和法计算即可.

(1)

由题意得，，

则

，

，

解得Z)，

即函数的单调增区间为Z，

(2)

由，得，

有或Z，

解得或，Z，

得方程的根从小到大排列依次为

，

所以

则数列的通项公式为，

故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，

奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.

当为偶数时，

；

当为奇数时，

，

综上，.

15．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．

【答案】(1)

(2)，

【解析】

【分析】

(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.

(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.

(1)

解：由图示得：，

又，所以，所以，所以，

又因为过点，所以，即，

所以，解得，又，所以，

所以；

(2)解：由已知得，

当时，，令，则，

令，则

，，，，

所以，

因为有三个不同的实数根，则，

所以，即，

所以．

16．已知函数满足：

①的最大值为2；②；的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．

【答案】(1)

(2)，

【解析】

【分析】

（1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式；

（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可.

(1)由条件③，得又，所以．

由条件①，得，又，所以．

由条件②，得，又，所以．

所以．

经验证，符合题意．

(2)函数的单调递增区间为．

由，得．又因为，

所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.

因为，所以，

所以当，即时，取得最小值，．

故在区间上的单调递增区间为，最小值为.

17．已知函数.

(1)求函数在上的单调增区间；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】（1）先利用二倍角公式化简函数为，再利用正弦函数的性质求解；

（2）根据，得到，进而得到，然后由求解.

(1)解：，

，

，

，

令，

解得，

所以的单调增区间为.

令得区间为，

所以在上的单调增区间为；

(2)

因为，

所以，

又，且，

所以，则

所以

.

18．已知函数．

(1)若的图像与直线相邻两个交点的距离为，求的值及的单调递增区间；

(2)当时，求函数在上的最大值．

【答案】(1)；单调递增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意求出周期，再求出，分析求单调性即可；（2）根据题意得，再分析求值域即可.

(1)

因为的图像与直线相邻两个交点的距离为，所以的最小正周期为，

所以，所以，

，

所以函数的单调递增区间为：；

(2)

当时，，

所以，

所以

，

因为，所以，所以，

所以，所以的最大值为．

19．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)若函数关于点中心对称，求在上的值域．

【答案】(1)最小正周期为，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；

（2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解.

(1)

．∴的最小正周期为，

令，∴的单调递增区间为

(2)

．

∵关于点中心对称，∴，∵，∴．

∴．当∴．

20．已知函数（其中，，，均为常数，且，，）的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；

(2)若，，求的值域．

【答案】(1)；

(2).

【解析】

【分析】（1）根据函数图像可得、、，再由五点法求，进而写出解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式可得，根据正弦型函数的性质求值域.

(1)由题图且，则，，

，则且，又，故，

综上，.

(2)由题设，，而，

所以，则，故