2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题08 立体几何垂直平行的证明 Word版含解析

专题8  立体几何平行垂直的证明

一、解答题

1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

2．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，，．

(1)证明：平面平面．

(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．

5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点．

(1)若，求证：平面．

(2)若，求点到平面的距离．

6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．

(1)证明：平面平面

(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．

8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；

(2)当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；

(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，，，，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，连接，

(1)证明：平面平面；

(2)当时，求点到平面的距离.

11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．

(1)证明：平面ABC

(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．

13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．

(1)求证：PB平面ACM；

(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；

(3)求二面角的余弦值．

14．（2022·浙江·三模）如图，四面体的棱平面，．

(1)证明：平面平面；

(2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值．

15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥中，四边形为菱形，，

(1)求证：是等边三角形；

(2)若，求与平面所成角的正弦值.

16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．

(1)求三棱锥的体积；

(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD， ，E是棱PB的中点，F是棱PC上的点，且A、D、E、F四点共面．

(1)求证：F为PC的中点；

(2)若△PAD为等边三角形，二面角 的大小为 ，求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值．

18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，M为棱的中点，且，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．

(1)求证：平面；

(2)若四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值．

20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，侧面与底面垂直，．

(1)求证：平面平面；

(2)已知四棱台的体积为．给出以下两个问题：

①求异面直线BC和的距离

②求到平面的距离．

请从以上两个问题中选取一道进行求解．

注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．