2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题13 导数与放缩法综合应用 Word版含解析

专题13  导数与放缩法综合应用

一、解答题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）若时，，求实数的取值范围；

（2）求证：.

2．（2022·上海·闵行中学高三开学考试）定义在上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．

（1）判断和是否为函数，并说明理由；

（2）当时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；

（3）设为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．

3．（2022·宁夏·银川一中三模（理））已知函数，其中

(1)若有两个极值点，记为

①求的取值范围；

②求证：；

(2)求证：对任意恒有

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）证明：时，；

（2）证明：.

5．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.

（1）证明：当时，恒成立；

（2）设数列的通项公式为，记为的前项和，求证：.

（参考数据：，）

6．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习）已知函数，满足：①对任意，都有；

②对任意都有．

（1）试证明：为上的单调增函数；

（2）求；

（3）令，试证明：

7．（2022·安徽省霍邱县第二中学高三开学考试（理））已知函数 ．

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；

（3）求证：．

8．（2022·四川·石室中学高三期末）已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且（且），．

（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设四边形的面积是，求证：．

9．（2022·山东·模拟预测）已知函数.

（1）求证：有且仅有2个零点；

（2）求证：.

10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1.

（1）写出的解析式.

（2）若，，求证

（ⅰ）；

（ⅱ）.

11．（2022·全国·高三课时练习）已知函数，其中．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：；

（3）求证：对任意的且，都有：．

（其中为自然对数的底数）．

12．（2022·四川·成都七中高三期中）已知函数，其中是的导函数.

若.

（1）求的表达式；

（2）求证：，其中n∈N*.

13．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，，，.

（1）求的解析式；

（2）求证：时，；

（3）求证：.

14．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知函数.

（1）求函数在区间上的最值；

（2）求证：且.

15．（2022·天津市宝坻区第一中学三模（理））已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；

（3）求证：.