2023年高考数学大题专练（新高考专用） 专题17 圆锥曲线的轨迹问题 Word版含解析

专题17  圆锥曲线中的轨迹问题

1．（浙江省杭州市八县市区2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.

(1)写出椭圆C的方程；

(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．

(1)求圆心E的轨迹方程．

(2)过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．

3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆：的另一交点分别为，（其中为坐标原点），求与的面积之比的最大值.

4．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知点，平面上的动点S到F的距离是S到直线的距离的倍，记点S的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过直线上的动点向曲线C作两条切线，，交x轴于M，交y轴于N，交x轴于T，交y轴于Q，记的面积为，的面积为，求的最小值．

5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．

(1)求的方程；

(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．

①为定值；

②．

6．（2022·河南郑州·三模（理））在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．

7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

8．（2022·河北张家口·三模）已知，点，，动点P满足，点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)直线与曲线C相切，与曲线交于M､N两点，且（O为坐标原点），求曲线E的离心率.

9．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C ．

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值．

10．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知点，动点 到直线的距离与到点的距离的比为2，设动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若点，点，为曲线上位于轴上方的两点，且，求四边形的面积的最大值.

11．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，动点满足AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)点P，Q在C上，且，求面积的取值范围.

12．（2022·四川·石室中学三模（理））已知点，，，，动点S，T满足，，直线MS与NT交于一点P．设动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)直线与曲线C交于A，B两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为的直线经过点G，与曲线C交于E，F两点.若的值与点G的位置无关，求证：.

13．（2022·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，过直线l：左侧且不在x轴上的动点P，作于点H，的角平分线交x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点，过点的直线交C于A，B两点，，点T满足，其中，证明：.

14．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知平面上一动点P到定点的距离与它到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程

(2)已知点，过点B引圆的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为，求的取值范围．

15．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程；

(2)设为曲线上的一点，线段的垂直平分线交轴于点，若为等边三角形，求点的坐标﹒

16．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F（2，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)过点M（m，0）（m＞0）作两条互相垂直的直线，且与曲线交于A，B两点，与曲线交于C，D两点，点P，Q分别为AB，CD的中点，求△MPQ面积的最小值．

17．（2021·福建省德化第一中学三模）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③

(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；

(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求的取值范围

18．（2022·广西柳州·三模（理））已知点，点，点M与y轴的距离记为d，且点M满足：，记点M的轨迹为曲线W．

(1)求曲线W的方程；

(2)设点P为x轴上除原点O外的一点，过点P作直线，，交曲线W于点C，D，交曲线W于点E，F，G，H分别为CD，EF的中点，过点P作x轴的垂线交GH于点N，设CD，EF，ON的斜率分别为，，的，求证：为定值．

19．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

20．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.