专题03 【大题限时练三】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

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专题03 大题限时练三 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，．（1）若，，求；（2）点在边上，且，证明：平分．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由，可得，所以，因为，所以；（2）证明：设，，因为，由正弦定理得，在中，由正弦定理得：，①在中，由正弦定理得：，②因为，，所以可得，因为，，所以，即平分．2．已知数列的前项和为，．（1）从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列的通项公式；①数列是等差数列；②数列是等比数列；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：（1）若选数列是等差数列，①，②，②①得，即，且，是首项为，公差为1的等差数列，；若选数列是等比数列，①，②，②①得，即，，整理得，，是等比数列且首项为，公比为，，；解：（2），，，．3．佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．如表1是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：表年度2018201920202021年度序号1234不戴头盔人数125010501000900（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；（2）交警统计年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到表2，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？表 不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327参考公式：，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879，其中．【答案】见解析【解析】（1）由表中数据可得，，，，，故回归直线方程为，2022年，即，．（2）列联表如下： 不戴头盔戴头盔合计伤亡7310不伤亡132740合计203050，有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．4．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：，为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面；（2）在平面内过点作，如图，建立空间直角坐标系，由，，，，，，，，0，，，0，，，，5，，，由，得，，，，，，平面的一个法向量，0，，设与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．5．双曲线经过点，，且渐近线方程为．（1）求，的值；（2）点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：直线与圆相切．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）解：，解得，则；（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，，，，，联立，整理得，则，由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，则，则，则，则，则原点到直线的距离，即证．6．设函数，为自然对数的底数，．（1）若，求证：函数有唯一的零点；（2）若函数有唯一的零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），【解析】（1）证明：当时，恒成立，所以单调递减，又，所以存在唯一的，使得，命题得证；解：（2）由（1）可知，当时，有唯一零点，当时，，设，则有唯一零点，，设，则，所以单调递增，又，列表可知，在单调递减，在单调递增，即，当时，恒成立，无零点，即不符题意，当时，，即仅有一个零点，即符合题意，当时，，因为，所以存在，使得，即不符题意，综上，的取值范围为，．