2022-2023学年湖北省荆州市监利市高一下学期2月调考（月考）数学试题含解析

2022-2023学年湖北省荆州市监利市高一下学期2月调考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】先化简集合，再根据集合交集定义即可求出答案．

【详解】由题意，或，或．

故选：C．

2．（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】利用诱导公式化简即可求得结果

【详解】．

故选：A．

3．设圆心角为的扇形的弧长为，面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形弧长、面积公式求解即可.

【详解】解：设扇形的半径为，则，所以

又.

故选：D.

4．函数的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】令，则，可得最大值.

【详解】令，则，

得，

则当时，取得最大值.

故选：C

5．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把方程根的问题转化为两个函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合的思想即可求解．

【详解】令，

由于当时，，，且；

当时，，，且，

作出函数的图象如图所示，

则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，

的取值范围是．

故选：C．

6．已知函数是偶函数，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义可求得实数的值．

【详解】是偶函数，

，即，得．

故选：D．

7．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由指数函数的单调性解不等式，数形结合求的解集，再由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可求得结果.

【详解】∵，当时，在R上单调递增，

∴：.

对于不等式，

作出函数与的图象，如图所示：

由图象可知，不等式的解集为，

∴：.

又∵，

∴是的必要不充分条件，

故选：B.

8．已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即.

【详解】①，

②，

由①②得，

，

，

故函数的值域为，函数的值域也是，

因为，所以，即.

故选：B.

二、多选题

9．若在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据角的象限推出和的终边所在象限，再根据三角函数在各象限的符号可判断出答案.

【详解】在第一象限，，

，故是第一或第三象限角，

因而一定为正，可能为正，可能为负，故C正确，D错误；

又是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上，故恒正，可正可负或为0，故正确，B错误，

故选：AC.

10．如图所示为函数的图像，则其解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，再结合特殊值，以及函数值的分布，排除选项，即可判断.

【详解】由题图可得函数的定义域为，且为偶函数，选项中的函数为奇函数，故选项错误；

对于选项，定义域为，且，是偶函数，当时，，令得函数在上只有一个零点，又，与图像不符，故选项错误；

对于B选项，定义域为，且，是偶函数，

当时，，令得函数在上只有一个零点，当1时，，满足图象，故选项正确；

对于选项，定义域为，且，是偶函数，

当时，，满足图象，故选项正确.

故选:BC.

11．已知指数函数的图象经过点，若对使得成立的整数可能是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】BC

【分析】求出在上的值域，在上的值域，再将若对使得成立转化为在上的值域是在上的值域的子集可求出结果.

【详解】设，依题意得，所以，，

函数和函数在上单调递增，

函数在上单调递增，所以，，，

易知函数在单调递增，

，

使得，

所以，

所以，所以，

由为整数，可知6或.

故选：BC.

12．已知正数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由得，得，根据三元均值不等式可得，可判断A正确，B错误；由，得，得，可得C正确，D错误.

【详解】，

，即，

，

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，

故，A正确，B错误；

由，得，

，

故，

因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立，

C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为__________.

【答案】

【分析】由偶次根式中被开方数大于等于0，分式中分母不等于0，列不等式组求解即可.

【详解】要使函数有意义，则需满足，解得或，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．若，则的值为__________.

【答案】1

【分析】运用对数运算的性质与换底公式计算可得结果.

【详解】∵，，

∴.

故答案为：1.

15．若函数，则下列说法中，正确的个数有__________个.

①若，函数的值域为；

②若，则与的图象仅有1个交点；

③若，且时，图象恒在图象上方.

【答案】2

【分析】对于①，利用二次函数知识求出值域，可判断用①正确；对于②，解方程可判断②正确；对于③，当时，，此时的图象在图象的上方，可判断③错误.

【详解】当时，，

函数的值域为，①正确；

当时，，令，可得（舍去），与的图象有且仅有1个交点，②正确；

当时，当时，，此时的图象在图象的上方，当时，，此时图象在图象上方，③错误.正确的个数为2.

故答案为：2

16．已知定义在上的奇函数满足，设函数与函数的图象交于点（为偶数），则的值为__________．

【答案】

【分析】依题意可得函数的图象关于点对称，函数的图象关于对称，则它们的交点也关于对称，进而可求得的值．

【详解】引理：函数和的图象都关于对称，则它们的交点也关于对称．

证明：由函数和的图象都关于对称，

则，，

设为函数和的交点，

则有，，

所以，

所以函数和必有一交点，

而和关于对称，故它们的交点关于对称.

函数是奇函数，，

则，函数的图象关于点对称，

函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的，

函数的图象关于对称，

函数与函数图象的交点也关于对称，

．

故答案为：．

【点睛】关键点睛：两个函数的图象都关于对称，则它们的交点也关于对称．

四、解答题

17．已知全集，集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若集合，当时，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用补集和并集的定义即可求解；

（2）先求得集合，由题意可得，再根据可得出关于实数的不等式（组），即可求得实数的取值范围．

【详解】（1）当时，集合，

又或，

或．

（2）由已知可得集合，由题意可得，

要满足，只需

故实数的取值范围为．

18．化简求值：

(1)；

(2)设，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用诱导公式化简求值.

【详解】（1）原式

（2）

，

19．已知生产某玩具手办的固定成本为300万元，其产量（万盒）与投入成本满足，若每盒玩具手办售价240元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润售价一成本，成本固定成本生产中投入成本）.

(1)求该玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)当产量为90万盒时，该企业所获利润最大，最大利润为4800万元.

【分析】（1）根据利润公式，写成分段函数的形式；

（2）根据（1）的结果，结合函数的单调性，求函数的最大值.

【详解】（1）当时，，

当时，，

故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

；

（2）当时，；

当时，4800，

当时，取到最大值，最大值为4800，

当产量为90万盒时，该企业所获利润最大，最大利润为4800万元.

20．已知定义域为的函数，对于任意的恒有.

(1)若，求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)1；

(2)1.

【分析】（1）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法计算作答.

（2）根据给定的抽象函数等式，利用赋值法，结合函数的意义求解作答.

【详解】（1）因为对于任意的恒有，

则令，得，又，则，

又令，得，即，

因此，，

，，

所以.

（2）因为对于任意的恒有，

则令，得，而，有，

令，得，又，则有，

所以.

21．已知，若线段分别交幂函数于，两点，且两点均为的三等分点.

(1)求；

(2)定义：设函数定义在上，用分割将区间任意分割为个小区间，若存在常数，使得，则称函数在区间上“准Riemann可积”.设函数，试判断函数在区间上是否“准Riemann可积”，若是，求出的最小值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)在区间上“准Riemann可积”，且的最小值为

【分析】（1）求出的坐标，代入和的解析式求出可得结果；

（2）根据的单调性求出，再根据准Riemann可积的定义可求出结果.

【详解】（1）因为，所以线段的两个三等分点为、，

因为两点均为的三等分点，且，所以，

所以，解得，，

所以.

（2）由（1）知，，

由幂函数的性质可知，函数在上递增，

又区间的分割，

，

所以

，

故存在常数，使得，

在区间上“准Riemann可积”，且的最小值为.

22．《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数定义域为，且满足

(1)若是“1”型弱对称函数，求的值；

(2)若恰有99个零点分别记作，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据“1”型弱对称函数的定义，取，求得的值，再将的值代回中，验证其是否满足条件即可；

（2）结合（1）1是函数的零点，再根据若是的零点，则也是的零点，则可令，再根据基本不等式即可求取值范围．

【详解】（1）若在上恒成立，

则时，，得，

则，即，则，

当时，，，

则函数定义域为，且满足，

所以成立．

（2）不妨设，

，由（1）得，是函数的零点，

若是的零点，则，

又，，则也是的零点，

不妨令，

则，

由于，（由，即等号取不到），

，

故的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：小问（2）由且，得到若是的零点，则也是的零点，再结合基本不等式求的范围．