2023年山东省济南市高新区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市高新区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  过度包装既浪费又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同从袋子中随机摸出个球，是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，将一次函数是常数的图象向上平移个单位长度后经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数的图象与轴交于，两点，点平分，若在轴上侧的点为抛物线上的动点，且为锐角，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：        ．

12.  如图，是由个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是        ．

13.  如图，一个正方形剪去四个角后形成一个边长为的正八边形，则这个正方形的边长为        ．

14.  已知是关于的方程的一个根，则        ．

15.  学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子若用表示餐桌的张数，表示椅子的把数，请你写出椅子数把与餐桌数张之间的函数关系式        ．
 

16.  如图，在中，，点是边上的一动点不与，重合，，交于点，且，有以下的结论：∽；当时，与全等；为直角三角形时，为或；，其中正确的结论是______填入正确结论的序号

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
求不等式组：的整数解．

19.  本小题分
如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：．

20.  本小题分
年月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我县组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表：

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
被抽查的学生人数是        人，        ；
本次抽查的学生阅读篇数的中位数是        ，众数是        ；
求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
若该校共有学生人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为篇的人数．

21.  本小题分
要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜面的坡度为：，一楼到地下停车场地面的垂直高度米，一楼到地平线的距离米．
求斜面的长度？结果保留整数
如果送货的货车高度为米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由参考数据：

22.  本小题分
如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，过点的切线交于点．
求证：；
若，，求线段的长．

23.  本小题分
某中学为落实“山西新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个排球的价格比每个足球的价格贵元，用元购买足球的数量与用元购买排球的数量相同．
分别求出足球和排球的单价．
若学校计划用不超过元的经费购进足球、排球共个，那么最多可以购进排球多少个？

24.  本小题分
如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；
在的条件下，设点是坐标平面内一个动点，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点的坐标．

25.  本小题分
在中，，，在中，，，，连接，，垂足为，，垂足为．
观察猜想
图中，点，分别在，上时，的值为        ；的值为        ．
探究证明
如图，将绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题中的数量关系是否仍然存在，并证明；
拓展延伸
在旋转的过程中，设直线与相交于点，若，，请直接写出线段的长．
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．

求抛物线所对应的函数解析式；
如图，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
如图，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义即可求解．本题考查了算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为，的算术平方根是求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
【解答】
解：，
．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
B、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、圆台的左视图是等腰梯形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，我们一般写成且，为原数的整数位数减．
本题主要考查的就是利用科学记数法的表示数．科学记数法是指：且，在表示较大的数时，为原数的整数位数减一；在表示较小的数时，小数点向右移动几位，则的相反数就是几．在科学记数法表示数的时候，如果题目当中有单位的时候，我们一定要注意单位的统一．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，，
，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意，
，故D不符合题意．
故选：．
根据数轴确定，，的符号和绝对值的大小，根据有理数的加减运算法则，有理数的乘法法则判断即可．
此题主要考查了实数与数轴，正确结合数轴上数字位置分析是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据同分母分式减法计算法则求解即可．
本题主要考查了同分母分式减法，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，
是红球的概率为，
故选：．
从袋子中随机摸出个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为，
将点代入，
得，
解得，
故选：．
根据一次函数的平移，可知平移后的解析式，再将点代入平移后的解析式即可求出的值．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，
，
令，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
作于，得到，令由，得到，，由勾股定理得到关于的方程，求出，即可求出长．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、圆周角定理等知识，能够正确的根据圆周角定理判断出是锐角时点的位置是解答此题的关键．
首先求出点，以及顶点的坐标，若以为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点在轴上方时，为锐角，那么的长就应该在和之间设为抛物线顶点坐标，且不等于．
【解答】
解：，
令，，解得：，
点，点，
，
，
顶点的坐标为，
，
即；
故选：．
  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平方差公式，进行因式分解．
本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为度．
，
设剪去边长，可得：
，
解得：，
则，
故原正方形的边长为：
故答案为：．
设剪去三角形的直角边长，利用正八边形的边长为，根据勾股定理可得，三角形的直角边长，进而求出原正方形的边长．
本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：观察图形：时，，时，；时，；
可见每增加一张桌子，便增加个座位，
张餐桌共有个座位．
可坐人数，
故函数关系式可以为．
故答案为：．
由图形可知，第一张餐桌上可以摆放把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放把椅子，则张餐桌共有，依此即可得到椅子数把与餐桌数张之间的函数关系式．
本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，难度一般，关键是依据图形得出变量的变化规律．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
∽；
故错误；
作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
在与中，
，
≌．
故正确；
当时，由可知：∽，
，
，
，
即，
，
，
且，，

．
当时，易证∽，
，
，
且，，
，
．
，

即当为直角三角形时，或．
故正确；
易证得∽，由可知，
设，，
，
，
整理得：，
即，
，
．
故错误．
故正确的结论为：．
故答案为：．
根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
由，则，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；
分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；
依据相似三角形对应边成比例即可求得．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：．
不等式组的整数解为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，在解集内找到整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形为菱形，
，．
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由菱形的性质得出，，可用证明≌，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质，掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：人，
，
答：被抽查的学生人数人，的值为，
故答案为：，；

将学生阅读篇数从小到大排列处在第、位都是篇，因此中位数是篇，
学生阅读文章篇数出现次数最多的是篇，出现次，因此众数是篇，
故答案为：，；

篇，
答：本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为篇；

抽查学生中阅读篇的有人，占抽查学生的，
所以人，
答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为篇的人数有人．
从统计图表可得，“阅读篇数为篇”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；进而可求出阅读篇数为篇的人数，即的值；
根据众数、中位数的意义，分别求出即可；
根据平均数的求法计算即可；
先计算阅读篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数该项占的百分比计算即可．
本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：斜坡的坡度为：，
，
米，
在中，米，
故AD米，
答：斜面的长度应约为米．
过作，垂足为，
，
，
，
，
设米，则米，
在中，
，
解得：，
则，
，
货车能进入地下停车场． 

【解析】由题意可得米，然后在中，坡比的定义以及勾股定理，即可求得的长；
首先过作，垂足为，在中，由坡角的定义即可得的长，继而求得答案．
本题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解．
 

22.【答案】证明：连接，如图，
是的直径，
，
，
为切线，
，
，
，
而，
，
；

解：，
，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，然后利用等量代换进行证明；
证明∽，然后利用相似比求的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】解：设每个足球的进价为元，则每个排球的进价为元，
根据题意得．
解得．
经检验是原分式方程的解．
元．
篮球的进价为元，排球的进价为元．
答：足球的单价为元，排球的单价为元；
设该学校可以购进排球个，则购进足球个，
根据题意，得．
解得．
是整数，
，
答：最多可以购进排球个． 

【解析】设每个足球的单价为元，则每个排球的单价为元，根据“用元购买足球的数量与用元购买排球的数量相同”得到方程，即可解得结果；
设该学校可以购进排球个，则购进足球个，根据题意得不等式组即可得到结果．
本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，找准数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：将点代入，
，
，
将代入，
，
，
将和代入，
，
解得，
；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
设，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时，的周长最小，直线与轴交点即为所求点；
设，根据平行四边形的对角线的性质，分三种情况讨论即可．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
 

25.【答案】  

【解析】解：，是的中位线，
，
，
即，
如图，过点作于点，则，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
故答案为：，；
结论：，．
理由：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
由旋转的性质知，，
是的中位线，，
∽，
，
∽，
，
又是等腰直角三角形，，
，
，
即；
当点在上时，，

，
，
同理可证≌，
，
，
∽，
，
，
；
当点在的延长线上时，，

，
，
同理可证≌，
，
，
∽，
，
，
；
综上，的长为或．
根据是的中位线，得出，则，过点作于点，则，证是等腰直角三角形即可得出与的关系；
根据证≌，即可得出，根据∽得出，得出∽，再根据是等腰直角三角形得出线段比例关系即可；
分情况证∽，根据线段比例关系求出即可．
本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识是解题的关键．
 

26.【答案】解：由题意得：，
解得．
抛物线所对应的函数解析式为；
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
如答图，当点在轴上方时，

，
，
设直线的解析式为，
直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
解得：，舍去，
，
综合以上可得的值为；

抛物线平移后得到，且顶点为，
，
即．
设，则，
，
如答图，当在点上方时，

，，
与全等，
当且时，，
，，
当且时，无解；
如答图，当点在点下方时，

同理：，，，
，
则，．
综合可得点坐标为或． 

【解析】根据、两点的坐标用待定系数法求出解析式；
如图，当点在轴上方时，若，则，先求直线的解析式，由点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点的坐标，当点在轴下方时，由轴对称的性质可求出直线的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点的坐标；
先求出的解析式，可设出点坐标，表示、坐标及、，根据以，，为顶点的三角形与全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求点坐标．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．