2023年天津市河西区中考数学结课试卷（含解析）

2023年天津市河西区中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据新华社记者报道，从年到年，全国城市节水量累计达到立方米，相当于个南水北调中线工程的年调水量将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班少植棵树，甲班植棵树所用天数与乙班植棵树所用天数相等．若设甲班每天植树棵，则根据题意列出方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，菱形中的顶点，的坐标分别为，，点在轴的正半轴上，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则这两个实数根的乘积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知抛物线为常数，经过点，，其对称轴在轴左侧有下列结论：
；
方程有两个不相等的实数根；
．
其中，正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于        ．

14.  计算的结果等于        ．

15.  不透明的袋子中有张卡片，上面分别写着数字至，除数字外五张卡片无其它差别．从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是          ．

16.  请你写出一个点的坐标，它在第一象限，且在直线上，这个点可以为        写出一个即可．

17.  如图，在正方形中，点在边的延长线上，点是边上的一点，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为        ．

18.  如图，在每个边长为的小正方形网格中，点，均在格点上，点是以为直径的圆上的中点．

Ⅰ线段的长等于        ；
Ⅱ请用无刻度的直尺，在圆上找一点，使得，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明        ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得        ；
Ⅱ解不等式，得        ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为        ．

20.  本小题分
某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量单位：根据调查结果，绘制出如下的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次接受调查的家庭个数为______ ，图中的值为______ ；
Ⅱ求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
已知，上有点，，连接，，，，为的中点，连接．
Ⅰ如图，求的大小和的长；
Ⅱ如图，延长至点，使得，过点作的切线交的延长线于点，切点为，连接，求的长．
 

22.  本小题分
如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上从地面处测得塔顶的仰角为，测得塔底的仰角为已知通讯塔的高度为，求这座山的高度结果取整数参考数据：，．

23.  本小题分
甲、乙两车分别从城出发前往城，在整个行程中，甲车离开城的距离单位：与甲车离开城的时间单位：的对应关系如图所示．
Ⅰ填空：
，两城相距        ；
当甲车出发时，距离城        ；
当时，甲车的速度为        ；
当时，甲车的速度为        ；
若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开城的时间为       
Ⅱ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在矩形的边上，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限设．
Ⅰ如图，当时，求的大小和点的坐标；
Ⅱ如图，若折叠后重合部分为四边形，，分别与边相交于点，，试用含有的式子表示重叠部分的面积，并写出的取值范围；
Ⅲ当折痕恰好过点时，求折叠后重合部分的面积        ；
当点与点重合时，求折叠后重合部分的面积        直接写出答案即可

25.  本小题分
已知抛物线为常数，经过点，顶点为．
Ⅰ当时，求该抛物线的顶点坐标；
Ⅱ当时，点，若，求该抛物线的解析式；
Ⅲ当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的点，是直线上的动点当为何值时，的最小值为？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
根据有理数加减混合运算法则即可求解．
本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据的余弦值是解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：此图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.此图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确选项．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的概念，属于基础题，熟练掌握概念是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个相邻的小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
依据被开方数越大对应的算术平方根越大进行估算即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设甲班每天植树棵，则甲班植棵树所用的天数为，乙班植棵树所用的天数为，
所以可列方程：．
故选：．
本题需重点理解：甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植棵树所用的天数乙班植棵树所用的天数，根据等量关系列式．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练地运用数量之间的各种关系找出等量关系，然后再利用等量关系列出方程是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是菱形，点在轴的正半轴上，
轴，，
，
点的坐标为，
故选：．
由，，根据勾股定理得，由菱形的性质得，则点的横坐标为，即可求得点的坐标为，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、菱形的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，，，
，
故选：．
把三个点的值分别代入解析式即可得出值，再进行比大小即可得出答案．
本题考查的是反比例函数的性质，解题关键是分别求出三个点的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
方程化为，
所以方程的两个实数根的乘积为．
故选：．
先利用根的判别式的意义得到，解方程求出，然后根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
由平移变换的性质可知，
，
小正方形的边长，
故选：．
利用正方形的性质以及勾股定理求出，求出小正方形的对角线的长，可得结论．
本题考查正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴左侧，
、同号，
抛物线经过，
，
，所以正确；
抛物线经过点，，
，，
，
而、同号，
，，
抛物线开口向下，顶点的纵坐标大于，
抛物线与直线一定有两个交点
方程有两个不相等的实数根，所以正确；
，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线的对称轴在轴左侧可判断、同号，加上，则可得对进行判断；由于抛物线经过点，，则，，所以，则利用、同号得到，，于是可判断抛物线与直线一定有两个交点，从而可对进行判断；然后利用可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于也考查了根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征和抛物线与轴交点问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
先去括号，然后化简二次根式．
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
 

15.【答案】 

【解析】解：数字，，，，中，偶数有个，
从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：
全部情况的总数；
符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：当时，，
点在第一象限，且在直线上，
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数图象上点的坐标特征和第一象限内点的坐标特征求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平面直角坐标系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：解法一：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
，，
，
解法二：可以用相似去做，与相似，
设正方形边长为，
，
即，
解得：．
在中，利用勾股定理可求得，
故答案为：．
解法一：连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，，由勾股定理即可求解；
解法二：由题意可得与相似，设正方形边长为，可得，代入求得的值，在中，利用勾股定理可求得的值．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线，构建全等三角形是解决问题的关键．
 

18.【答案】  取格点，连接，，交于点，连接，取的中点，连接交于点此时，连接，，点即为所求 

【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；
如图，点即为所求．

Ⅰ利用勾股定理求解即可；
Ⅱ取格点，连接，，交于点，连接，取的中点，连接交于点此时，连接，，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

原不等式组的解集：．
故答案为：；；．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：Ⅰ本次接受调查的家庭个数为：个；
，即；
故答案为：，；

Ⅱ这组月均用水量数据的平均数是：，
出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是；
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数是． 

【解析】Ⅰ根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值；
Ⅱ根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．
本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．
 

21.【答案】解：为的中点，
．
，
，
，
．
连结，如图，

为圆的切线，
．
，，，
，
，．
，
，
，
，
．
，
四边形为矩形，
，．
． 

【解析】Ⅰ利用垂径定理和含角的直角三角形的性质解答即可；
Ⅱ连结，利用Ⅰ的结论，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质求得线段，，再利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理和圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】解：设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这座山的高度约为米． 

【解析】设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】       或 

【解析】解：Ⅰ根据图象可得，两城相距为；
故答案为：；
当甲车出发时，距离城；
故答案为：；
当时，甲车的速度为：；
故答案为：；
当时，甲车的速度为：；
故答案为：；
第一次相遇：；
第二次相遇：，解得．
即若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，则两车相遇时，甲车离开城的时间为或；
故答案为：或；
 当时，；
当时，；
当时，设关于的函数解析式为，
代入，，得：
，
解得
所以．
Ⅰ根据图表信息，即可求出相应结果．
Ⅱ根据图象可知时，被分为三部分，分别是、、，找到对应点求出解析式即可．
本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是解决问题的关键．
 

24.【答案】或  或 

【解析】解：Ⅰ如图中，过点作于点．

在中，，
，
由翻折的性质可知，，
，
，，
，
；
Ⅱ如图中，

，
，
，
．
，
，
，
；
，
，
同理，，
当在上时，，即，
当在上时，，即，
当时，



；

Ⅲ如图中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点．

在中，，，
，
，
，
，
观察图象可知当时，重叠部分的面积是定值，
满足条件的的值可以为或答案不唯一．
故答案为：或．
Ⅰ过点作于点解直角三角形求出，即可；
Ⅱ解直角三角形求出，可得结论；
Ⅲ如图中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点判断出当时，重叠部分的面积是定值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：当时，因为抛物线  为常数，经过点，
，抛物线，该抛物线的顶点坐标；
当时，
点，，，
，
解得舍去或．
该抛物线的解析式．
Ⅲ将点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
作点关于轴的对称点，则点的坐标为，
当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，理由：
为最小，即，
所以，
解得，舍去．
 

【解析】Ⅰ由，即可求解；
Ⅱ由，根据点和点的坐标，求出即可求解；
Ⅲ当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，进而求解．
本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．