2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学三模试卷+

2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下各数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截止年月日时，湖南省公务员考试报名人数共计人，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  “我爱中国”四个汉字里有一个是轴对称图形下列字母中既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  义务教育课程标准年版首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.  在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；方程组的解为；方程的解为；当时，其中结论正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知内接于半径为的，是锐角，则的面积的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  世界杯足球赛小组赛，每个小组个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，败队得分，平局时两队各得分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：        ．

12.  代数式有意义，则的取值范围是        ．

13.  已知一个角的补角比它的余角的两倍多，则这个角的度数是        ．

14.  盒子中有白黑黄五个除颜色外其余完全相同的球，从中任取个球，则取出的两个球均为白球的概率为        ．

15.  如图，在中，，点，，分别为，，的中点，若，则的长为______．

16.  如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接，平分若，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
年月日时分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射天舟五号货运飞船重约吨，长度米，货物仓的直径可达米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离结果精确到米参考数据：，，

20.  本小题分
进入月以来，我市疫情形势严峻，全市人民齐心协力做好疫情防控工作．
某社区需要从甲、乙、丙、丁、戊名志愿者中随机抽取名负责该社区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是        ；
某医院准备从、、三位医生和、两名护士中选取一位医生和一名护士指导该社区预防疫情工作，用树状图或列表法求恰好选中医生和护士的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使得，连接．
求证：四边形是菱形；
若，求菱形的面积．

22.  本小题分
阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少亩．
块试验田收获水稻千克、块试验田收获水稻千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？

23.  本小题分
如图，四边形内接于，为直径，点作于点，连接．
求证：；
若是的切线，，连接，如图．
请判断四边形的形状，并说明理由；
当时，求，与围成阴影部分的面积．
 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果，那么称点为点的“沉毅点”例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点．
若直线上点的“沉毅点”是，求点的坐标；
若双曲线上点的“沉毅点”为点，且，求的值；
若点在函数上，其“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围．

25.  本小题分
如图，在与中，，，，点在上．

如图，点为中点，连接，交于点，交于点．
求证：点在的外接圆上；
若，，，求的值；
如图，若点与点重合，且，，将绕点旋转，点为的中点，连接，在旋转的过程中，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
所以，
所以最大的数是．
故选：．
利用绝对值的性质和有理数的乘方分别对、两个选项的数进行化简即可得出四个数的大小排序，从而可得出本题的答案．
此题主要考查了有理数的乘方以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、合并同类项法则、完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、字母“”是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、字母“”是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、字母“”不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、字母“”既不是中心对称图形，又不是轴对称图形．故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念作出判断．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示解集有关知识，求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可．此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
【解答】
解：不等式移项得：，
解得：，
表示在数轴上得：
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
把这组数据按从小到大顺序排为：
，，，，，，，
位于中间的数据为，
这组数据的中位数为，
，
这组数据的平均数为．
故选：．
这个数据中出现次数最多的数据为众数是，中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的数据是．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以的值随着值的增大而减小，故正确；
由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故正确；
由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为，所以方程的解为，故正确；
由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故错误；
故选：．
根据一次函数的函数的增减进行判断便可；
根据一次函数与二元一次方程组的关系判断便可；
根据一次函数图象与的交点坐标进行判断便可；
根据一次函数图象与轴交点坐标进行判断便可．
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与二元一次方程的关系，关键是综合应用一次函数的图象与性质解题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
．
故选：．
由题意可得为的角平分线，则，由，可得，即可得，由，可得，再结合三角形内角和定理可列出关于的方程，进而可得出答案．
本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，
如图所示，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
．
故选：．
要使的面积的最大，则要最大，当高经过圆心时最大．
本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
 

10.【答案】 

【解析】解：个队单循环比赛共比赛场，每场比赛后两队得分之和或为分即打平，或为分有胜负，所以场后各队的得分之和不超过分，
若一个队得分，剩下的个队得分之和不超过分，不可能有两个队得分之和大于或等于分，所以这个队必定出线，
如果一个队得分，则有可能还有两个队均得分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故选：．
易得小组赛的总场数为小组数小组数，可得个队的总积分，进而分类讨论小组得分或分能否出线即可．
本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
 

12.【答案】且 

【解析】解：代数式有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式及分式有意义的条件得出关于的不等式，解不等式可得答案．
此题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这个角的度数是，由题意得
，
解得．
故答案为：．
根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中取出的两个球均为白球的结果有种，
取出的两个球均为白球的概率，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中取出的两个球均为白球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，，
是的中位线，
．
点是的中点，
．
故答案为：．
先根据，分别为，的中点得出是的中位线，故可得出的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
是的直径，，
的长，
故答案为：．
根据角平分线的定义可知，再根据圆周角定理可得，从而可知，根据是的直径，，进一步可得的长．
本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，弧长的计算等，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算乘方和开方，再化简绝对值计算乘法，最后加减．
本题考查了实数的运算，掌握零指数和负整数指数幂的意义、实数的运算顺序及绝对值的意义是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：
． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
 

19.【答案】解：由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
，
米，
此时观测点到发射塔的水平距离约为米． 

【解析】根据题意可得：，然后在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中甲被抽中的结果数为，
所以甲被抽中的概率；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中恰好选中医生和护士的结果数为，
所以恰好选中医生和护士的概率．
先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出甲被抽中的结果数，然后根据概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果，再找出选中医生和护士的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
且，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，是斜边的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
由可知，，，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
菱形的面积． 

【解析】由三角形中位线定理得且，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
由菱形的性质得，再证，然后由勾股定理得，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：普通水稻的亩产量是千克，杂交水稻的亩产量是千克；
设把亩块试验田改种杂交水稻，
依题意得：，
解得：．
答：至少把亩块试验田改种杂交水稻． 

【解析】设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，利用种植亩数总产量亩产量，结合块试验田比块试验田少亩，即可得出关于的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入中即可求出杂交水稻的亩产量；
设把亩块试验田改种杂交水稻，利用总产量亩产量种植亩数，结合总产量不低于千克，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
；

四边形是菱形，理由：
，
，
是的切线，
，
，
，
，
由知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
由知，四边形是菱形，
，
，
由知，，
在中，，
，，
，与围成阴影部分的面积为
 

【解析】先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
先求出，，再用面积的和，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

24.【答案】解：直线上点的“沉毅点”是，
点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为：或；
由题意可设点，且，
根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，
，
，
，
，
；
如图为“沉毅点”函数图象：

从函数图象看，“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，
而，
当时，，
当时，或，
当时，，解得：舍去负值，
观察图象可知满足条件的的取值范围为． 

【解析】先根据题中条件写出点的坐标为，然后根据“沉毅点”的定义分和两种情况进行讨论，分别求出的值，即可得出点的坐标；
设点，且，根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，即可求得，然后利用三角形面积公式得到，解得；
时，求出的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
 

25.【答案】证明：连接，设、交于点，

，点为中点，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
、、、四点共圆，
即点在的外接圆上；
解：过点作平行线，过点作平行线交于点；过点作于点，过点作；如图：

，
，
，
≌，
，，
，，，
，
，，
四边形为平行四边形，
，，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，，，
，
∽，
，
；
中，，
，，
设，，
，，
中，，
，
，
，
，
的值为；
解：取的中点，连接，在上取，连接，如图：

为的中点，为中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
而，
，
又，
∽，
，
，
要使的最小，需最小，
当、、三点共线时，的最小，最小值是，如图：

，，点为的中点，
，
，
，
的最小值是． 

【解析】连接，证明≌，根据全等三角形的性质得，求出，则、、、四点共圆，即点在的外接圆上；
过点作平行线，过点作平行线交于点；过点作于点，过点作，证明≌，由，则，，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算即可；
取的中点，连接，在上取，连接，构建相似，转化线段即可得到答案．
本题是圆的综合题，考查三角形的外接圆，等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．