2023南京师大附中高三一模适应性考试数学含解析

江苏南师大附中2022—2023学年高三一模适应性考试

数  学

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B. 

C.  D.

2. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）

A. 5 B.  C.  D. 1

3. 等比数列的前项和为，若，则公比的值为（    ）

A.  B. 1                 C. 或1 D. 或1

4. 下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（      ）

A．28m B．20m C．31m D．22m

5. 已知实数，则的取值范围是   （    ）

A. B. C. D.

6.  函数的定义域为R，且为偶函数，，若，则(    )

A. 1 B. 2 C.  D.

7. 已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则（    ）

A.         B.     C.      D.

8. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ）

A． B． 

C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知事件A，B满足，，则（    ）

A. 若，则 B. 若A与B互斥，则

C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立

10.  已知随机变量X的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 下列说法中，其中正确的是(     )

A.命题：“”的否定是“”

B.化简的结果为2

C. …

D. 在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.

12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是(    )

A.是函数为偶函数的充分不必要条件；

B.是函数为奇函数的充要条件；

C.如果，那么为单调函数；

D.如果，那么函数存在极值点.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  过点且与圆C：相切的直线方程为__________

14. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.

15. 已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.

16. 三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  (本小题分)

已知函数在一个周期内的图象如图所示．

求函数的表达式；

把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．

18.  (本小题12.0分)
已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．
求，的通项公式；
求的前n项和

19.  (本小题分)

某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.

求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

20.  (本小题分)

如图，在四棱锥中，侧棱矩形ABCD，且，过棱PC的中点E，作交PB于点F，连接
证明：
若，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

21.  (本小题分)

已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．

(1)求C的方程；

(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由。

22. 本小题分

已知函数，其中．

（1）设函数，证明：

①有且仅有一个极小值点；

②记是的唯一极小值点，则；

（2）若，直线与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线的方程．

数学参考答案

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. D.  2. B  3. C

4. D【解析】因为，所以，

因为，所以∽，所以，所以，

因为，，所以，

设，分别为的中点，

因为，

所以，所以为的中点，

因为，，所以，

所以，所以，所以

5. A【详解】根据题意，设直线：，设点

那么点到直线的距离为：，

因为，所以，且直线的斜率，

当直线的斜率不存在时，，所以，

当时， ，

所以，即，

因为，所以，

6.  A 【解答】方法一（特殊化））

解：为偶函数，则关于对称，取关于对称，

，，

即满足条件，

方法二（略）

7. A【详解】设切点为，，，

所以切线方程为，

由，

得，

整理得，

切线与f（x）的图象有且仅有一个交点，所以，，

所以切线方程为，所以，

  8. C

【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为

所以，.

设，则.

所以.

令，则，

因为，所以.

故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.

9.BD【详解】解：对于A，因为，，，

所以，故错误；

对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；

对于C，因为，所以，所以，故错误；

对于D，因为，即，所以，

又因为，所以，

所以A与B相互独立，故正确.

10. BCD 解：对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，
所以随机变量X服从正态分布，，故A错误；
对于B，因为二次函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数在R上单调递增，根据复合函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，，故B正确；
对于C，因为，，又，
所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，故D正确.

11. BCD 解：存在量词命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，
命题：“”的否定是“”，
故选A错

故B正确；

…，故C正确；

.如图所示，

由，，得,由是的中点，，解得，又，所以，得，又，平面，所以平面.设球心为，点到底面的距离为，由正弦定理得的外接圆半径，在三角形中，球的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确；

12. BCD；【解析】对于A当时，函数定义域为R关于原点对称

，故函数为偶函数，

当函数为偶函数时，故

，又因为定义域为R，所以不为，故

所以是函数为偶函数的充要条件，故①错误.

对于B当时，函数定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数

当函数为奇函数时，因为，

故.所以是函数为奇函数的充要条件，故②正确.

对于C因为

若则恒成立，则为单调递增函数，

若则恒成立，则为单调递减函数，

故，函数为单调函数，故③正确.

对于D，令得，又因为

若

当，，函数为单调递减.

当，，函数为单调递增.函数 存在唯一的极小值.

若

当，，函数为单调递增.

当，，函数为单调递减.

故函数存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故④正确.

故答案为：BCD；

13．或 解：将圆C方程化为圆的标准方程，得圆心，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆C的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 .

 14. 28【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．

最大数为5的情况：

①，此时共有种情况；

最大数为4的情况：

②，此时共有种情况；

③，此时共有种情况．

当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．

综上，满足条件的有序数组的个数是．

15.【详解】如图，易知过点且与直线相切的圆就是以为直径的圆，设，

则，由有，

设直线的方程为，代入有，

所以，结合，得.

故答案为:

 16.

【详解】由题意，元件，，不正常工作的概率分别为，，

电路正常工作的条件为正常工作，，中至少有一个正常工作，

（1）若，，接入元件为，，或，，，

则此电路正常工作的概率是；

（2）若，，接入的元件为，，或，，，

则此电路正常工作的概率是；

（3）若，，接入的元件为，，或，，，

则此电路正常工作的概率是

因为，

所以，

所以此电路正常工作的最大概率是.

故答案为：

  17

解：根据函数图象可得，
，，  ，
，
得，，             3分
又，，，
，，
又，，
；              6分
把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，再向下平移一个单位得到，再向左平移个单位得到，        9分
 ，
当时，  ，
，
，即值域为      12分

18. 解：由题意可得：，
                4分
，，
，数列单调递增，          6分
，，，时，，
时，；                  
时，；                
时，………


             12分

19.  解：设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，

则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，则    3分
记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B，C，D，
则，
，
，          9分
故在乙最后晋级决赛的前提下，乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为 

12分

20. 

证明：因为矩形ABCD，所以，

由底面ABCD为长方形，有，而，

所以平面而平面，所以

又因为，点E是PC的中点，所以

而，所以平面而平面，所以

又，，所以平面

所以得证．                   4分 

如图，以D为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．5分
因为，设，则，，点E是PC的中点，所以，

由平面，所以是平面ABCD的一个法向量；6分

由知，平面，所以是平面DEF的一个法向量．                8分

若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，

则，解得   10分

所以，

    12分

21  （1）设双曲线C的方程为，

由题意知，∴双曲线C的方程为  3分

（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）

，

则，，        5分

∴直线PA方程为，

令，则，同理N（0，），   7分

由，可得

∴

∴

∴

∴

∴

∴，       10分

当时，，

此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能

∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）

∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）

∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．12分

22.

【详解】（1）①依题意，，求导得：，

令，则，函数即在R上单调递增，

又，则存在，使得，

且当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以为的唯一极小值点．           3分

②由①知，，即，，

则，

因此，要证，只需证，即证，

因为，从而只需证，即，而，

所以.           7分

（2）依题意，，求导得：，

则函数在点处的切线l的方程为，

若直线l恰好与曲线相切且有无穷多个切点，任取两个不同的切点，

则在此两点处的切线为同一直线，即，

于是有，则或，

若，从而得：，显然，则，

若，取异于A，B外的另一个切点，

则有，，

如果，则有，如果，则，因此，

从而恒有，即，于是得直线l的方程为或，

当切线方程为时，切点为，

当切线方程为时，切点为，

所以直线l的方程为或．          12分