上海市崇明区2022届高考二模数学试题（原卷+解析）

上海市崇明区2022届高考二模数学试题

一、单选题

1．如果，那么下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．数列是递减数列

C．数列存在最小项 D．数列存在最大项

4．设集合，，，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（    ）

A．命题是真命题，命题是假命题

B．命题是假命题，命题是真命题

C．命题、都是真命题

D．命题、都是假命题

二、填空题

5．已知集合，，则=_______.

6．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.

7．已知角的终边经过点，则________.

8．若复数（为虚数单位），则________．

9．在的二项展开式中，项的系数是________．（用数值表示）

10．已知变量满足约束条件，则的最大值为__________．

11．已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于，则该圆锥的体积等于________．

12．已知直线的参数方程为(为参数），则点到直线的距离是______．

13．设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．

14．已知平面直角坐标系中的点、、，．记为外接圆的面积，则________．

15．某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：

（1）每位学生每天最多选择1项；

（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：

若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）

16．已知实数x、y满足，则的取值范围是________．

三、解答题

17．如图，正方体的棱长等于4，点是棱的中点．

(1)求直线与直线所成的角；

(2)若底面上的点满足平面，求线段的长度．

18．已知．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设的内角A满足，且，求BC边长的最小值．

19．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①；②；③．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

20．已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．

(1)当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；

(2)若点A的坐标是，求直线AB的方程；

(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．

21．已知集合（是整数集，m是大于3的正整数）．若含有m项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为P数列．

(1)写出所有满足m=5且的P数列；

(2)若数列为P数列，证明：不可能是等差数列；

(3)已知含有100项的P数列满足是公差为等差数列，求d所有可能的值．

参考答案：

1．D

【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可

【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；

对C，若，则不成立，故C错误；

对D，因为，故D正确；

故选：D

2．A

【分析】根据充要关系定义进行判断选择.

【详解】若，则，所以充分性成立；

若，则不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立；

故选：A

【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

3．C

【分析】对AB，举公比为负数的反例判断即可

对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可

【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；

对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；

当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值

综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误

故选：C

4．A

【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.

【详解】由于，即时，一定成立，故是的子集，因此命题是真命题.

令，；

令，.从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题.

故选：A

5．

【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.

【详解】由题意，，所以.

故答案为：.

6．2

【分析】根据平均数的公式进行求解即可．

【详解】∵数据的平均数为4

∴，即.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

7．

【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值.

【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过，

∴.

故答案为：.

8．##0.5

【分析】由复数的除法运算可得，再根据共轭复数的概念可得，代入运算求解．

【详解】∵，则

∴

故答案为：．

9．240

【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.

【详解】由题意可得的通项公式为：，

故的系数为 ，

故答案为：240

10．1

【详解】画出平面区域及目标函数线如图所示：

平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线经过点时，取得最大值为.

考点：线性规划.

11．##

【分析】根据圆锥的侧面积公式，代入可得，根据图形结合勾股定理可得，再代入锥体体积公式．

【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为

根据题意可得：，则

∴

则该圆锥的体积

故答案为：．

12．

【分析】将参数方程化为普通方程，再用点到直线的距离公式即可解得.

【详解】由题意：，∴点到直线 的距离.

故答案为：.

13．##0.2

【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．

【详解】∵是周期为2的函数

∴，

又∵，即，则

∴

故答案为：．

14．

【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到，再求极限即可.

【详解】设过、、这三点的外接圆方程为，

则有，

又外接圆的半径为,

所以

.

所以.

故答案为：

15．14

【分析】利用分类和分步计数原理求解即可.

【详解】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，

编程在周一、二、四.

①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

综上，共有种方案.

故答案为：

16．.

【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.

【详解】因为实数满足，

当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；

当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；

当时，方程为的图象不存在；

当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；

在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，

表示点到直线的距离的倍

根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，

令，即，与双曲线渐近线平行，

观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大，

即当直线与椭圆相切时，最大，

联立方程组，得，

，

解得，

又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，

所以，

又直线与的距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1，

所以

综上所述，，

所以，

即，

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案;

（2）假设在底面上存在点，使得平面，设，求出向量的坐标，根据线面垂直可得，即可求得a,b的值，求得答案.

【详解】（1）如图以D为坐标原点，以为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，，

设直线与直线所成的角为，

则,

所以，即直线与直线所成的角的大小等于.

（2）假设在底面上存在点，使得平面，设，

因为，

所以，

由得，，

即 ，解得，即，

所以，，

故线段的长度为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由三角函数的二倍角公式将化为，根据正弦函数的单调性即可求得答案;

（2）由求得A,根据求得，利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案.

【详解】（1）,

由，得：，

所以函数的单调递增区间是.

（2）由，得，即

因为，则，,所以,

由，得，得.

由余弦定理，得，

当且仅当时等号成立,

所以边长的最小值是.

19．(1)符合，

(2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；

（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可

【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数

与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，

故是可能符合表格中所列数据的函数模型.

由，得：，所以

（2）由题意，高速路上的耗电量

任取，当时，

所以函数在区间上是增函数，所以Wh    

国道上的耗电量

所以Wh                         

所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

20．(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；

（2）设圆C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案；

（3）设直线AB的方程为，，联立，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．

【详解】（1）（1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，，

所以点A在直线处，设A，代入，解得，取

则，所以△OFA的面积；

（2）设圆C圆心坐标为，因其过原点，则.

故圆C方程为：.

代入点A，得，解得.

将圆C方程与联立得,消去得：

解得.又B点在双曲线右支，故B.

则AB方程为：.

化简为即.

（3）证明：由题直线AB斜率必存在，

故设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），

圆C的方程为，

由，消去y得:

由题意，得：，且，

由，消去x化简得：，所以.

所以，

即

得原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切．

【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于（3）.关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有，从而在（3）中建立起与关系，得到.

21．(1)P数列为：和

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）根据P数列的定义，可直接写出答案；

（2）假设是等差数列，公差为d，分和两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；

（3）由题意，，分类讨论，说明当时，不符题意，同理可说明和时，推导出与题意不符的结论，继而说明，符合题意，从而求得答案．

【详解】（1）由题意可得满足且的P数列为：和

（2）假设是等差数列，公差为d，当时，由题意，或3，

此时，

所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列；

当时，由题意，或，此时，

所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列

综上所述，不可能是等差数列；

（3）由题意，

当时，因为，所以，与题意不符；

当时，记，

当时，，

所以，

所以，所以，与题意不符；

当时，，

又由题意，，其中，且，

所以，所以，

所以，与不符；

当时，取，此时的数列满足题意，

综上所述，．

【点睛】关键点点睛：本题考查了关于数表新定义的问题，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好地考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据其定义解决问题.