2022-2023学年辽宁省葫芦岛实验中学九年级（下）第一次测评数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省葫芦岛实验中学九年级（下）第一次测评数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中的无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  地球绕太阳公转的轨道半径约是千米，用科学记数法表示这个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某同学将自己次体育测试成绩单位：分统计如下表，则该同学次体育测试成绩的众数是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

5.  冬季奥林匹克运动会简称冬奥会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第届冬奥会将于年月日在北京开幕．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中不是轴对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某单位招聘新员工，其中一名应聘者的笔试成绩是分，面试成绩是分．如果应聘者的综合成绩是按笔试占，面试占计算，则该应聘者的综合成绩为(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

7.  如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某文具店购进，两种款式的书包，其中种书包的单价比种书包的单价低已知店主购进种书包用了元，购进种书包用了元，且所购进的种书包的数量比种书包多个．设文具店购进种款式的书包个，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，，连接，若，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，下列结论：乙用分钟追上甲；乙步行的速度为米分；乙到达终点时，甲离终点还有米；整个过程中，甲乙两人相聚米有个时刻，分别是和其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

二、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

12.  本小题分
阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生某中学为了解学生阅读课外书籍的情况，决定围绕“在艺术、科技、动漫、小说、其他五类课外书籍中，你最喜欢哪一类”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
本次调查随机抽取的学生有        人；
请补全条形统计图；
若该校共有名学生，请你估计这人中最喜欢“动漫”类书籍的有多少人？
小东从图书馆借回本动漫书和本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，他从书包里任取本，用画树状图或列表的方法求恰好都是“科技”类图书的概率．

13.  本小题分
已知：如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，且，连接．
求证：与相切；
当时，求的长．

14.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为．
求反比例函数的解析式；
点为与反比函数图象的交点，且，求点的坐标．

15.  本小题分
如图，在中，，点是斜边的中点，过点作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接、．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

16.  本小题分
为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖恤衫，每件进价是元，超市规定每件售价不得少于元，根据调查发现：当售价定为元时，每周可卖出件，一件恤衫售价每提高元，每周要少卖出件．
试求出每周的销售量件与每件售价元之间的函数表达式；不需要写出自变量取值范围
该服装超市每周想从这款恤衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款恤衫定价？
超市管理部门要求这款恤衫售价不得高于元，则当每件恤衫售价定为多少元，每周的销售利润最大？最大利润是多少？

17.  本小题分
在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
如图，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；
如图，当点在上时，请写出线段，，之间的数量关系，并给出证明；
当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长．

18.  本小题分
直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．
求抛物线的解析式；
如图，若点为直线上方的抛物线上的一动点，求四边形的面积的最大值；
如图，为抛物线上的一点，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点，是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，单项式除以单项式的法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法的法则，单项式除以单项式的法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为出现的次数最多，
所以次测试成绩的众数为，
故选：．
根据众数可得答案．
本题考查众数，利用了众数是一组数据中出现次数最多的数据解答．
 

5.【答案】 

【解析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B、、均能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】
解：该应聘者的综合成绩为分，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形，
故选：．
根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数即可得出答案．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

8.【答案】 

【解析】解：文具店购进种款式的书包个，且购进的种书包的数量比种书包多个，
文具店购进种款式的书包个．
依题意得：
故选：．
根据购进两种款式书包数量间的关系可得出文具店购进种款式的书包个，利用单价总价数量，结合种书包的单价比种书包的单价低，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，直线为线段的垂直平分线，
，
，，，
，
的周长为．
故选：．
由题意得，直线为线段的垂直平分线，则，由勾股定理可求出的值，则的周长为，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：由图可得，甲出发分钟时，乙追上甲，故乙用分钟追上甲，故结论正确；
由题意可得：甲步行的速度为米分；
设乙的速度为米分，
由题意可得：，
解得，
乙的速度为米分；故正确；
乙走完全程的时间分，
乙到达终点时，甲离终点距离是：米，故结论错误；
由图可知，整个过程中，甲乙两人相聚米有个时刻，当时，甲距起点米，乙距起点米，此时二人相距米；当时，乙已到终点，即乙距起点米，甲距起点米，此时二人相距米，故错误；
正确的结论有，
故选：．  

11.【答案】解：原式


，
，
原式
． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则化简的值，代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，理解零指数幂和负整数指数幂的运算法则，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抽样人数为人．
故答案为：；
抽样人数为人，
小说类的人数为人，
补全条形统计图如下：

抽样人数为人，
动漫的百分比为，
喜欢动漫类书籍的人数约为人，
答：估计这人中最喜欢动漫类书籍的有人；
画树状图如下：

由图知，共有种等可能结果，其中都是“科技类”图书的有种结果，
都是科技类图书的概率为．
由条形统计图可知选择艺术类的有人，而由扇形统计图可知选择艺术类的占总人数的，因此用可求得抽样的人数；
已知抽样的人数，根据扇形统计图中百分比可求得小说类的人数即可补全条形统计图；
先求出喜欢动漫类书籍的百分比，用总人数乘喜欢动漫类书籍的百分比求解即可；
利用树状图得出所有的情况，再求出恰好都是科技类图书的概率即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】证明：连接，

为直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又为直径，
与相切；
解：由可知 ，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，则，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质得出，等量代换得到，则，进而得出，即可得解；
由得，进而得出，，，根据相似三角形的性质得出，则，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积即可得解．
此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟记切线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：过点作轴，垂足为，

平行四边形的边在轴上，点的坐标为、，
，
平行四边形的面积为，
，
，
，
，
把代入中可得：
，
，
反比例函数的解析式为：；
过点作，分别交、于、，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
把代入中得：
，
，
． 

【解析】根据点的坐标为，平行四边形的面积为，想到过点作轴，垂足为，即可求出的长，从而求出点的坐标即可解答；
根据，想到构造字型相似三角形，所以过点作，分别交、于、，从而求出点的纵坐标，最后再代入函数解析式求出点的横坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论；
由矩形的性质和含角的直角三角形的性质求出、的长，再由勾股定理即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

16.【答案】解：函数的表达式为，
整理得，
；
根据题意得：，
解得，不合题意舍去，
答：当销售单价为元时，每月可获利元；
设每月获得利润为元，
根据题意得：，
，
当时，的值随着的增大而增大，
当时，，
答：当销售单价为元时，该超市每月获得利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据“当售价定为元时，每周可卖出件，一件恤衫售价每提高元，每周要少卖出件．“即可得出每天的销售量与每件售价元之间的函数关系式；
根据利润每件的利润销售量列式整理，再解方程从而可求得答案；
根据利润每件的利润销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是根据每天的销售量超过元的部分，找出关于的函数关系式，根据每件的利润每天的销售量每天的利润，列出关于的一元二次方程，根据每件利润每天的销售量每天的利润，找出关于的二次函数关系式．
 

17.【答案】解：，
证明，连接，

将线段绕点逆时针得到线段，点与点重合，
，，
为等边三角形，
，，
菱形中，，
，，
为等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
；
结论：．
证明：如图，过点作交的延长线于点，

四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
即，
，，
，
．

如图，当点在线段上时，

由可知．
，
，
，，
，，
；
如图，当点在的延长线上时，

则和都是等边三角形，
同可证≌，
，
，
，
，
，，
．
综合以上可得的长为或． 

【解析】连接，由旋转的性质得出，，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作交的延长线于点，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：当时，，当时，，
，，
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
如图，连接，

设，
点为直线上方的抛物线上的一动点，
，，
，，
，

，


当时，四边形取得面积最大值为；
令，则，
解得：或，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
，
，
当时，，
，
以点，，，为顶点的四边形是正方形，
分两种情况讨论：
如图、图，当时，点在上，点在上，

点在抛物线上，
或，
当时，，
，

的中点为，则的中点也为，
，
此时与轴重合，不符合与轴平行，
不符合题意；
当时，，
，

的中点为，则的中点也为，
；
如图、图，当时，此时轴，

令，则，
解得：，
或，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为或或 

【解析】由直线与轴相交于点，与轴相交于点，取得、点的坐标，把、点的坐标代入取得、的值，即可求出抛物线的解析式；
连接，设，由得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的最值即可求出四边形的面积的最大值；
分和两种情况分类讨论，即可求出点的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键．