2022高考数学二轮专题复习——圆锥曲线满分讲义12讲

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第10讲 圆锥曲线中的“设而不求”
一、考情分析
研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
【例1】（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟）已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4.
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
【解析】（1）设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a=,则C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2,所以4=4,
则有,所以a=2,b=,
所以椭圆C1的方程为=1,抛物线C2的方程为y2=8x.
（2）依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,
由,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t2,
且y1+y2=,y1y2=.
根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).
因为kNQ=kEQ,所以,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t·-(m+4)·=0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).
当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),
所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).
【例2】（2022届天津市第九十五中高三上学期月考）已知椭圆的离心率为,且过点．

（1）求椭圆的方程．
（2）若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点,如图所示．设直线的斜率为,直线的斜率为,求证：为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率,则,则,
将代入椭圆方程：,解得：,则,,
∴椭圆的标准方程：；
（2）由（1）知：,,设,
则直线的方程为：．令得：
∴,则,
∴,
∵在椭圆上,
∴,．
∴为定值,得证．

(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.
【例3】（2022届北京市海淀区高三上学期期末）已知点在椭圆：上.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线于点M,N.当的面积为时,求的值.
【解析】（1）将点代入,解得,所以椭圆的方程为
又,离心率
（2）联立,整理得
设点E,F的坐标分别为,
由韦达定理得：,
直线AE的方程为,令,得,即
直线AF的方程为,令,得,即


所以的面积
即,解得或
所以的值为或
【例4】（2022届天津市第二中学高三上学期12月月考）已知椭圆的长轴长是4,且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意,得,,
所以椭圆的标准方程为；
（2）设,,
联立,得,
即,
则,
因为直线恒过椭圆的左顶点,
所以,,
则,,
因为点B始终在以PQ为直径的圆内,
所以,即,
又,,
则,
即,
即,
解得,
所以实数k的取值范围为.

(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为,,其离心率为,P为椭圆C上一动点,面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,因离心率为,则,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线的距离最大,
则有,于是得,又,联立解得,
所以椭圆C的方程为：.
（2）由(1)知,点,
当直线斜率存在时,不妨设,,,
由消去y并整理得,,,,
假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点,
则

,
当,即时,,
当直线l斜率不存在时,直线l：与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令,
当点坐标为时,,,
所以存在定点,使得为定值.

(四) 中点弦问题中的设而不求
与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标代入圆锥曲线方程作差,得到关于的关系式,再结合题中条件求解.
【例6】中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为.
选①：由题意可知,双曲线的两个焦点分别为、,
由双曲线的定义可得,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
选②：圆的标准方程为,圆心为,半径为,
双曲线的渐近线方程为,由题意可得,解得,
即,因为,则,,
因此,双曲线的标准方程为.
选③：由勾股定理可得,
所以,,则,则,故,
所以,双曲线的标准方程为.
(2)假设满足条件的直线存在,设点、,则,
由题意可得,两式作差得,
所以,直线的斜率为,所以,直线的方程为,即.
联立,整理可得,,
因此,直线不存在.


三、跟踪检测
1．（2022届河北省高三上学期省级联测）已知椭圆P焦点分别是和,直线与椭圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为的重心,求的面积.
【解析】（1）根据题意,,,
又因为,
解得：,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意得椭圆Q的方程为,
当直线斜率存在时,设方程为：,,,,
联立可得：,
则
因为坐标原点为的重心,
所以
由,
得
将代入椭圆方程可得：,
化简得：,
又O到直线的距离为：,
则,
因为原点O为的重心,
所以,
当直线斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB的方程为,
此时,
所以.
综上：的面积为.
2．（2022届广东省佛山市高三上学期期末）已知双曲线C的渐近线方程为,且过点.
（1）求C的方程；
（2）设,直线不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线与C交于另一点D,求证：直线过定点.
【解析】（1）因为双曲线C的渐近线方程为,
则可设双曲线的方程为,
将点代入得,解得,
所以双曲线C的方程为；
（2）显然直线的斜率不为零,
设直线为,,
联立,消整理得,
依题意得且,即且,
,
直线的方程为,
令,
得





.
所以直线过定点.
3．（2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟）设双曲线的右顶点为,虚轴长为,两准线间的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设动直线与双曲线交于两点,已知,设点到动直线的距离为,求的最大值.
【解析】（1）依题意可得,解得,所以双曲线方程为
（2）由（1）可知,依题意可知,设,,,,则有,,所以,,所以,,
作差得,又的方程为,所以过定点,所以,即的最大值为；
4．（2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测）如图,已知椭圆,椭圆,、.为椭圆上动点且在第一象限,直线、分别交椭圆于、两点,连接交轴于点.过点作交椭圆于,且.

（1）证明：为定值；
（2）证明直线过定点,并求出该定点；
（3）若记、两点的横坐标分别为、,证明：为定值.
【解析】（1）证明：设,则,可得,
则,,则；
（2）证明：当直线的斜率存在时,设的方程为,
则,代入消元得.
则,
设、,则,,
由,
得,
约去,并化简得,解得（不符合题意,舍去）；
当直线的斜率不存在时,设的方程为,其中,
联立,解得,则、,
所以,,可解得.
综上,直线过定点.
（3）证明：设的方程为,
则可解得点的坐标为.
由,则点的坐标为.
同理,记的斜率为,则点的坐标为.
由,则点的坐标为,
则的斜率,
所以直线的方程为.
令,得,故.
5．（2022届湖北省部分市州高三上学期元月期末联考）已知点为抛物线的焦点,如图,过点的直线交抛物线于两点（点在轴右侧）,点在抛物线上,直线交轴的正半轴于点且,设直线与抛物线相切于点,直线与轴相交于点．

（1）设点,；
①求证：；
②求证：直线与平行；
（2）求使面积取最小值时点的坐标．
【解析】（1）由抛物线的焦点为,得,
所以抛物线的方程为,设直线的方程为
联立得,所以,
由于,所以直线的斜率
由得,即,
所以直线的斜率,
所以,即直线与平行．
（2）直线l的方程为,即
令得,
所以直线l与y轴的交点,所以
又由（1）知,
所以
令
则
∴当时,单调递减,当时,单调递增
故当时,有最小值,即当时,面积取最小值,此时A点坐标为．

6．（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考）已知圆：,椭圆：的离心率为,是上的一点,是圆上的一点,的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是上异于的一点,与圆相切于点,证明：.
【解析】（1）,所以
设的焦距是,则,解得,则,
所以的方程是.
（2）证明：①当直线斜率不存在时,的方程为或.
当时,,,此时,即；
当时,同理可得.
②当直线斜率存在时,设方程为,即.
因为直线与圆相切,所以,即
联立得.
设,,则,
所以

代入整理可得,即
综上,,又与圆相切于点,所以,易得,
所以,即
7．（2022届庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知椭圆：的离心率为,且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率为k的直线与椭圆交于不同两点,,记,的斜率分别为､.
①求的值；
②设点,若点到直线,的距离相等,求的值.
【解析】（1）由得,即,
由椭圆过点得,
解得,,
故椭圆的方程为.
（2）①设直线的方程为,且点,的坐标分别为,,
,
.
,,
则,,

②：,：
,即,
,,即或.
8．抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l：x＝1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⊙M与l相切.
（1）求抛物线C,⊙M的方程；
（2）设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系,并说明理由.
【解析】（1）由题意,直线x＝1与C交于P,Q两点,且OP⊥OQ,
设C的焦点为F,P在第一象限,则根据抛物线的对称性得：∠POF＝∠QOF＝45°,
∴P(1,1),Q(1,－1).
设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0),则1＝2p,得p＝,
∴抛物线C的方程为y2＝x.
由题意,圆心M(2,0)到l的距离即⊙M的半径,且距离为1,
∴⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
（2）直线A2A3与⊙M相切,理由如下：
设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),
当A1,A2,A3中有一个为坐标原点,另外两个点的横坐标均为3时,A1A2,A1A3均与⊙M相切,此时直线A2A3与⊙M相切.

当x1≠x2≠x3时,直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0,则,即,
同理可得：,
∴y2,y3是 的两个根,则y2＋y3＝,y2y3＝.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0.
设M到直线A2A3的距离为d(d＞0),则d2＝＝＝1,从而d＝r＝1,
∴直线A2A3与⊙M相切.
综上,直线A2A3与⊙M相切.
9．（2022届河北省保定市高三上学期期末）已知椭圆经过四个点中的三个.
（1）求的方程.
（2）若为上不同的两点,为坐标原点,且与垂直,试问上是否存在点（异于点）,使得？若存在,求点的坐标；若不存在,说明理由.
【解析】（1）因为,两点的横坐标相同,所以可判断这两点不能同时在上.
假设不在上,则由椭圆的对称性可知,也不在上,这与经过,,,四个点中的三个点矛盾,
故假设不成立,从而在上,
因此过,,则,且,得,
故的方程为.
（2）设,.
因为与垂直,所以与关于直线对称,
于是有.
设直线的斜率为,则直线的斜率为,
则直线的方程为,直线的方程为,
联立,可得,
由韦达定理可得,即,
同理可得,
则,
因为,
所以当与重合,即的坐标为时,,
所以上存在定点满足题意,其中的坐标为.
10．已知双曲线：（,）的实轴长为,离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线相交于,两点,弦的中点坐标为,求直线的方程.
【解析】 (1)由题意可得,解得：,所以双曲线的方程为：.
(2)设,,
因为弦的中点坐标为,所以,,
将点,代入双曲线可得：
,两式相减可得：
即,所以,
所以直线的斜率为：,
所以直线的方程为：即.