2022-2023学年河北省石家庄外国语学校高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省石家庄外国语学校高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，且，则x=（    ）

A． B．3 C． D．6

【答案】C

【分析】利用向量平行列方程直接求得.

【详解】因为空间向量，且，

所以，解得：.

故选：C

2．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标

【详解】解：由，得，

所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，

所以，，

所以焦点坐标为，

故选：D

3．“”是“直线和直线垂直”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可.

【详解】当时，两条直线的方程为和，

斜率分别为，则，所以两直线垂直，

当直线和直线垂直时，，解得，

所以“”是“直线和直线垂直”的充要条件，

故选:C.

4．数列满足，且，则的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得，得到数列的周期性，结合周期得到，即可求解.

【详解】由题意，数列满足，且，

可得，

可得数列以3项为周期的周期数列，所以.

故选：A.

5．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为

故选：A

6．若直线与平行，则与之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由两条直线平行求出a，再利用平行间距离公式计算作答.

【详解】依题意，由解得或，

当时，直线，，直线与重合，不符合题意，即，

当时，直线，，直线与平行，则，

所以与之间的距离.

故选：D

7．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，进而得到的长度.

【详解】，

，

，即线段的长度为.

故选：D.

8．已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线的一个焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知求出曲线的、、，即可得解.

【详解】解：曲线的实轴是，实轴与渐近线的夹角为，

故，与的一个交点坐标是，

则与曲线对称中心的距离，则，

所以，故曲线的焦点坐标为，．

故选：A．

二、多选题

9．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.

【详解】依题意，令，解得

，

故点的坐标为和，

故选：AC

10．已知圆：，圆：，则（    ）

A．

B．圆与圆的公共弦所在直线方程为

C．圆与圆相离

D．圆与圆的公切线有2条

【答案】ABD

【分析】对A：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D：根据两圆的位置关系判断公切线的条数.

【详解】对于A，由已知，故，故A正确；

对于C，两圆半径，，故两圆相交，故C错误；

对于B，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确；

对于D，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确；

故选：ABD

11．已知双曲线（，）的右焦点为，在线段上存在一点，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】AB

【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到，判断出AB正确.

【详解】的一条渐近线方程为，

设，，

，整理得：，

因为，所以，即，

解得：，

因为，，，，

所以AB正确，CD错误.

故选：AB

12．已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（    ）

A．若是等差数列，则

B．若是等比数列，则

C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或

D．若是递增等差数列，对恒成立，则

【答案】BC

【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.

【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根，

由韦达定理得，，，所以解得，或，；

对于A选项：若是等差数列，则，故A不正确；

对于B选项：若是等比数列，则，因为，

所以，则，故B正确；

对于C选项：若是递减等差数列，所以，，解得公差，

首项，所以，

故当或时取得最大值，故C正确；

对于D选项：若是递增等差数列，所以，，解得公差，

首项1，所以，因为对恒成立，

即恒成立，即恒成立，因为，

当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确.

故选：BC.

三、填空题

13．已知函数则的值为_________．

【答案】1

【分析】对求导，求出，代入，令，即可求出的值.

【详解】因为，

所以，

令，则，

所以，所以.

故答案为：1.

14．数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则____.

【答案】

【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值.

【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，

则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，

故.

故答案为：.

15．已知椭圆：的左、右焦点为，，下顶点为，过点作直线垂线，交椭圆于，两点，则的周长是______．

【答案】

【分析】根据椭圆方程求出、、，即可得到为等边三角形，则为线段的垂直平分线，所以，，再根据椭圆的定义计算可得.

【详解】解：椭圆：，则、、，

所以，，，则

即为等边三角形，所以为线段的垂直平分线，

所以，，

所以.

故答案为：

16．已知圆：，过点作直线交圆于两点若平面上，则的最小值为___________.

【答案】##

【分析】取中点为，连接，则，即为直角三角形；取中点为，连接，则，得到点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，连接，根据圆的性质，求出，再由，即可得出结果.

【详解】取中点为，连接，则，即为直角三角形；

取中点为，连接，则，

即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，

连接，因为，所以，

由圆的性质可得，，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知圆，直线l：mx－y＋1－m＝0．

(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线l与圆C的位置关系；

(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且，求直线l的方程．

【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交；

(2)或.

【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线所过的定点，判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交；

（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出，求出直线方程.

【详解】（1）整理得：，

故圆的圆心坐标为，半径为，

直线变形为，故直线过定点，

因为，故在圆内，所以直线与圆相交；

（2）圆心到的距离为，

由垂径定理得：，即

解得：，

故直线的方程为或.

18．已知为等差数列的前项和，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前50项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式求得基本量，从而得解；

（2）结合（1）中结论，判断的正负情况，从而利用分组求和法即可得解.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

因为，所以，即，解得，

所以.

（2）由（1）得，令，解得，

所以当时，，则；

当时，，则；

所以

.

19．“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．

(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．

(2)已知直线是抛物线的对称轴，为直线与水面的交点，为抛物线上一点，分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．

【答案】(1)16米

(2)8米

【分析】（1）根据题意设抛物线的方程并求得，进而可得结果；

（2）先求的坐标，再设的坐标，根据，建立关系，运算求解，进而可得结果.

【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，

由题意可知：抛物线过点，代入得，解得，

故焦准距为（米）

（2）由（1）可得：抛物线的方程为，则其焦点，顶点，

设，

∵，则，

∴，即，

又∵，且，

∴，解得，

故桥面与水面的距离为（米）

20．直三棱柱中，，，点为线段的中点，直线与的交点为，若点在线段上运动，的长度为．

(1)求点到平面的距离；

(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）根据已知建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求点到面的距离即可；

（2）设点，利用空间向量列出线面角的正弦值式子令其等于，解出即可.

【详解】（1）由题意可知：四边形为矩形，则点为中点，

又直三棱柱中，，

以B为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，则可取，

点A到平面的距离；

（2）假设存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，记为，

，则，其中，

则，

由第一问知为平面的一个法向量，

则，

即，

则，

则，

解得或，

又，

故存在点P使直线PD与面所成角的正弦值为，此时，或.

21．已知数列的前项和为，，．

(1)求数列的通项公式和前项和；

(2)设,数列的前项和记为，证明：

【答案】(1) ，；.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据数列递推式，可得，两式相减推出，即可发现数列规律，可得数列通项公式，继而分n为奇数和偶数，讨论求得；

（2）利用（1）的结论，求出的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.

【详解】（1）由 ，得,

两式相减可得，即 ，

因为，则，

数列为，

即 ，；

当n为偶数时，,

当n为奇数时， ,

故 .

（2）由 ,

得 ，

 所以 .

22．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件短轴一个端点到右焦点的距离为长半轴，再利用离心率公式即可求解.

（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出交点横坐标的关系，结合向量的关系得出坐标的关系即可求解.

【详解】（1）由题可得,，又，

所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，

设，则，，

 又，则，由可得，所以.

同理可得，.

所以

所以，为定值.