2022-2023学年天津市七区高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市七区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.

【详解】，

，

故选：A

2．直线的倾斜角为（    ）

A．45° B．90° C．135° D．150°

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.

【详解】直线化为，则斜率，又倾斜角，

所以倾斜角为.

故选：C.

3．抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.

【详解】，

抛物线的准线方程为，

即，故选A .

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.

4．在等差数列中,,,则公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.

【详解】设公差为,则

,

解得.

故选:C.

5．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.

【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，

所以双曲线的焦点坐标为，即，

又，所以，所以，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：D

6．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，根据公式点到直线的距离为计算即可解决.

【详解】由题知，棱长为1的正方体中，为线段的中点，

所以建立如图所示，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，

所以,

所以,

所以点到直线的距离为,

故选：B

7．数列中，，且，则

A．1024 B．1023 C．510 D．511

【答案】D

【分析】由题意结合递推关系求解的值即可.

【详解】由题意可得：，则：

.

本题选择D选项.

【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

8．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】D

【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得，由即可解得的值.

【详解】，化简为，

可得圆心，半径为，

圆心到直线的距离，

，即，

或（舍去）

故选：D.

9．已知F是椭圆的左焦点，点，若P是椭圆上任意一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的右焦点为，，计算得到答案.

【详解】设椭圆的右焦点为，

，

当三点共线，且在之间时等号成立.

故选：A

二、填空题

10．已知空间向量，，且与是共线向量，则实数x的值为_______．

【答案】

【分析】根据向量共线得到，列出方程组，求出答案.

【详解】设，则，解得：.

故答案为：-6

11．已知的三个顶点，，，则边上的高所在直线方程为_______．

【答案】

【分析】求出直线的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案.

【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，

则边上的高所在直线方程为，

整理得.

故答案为：

12．在平行六面体中，，，，，则的长为_______．

【答案】

【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长.

【详解】由题意得：，

故

，

故.

故答案为：

13．已知等比数列满足，，则_______．

【答案】

【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.

【详解】，

，解得，

，

故答案为：

14．过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．

【答案】##

【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.

【详解】设双曲线的左右焦点分别为，

过双曲线的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，

则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，

所以，即，所以，

则，解得：或（舍去），

故答案为：.

15．已知实数x，y满足，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】设，转化为直线与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式即可求出.

【详解】令，即，

联立，消元得，

由题意，，解得，

故的最小值为.

故答案为：

三、解答题

16．已知等比数列的前n项和为，，，等差数列满足，是和的等差中项，求和的通项公式．

【答案】，.

【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可.

【详解】设的公比为，显然.  

由题意   解得           

所以的通项公式为.

设数列的公差为，则

所以，所以，

即，解得，.

17．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出圆的标准方程，将点的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线上，列出方程组，解之即可求解；

（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用中点坐标公式和点在圆上运动即可求解.

【详解】（1）设圆的方程为，由题意得

，解得        

所以圆的方程为.

（2）设点的坐标是，点的坐标是，

由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，  

于是      

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，

即     

所以，

整理得

所以，线段中点的轨迹方程.

18．如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；

（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.

【详解】（1）证明：依题意得，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

，

因为点为中点，所以，

所以，，又，

而，

所以.                 

由已知，且，在平面内,

所以平面.

（2）由（1）知为平面的一个法向量，

又，,

设平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.

，所以，所以

取，则 .

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

19．已知椭圆过点，且离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；

（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．

【详解】（1）由椭圆过点可知，，

又得，即，

所以，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，设直线的方程为，联立，解得，

所以，

由得，即，

所以，所以，，

所以，化简得，

所以，所以直线的方程

20．已知数列的前n项和为，且．

(1)求证：是等比数列；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由与的关系，分，求数列的通项公式即可；

（2）利用错位相减法求和即可得解.

【详解】（1）当时，，得，所以，

当时，

所以，即，

所以

所以

即数列是以为首项，公比为3的等比数列.

（2）由（1）得，所以，

由题意，即

所以，所以   

设前项和为

所以

即     ①

②

①-②得：

所以.