2022-2023学年重庆市永川北山中学校高一下学期入学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市永川北山中学校高一下学期入学考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A，B，再求两集合的并集，然后可求出其补集.

【详解】因为，

所以，

因为全集，

所以，

故选：C

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．

【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不是同一函数；

对于B选项，由，可得，函数的定义域为，解不等式，解得或，则函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不是同一函数；

对于C选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则不相同，

C选项中的两个函数不是同一函数；

对于D选项，两个函数的定义域均为，且，两个函数的对应法则相同，D选项中的两个函数是同一函数.

故选：D.

【点睛】本题主要考查两个函数是否为同一函数，判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础．

3．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.

【详解】的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误.

是非奇非偶函数，C选项错误.

的定义域是，在定义域上没有单调性，D选项错误.

令，的定义域为，

，所以是奇函数，

即是奇函数，

由于在上都是增函数，所以在上递增，符合题意，B选项正确.

故选：B

4．设，则，，则，，的大小关系是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.

【详解】，所以有，

因为，所以有，

故选：B

5．已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ）

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7

【答案】B

【分析】根据函数的单调性及表格得，从而可求解.

【详解】易知在上单调递增，

由表格得，且，

∴函数零点在，

∴一个近似值为0.57．

故选:B．

6．若点在直线上，则的值等于

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】点在直线上，，，故选B.

7．若不等式在上有解，则实数的最小值为（    ）

A．11 B．5 C． D．

【答案】B

【解析】利用降幂公式化简,再根据其在的范围,利用能成立的性质求解实数的最小值即可.

【详解】设.

因为,故.所以.

又有解,故实数的最小值为5.

故选：B

【点睛】本题主要考查了降幂公式与根据定义域求正弦函数的值域问题,同时也考查了能成立问题求最值的做法.属于中等题型.

8．函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为（    ）

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，1)

C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)

【答案】C

【分析】由想到构造函数F(x)＝xf(x)，可证为偶函数且在上为减函数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解.

【详解】令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在上的奇函数，

所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，

所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0，

因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1>x2时，

，

所以在(－∞，0)上单调递减，

所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，

等价于或，

解得或，

所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).

故选：C

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A． B．是的必要不充分条件

C．集合与集合表示同一集合 D．设全集为R，若，则

【答案】ABD

【分析】对四个选项依次分析判断其真伪.

【详解】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中推不出，反之若可以得到，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查了特称命题、充分条件和必要条件、集合的类型、集合的运算及集合间的关系，涉及的知识点较多，属于新高考多选题型，解题时需要逐一判断，要对每个选项准确判断，具有一定的难度.

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．定义域为 B．值域为

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】ABD

【分析】根据指数函数的定义域与值域可判断AB；根据指数函数、二次函数及复合函数的单调性可判断CD.

【详解】函数，可得函数定义域为，故A正确；

设，

由指数函数的单调性得到，函数值域为，故B正确；

在上是单调递增的，

而在定义域内是单调递减的，

根据复合函数单调性法则，得到函数在上单调递减，

故C错误；D正确．

故选:ABD．

11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在，当时，成立

B．在区间上单调递增

C．函数的图象关于点对称

D．函数的图象关于直线对称

【答案】AC

【分析】化简得，证明，A正确；函数在区间上单调递减，B错误；，故函数的图象关于点对称，故C正确；，并不经过函数图象的最高或最低点，D错误．

【详解】，

因为，A正确；

当时，，所以函数在区间上单调递减，B错误；

函数图象和x轴交点为对称中心，，故函数的图象关于点对称，故C正确；

对称轴必然过图象最高或最低点，，由此可知并不经过函数图象的最高或最低点，故的图象不关于直线对称，D错误．

故选：AC．

12．对于函数，下列结论中正确的是（   ）

A．任取，都有

B．，其中；

C．对一切恒成立；

D．函数有个零点；

【答案】ACD

【分析】作出函数的图象.对于A：利用图象求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；

对于C：由，求得，即可判断；

对于D：作出和的图象，判断出函数有3个零点.

【详解】作出函数的图象如图所示.所以.

对于A：任取，都有.故A正确；

对于B：因为，所以.故B错误；

对于C：由，得到，即.故C正确；

对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：

当时,;

当时,函数与函数的图象有一个交点;

当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若函数的定义域是，则函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据题意得出求解即可.

【详解】由题意，函数的定义域是，即，

则函数满足，解得，

即函数的定义域是.

故答案为：.

14．设，，则______．

【答案】

【分析】根据已知求出的值，再利用和角的正弦公式求解.

【详解】由，，得．

∴

．

故答案为：

15．如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为__________；

【答案】

【分析】由题意，根据矩形和圆的形式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由题意，设矩形中，，其面积，

关于直线对称，可作图如下：

则矩形，，，，其面积，

在圆中，易知，则，

当且仅当，等号成立，可得，

故答案为：.

16．已知函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【分析】解不等式组即得解.

【详解】∵函数在R上单调递增，

∴，

即实数a的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，集合，集合．

（1）求，，；

（2）若是的必要条件，求m的取值范围．

【答案】（1），，或；（2）.

【分析】(1)根据题意，通过解分式不等式与一元二次不等式，分别表示出集合，，，再结合数轴即可求解；

(2)由题意可知，再结合数轴即可求解.

【详解】（1）解不等式，即，解得，

则，，

所以，，

因此，或 ．

（2）因为，

由于是的必要条件，则，

所以，解得，

因此，实数m的取值范围是．

18．已知函数．

（1）求的最小正周期和对称中心；

（2）求在区间最大值和最小值

【答案】（1）最小正周期；称中心为，；（2）；．

【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求出其最小正周期和对称中心；

（2）由求出，然后结合正弦函数的性质可求出函数的最值

【详解】（1）

，

所以的最小正周期，

由题意，，解得，，

所以称中心为，；

（2）∵，∴，

∴，

∴当，即，；

当时，即，．

19．已知函数，且.

（1）求的值；

（2）判定的奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明.

【答案】（1）；（2）为奇函数；（3）单调递增函数，证明见解析.

【分析】（1）根据即可求出的值；

（2）由奇偶函数的定义判定其单调性即可；

（3）函数在上单调递增，利用单调性定义证明即可.

【详解】（1）因为，所以.

（2）因为, 所以，即定义域为，关于原点对称，

又因为，

所以为奇函数.

（3）在为增函数.

证明：且

因为，

所以

所以，

即，

所以在为增函数.

20．某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．

（1）写出关于的函数表达式；

（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．

【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.

【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；

（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．

【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，

y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，

当8＜x≤14时，

y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2，

即y=  

（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，

所以 当x=4时，ymax=．  当8＜x≤14时，y=x+2，

所以当x=14时，ymax=．因为 ＞，所以当x=4时，ymax=．

答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．

【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

21．已知函数

(1)解关于x的不等式；

(2)若关于x的不等式的解集为，求的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)36

【分析】（1）分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；

（2）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和、与参数关系，构造求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案.

【详解】（1）因为，

所以，即．

当时，不等式的解集为．

当时，不等式的解集为．

当时，不等式的解集为．

（2）由题意，关于的方程有两个不等的正根，

由韦达定理知解得．

则，

，

因为，，所以，

当且仅当，且，即时，等号成立，

此时，符合条件，则．

综上，当且仅当时，取得最小值36．

22．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；

（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1），

(2) 存在实数，使在区间上的最大值为2

【详解】（1）由条件幂函数，在上为增函数，

得到

解得

又因为

所以或

又因为是偶函数

当时，不满足为奇函数；

当时，满足为偶函数；

所以

（2）令，

由得：

在上有定义，且

在上为增函数.

当时，

因为所以

当时，

此种情况不存在，

综上，存在实数，使在区间上的最大值为2

【解析】函数的基本性质运用．

点评：解决该试题的关键是能理解函数的奇偶性和单调性的运用，能理解复合函数的性质得到最值，属于基础题．