专题11 功和功率及动能定理的理解与应用（解析版）

专题11 功和功率及动能定理的理解与应用
目录
题型一 恒力做功的分析和计算 1
题型二 变力做功的分析和计算 4
类型1 微元法计算变力做功 4
类型2 图像法计算变力做功 5
类型3 等效转换法求变力做功 7
类型4 平均力法求变力做功 7
类型5 应用动能定理求变力做功 8
题型三 功率的分析和计算 9
类型1 功率的分析和计算 9
类型2 功率和功综合问题的分析和计算 11
题型四 机车启动问题 12
类型1　恒定功率启动 13
类型2 恒加速度启动问题 14
题型五 动能定理的理解 16
题型六 动能定理的基本应用 18
题型七 动能定理与图像的“数形结合” 20
类型1 Ek－x(W－x)图像问题 21
类型2 F－x图像与动能定理的结合 22
类型3 其他图像与动能定理的结合 24
题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用 25
类型1 运用动能定理解决多过程问题 26
类型2 动能定理在往复运动问题中的应用 29

题型一 恒力做功的分析和计算
【解题指导】1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
【例1】(2022·广东惠州一中月考)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关于做功的判断中正确的是(　　)

A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
【答案】　A
【解析】　题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
【例2】(多选)网络上有这样一段视频，一个6岁的小女孩，徒手在8.0 s的时间内，爬上了高4 m的门厅立柱顶端．之后保持如图的姿势，从立柱顶端顺着立柱滑到底端．下列判断正确的是(　　)

A．加速向上时，小女孩受到的摩擦力一定大于其重力
B．加速向上时，立柱对小女孩的摩擦力做正功
C．在图示位置静止时，小女孩手与立柱间的弹力越大，摩擦力越大
D．小女孩加速滑下时，受到的摩擦力一定小于重力
【答案】　AD
【解析】　根据Ff－mg＝ma可知，加速向上时，小女孩受到的摩擦力一定大于其重力，A正确；加速向上时，立柱对小女孩的摩擦力的作用点没有移动，所以摩擦力不做功，B错误；在图示位置静止时，小女孩手与立柱间的弹力越大，最大静摩擦力越大，摩擦力等于重力，摩擦力不变，C错误；根据mg－Ff＝ma可知，小女孩加速滑下时，受到的摩擦力一定小于重力，D正确．
【例3】(多选)如图所示，一个质量为m＝2.0 kg的物体放在倾角为α＝37°的固定斜面上，现用F＝30 N、平行于斜面的力拉物体使其由静止开始沿斜面向上运动．已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80.物体运动2 s后，关于各力做功情况，下列说法正确的是(　　)

A．重力做功为－120 J
B．摩擦力做功为－80 J
C．拉力做功为100 J
D．物体所受的合力做功为100 J
【答案】　ABD
【解析】　物体在斜面上运动时受到重力、拉力、摩擦力和支持力作用，根据牛顿第二定律得a＝＝5.0 m/s2，由x＝at2得，物体在2 s内的位移为x＝×5×22 m＝10.0 m，重力做功WG＝－mg·xsin 37°＝－120 J，A正确；拉力做的功为WF＝Fx＝300 J，C错误；摩擦力做功为Wf＝－Ffx＝－μmgcos 37°·x＝－80 J，B正确；支持力做功WN＝FNxcos 90°＝0，合外力做的功W＝WF＋WN＋WG＋Wf＝100 J，D正确．
【例4】如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中．g取10 m/s2，求：

(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
【答案】　(1)300 J　(2)100 J　(3)－400 J　(4)0
【解析】　物体置于升降机内随升降机一起匀速运动过程中，处于受力平衡状态，受力分析如图所示

由平衡条件得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－G＝0
代入数据得Ff＝10 N，FN＝10 N
x＝vt＝20 m
(1)斜面对物体的支持力所做的功
WN＝FNxcos θ＝300 J
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功
Wf＝Ffxcos (90°－θ)＝100 J
(3)物体重力做的功WG＝Gxcos 180°＝－400 J
(4)合外力对物体做的功
方法一：W合＝WN＋Wf＋WG＝0
方法二：F合＝0，W合＝F合xcos α＝0.
题型二 变力做功的分析和计算
【解题指导】求变力做功的五种方法
方法
以例说法
微元法
　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
　当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx
应用动
能定理
　用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)

类型1 微元法计算变力做功
【例1】水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角．已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为(　　)

A. B. C．2 D．3
【答案】　C
【解析】　将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝
Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°.W＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R＝π J．同理可得小球克服摩擦力做的功Wf＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2，故选C.
【例2】聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示．假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为900 kJ.假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，宇航员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力约为(　　)

A．180 N B．350 N C．580 N D．780 N
【答案】　B
【解析】　设平均阻力为Ff，则有Ff×(15×90×2πr)＝900 kJ，解得Ff≈354 N，故选B.
类型2 图像法计算变力做功
【例1】 (多选)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为m，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为(　　)

A.mv2 B．mv2
C.μmgl D．μmgl
【答案】　AC
【解析】　小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明所有小方块进入粗糙水平面后速度为零，以所有小方块为研究对象，据动能定理得Wf＝0－mv2，所以所有小方块克服摩擦力做功为mv2，故A项正确，B项错误；当长度为x的小方块滑上粗糙水平面时，所受摩擦力大小为μmg，则这n个小方块在进入粗糙水平面的过程中所受的平均摩擦力大小为F＝μmg，又该过程中这n个小方块的位移为l，则由功的公式可得Wf＝－Fl＝－μmgl，摩擦力做功的大小为μmgl，C项正确，D项错误。
C、D项另解　(图像法)根据Ff＝μmg，在平面直角坐标系中作出Ff－x图像，如图所示，则图中阴影部分面积即小方块进入粗糙水平面的过程中摩擦力所做的功的大小，有|W f |＝μmgl。

【例2】物体在水平拉力F作用下，沿x轴由坐标原点开始运动，设拉力F随x的变化分别如图甲、乙、丙所示，图甲为一半圆图形，对应拉力做功分别为W甲、W乙、W丙，则以下说法正确的是(　　)

A．W甲＞W乙＞W丙 B．W甲＝W乙＞W丙
C．W甲＝W乙＝W丙 D．W甲＞W乙＝W丙
【答案】　D
【解析】　在F－x图像中，F做的功等于图线与x轴所围的面积。
在图甲中，在数值上Fm＝x0
W甲＝πF
在图乙中，W乙＝Fmx0＝F
在图丙中，W丙＝Fmx0＝F
可见W甲＞W乙＝W丙，故D正确。
类型3 等效转换法求变力做功
【例1】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则 (　　)

A．W1>W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
【答案】　A
【解析】　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1>W2，A正确。
类型4 平均力法求变力做功
【例1】当前，我国某些地区的日常用水仍然依靠井水．某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m．水桶离开水面时，水桶和水的总质量为10 kg.由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示．水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　　)

A．2 000 J B．1 800 J
C．200 J D．180 J
【答案】　B
【解析】　由于水桶匀速上升，故拉力等于水桶重力．由于水和水桶的质量随位移均匀减小．故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做功．F1＝m1g＝100 N，F2＝m2g＝
80 N，则拉力做功为：W拉＝h＝1 800 J，故选B.
类型5 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W变＋W恒＝mv22－mv12，物体初、末速度已知，恒力做功W恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W变＝mv22－mv12－W恒，就可以求变力做的功了．
【例1】质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g)(　　)

A.mv02－μmg(s＋x) B.mv02－μmgx
C．μmgs D．μmg(s＋x)
【答案】　A
【解析】　根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wf＝μmg(s＋x)，由动能定理可得－W弹－Wf＝0－mv02，则W弹＝mv02－μmg(s＋x)，故选项A正确．
【例6】如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)

A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
【答案】　C
【解析】　在Q点质点受到的竖直向下的重力和竖直向上的支持力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝FN′＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR＋Wf＝mv2，解得Wf＝－mgR，所以克服摩擦力做功mgR，选项C正确．
题型三 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
类型1 功率的分析和计算
【例1】如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是(　　)

A． 逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
【答案】　A
【解析】　小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，即小球做匀速圆周运动，那么小球受到的重力mg、水平拉力F、绳子拉力FT三者的合力必是沿绳子指向O点．对小球受力分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增大，A项正确．

【例2】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)

A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
【答案】　B
【解析】　木块所受的合外力
F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N
木块的加速度a＝＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故选项B正确．
【例3】(多选)如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(g取10 m/s2)(　　)

A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为10.5 N
C．4 s内F做功的平均功率为42 W
D．4 s末F的功率大小为42 W
【答案】　BD
【解析】　根据v－t图像知加速度a＝＝0.5 m/s2，故A错误；由牛顿第二定律得2F－mg＝ma，解得F＝＝ N＝10.5 N，故B正确；物体在4 s内的位移x＝at2＝×0.5×42 m＝4 m，则拉力作用点的位移x＝ 8 m，则拉力F做功的大小为W＝Fx＝10.5×8 J＝84 J，平均功率P′＝＝ W＝21 W，故C错误；4 s末物体的速度为2 m/s，则拉力作用点的速度为4 m/s，则拉力F的功率P＝Fv＝10.5×4 W＝42 W，故D正确．
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
【例1】(2022·4月贵阳模拟)(多选)运动场上，某同学将篮球竖直向上抛出，到最高点又竖直落回到抛出点，若篮球所受的空气阻力大小恒定，下列判断正确的是(　　)
A．篮球上升过程中的加速度大于下降过程中的加速度
B．篮球上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
C．篮球下落到抛出点的速度大小大于篮球抛出时向上的初速度大小
D．篮球上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
【答案】　AD
【解析】　上升过程a1＝＝g＋，下降过程a2＝＝g－可知，a1>a2，故A正确；由W克G＝WG＝mgh可知，篮球上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，故B错误；取上升和下降的全过程，由能量守恒可知，重力势能不变，初动能等于内能和末动能之和，故落回到抛出点的速度大小小于抛出时的初速度大小，故C错误；上升过程用逆向思维有h＝a1t12，下降过程有h＝a2t22，因a1>a2，则t1PG，故D正确．
【例2】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，则以下说法正确的是(　　)

A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D．前3 s内，F对滑块做的总功为零
【答案】　C
【解析】　由题图可知，第1 s内，滑块位移为1 m，F对滑块做的功为2 J，A错误；第2 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为4.5 J，平均功率为4.5 W，B错误；第3 s内，滑块位移为1.5 m，F对滑块做的功为1.5 J，第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率P＝Fv＝1 W，C正确；前3 s内，F对滑块做的总功为8 J，D错误．
【例3】(2021·福建南平市质检)电梯上升过程可以简化为匀加速、匀速、匀减速三个阶段，即加速到允许的最大速度v后做匀速运动，最后经过匀减速运动将速度减为零。假设该电梯在加速和减速过程的加速度大小相等，一幢大楼每层楼高度相同，有一个质量为m的人先坐电梯从1楼到7楼，办完事后再从7楼到16楼，重力加速度为g，则(　　)
A．电梯从1楼到7楼的平均速度等于电梯从7楼到16楼的平均速度
B．电梯从1楼到7楼的平均速度小于电梯从7楼到16楼的平均速度
C．加速阶段电梯对人做正功，减速阶段电梯对人做负功
D．上升过程中电梯对人做功的最大功率为mgv
【答案】　B
【解析】　运动过程图像如图所示，

加速与减速阶段时间相等，平均速度
＝＝＝，电梯从7楼到16楼匀速运动的时间更长，所以平均速度更大，故A错误，B正确；电梯对人的作用力方向始终向上，与位移同向，故始终做正功，故C错误；上升过程中匀加速阶段结束时，电梯对人做功的功率最大为P＝Fv＝(mg＋ma)v＞mgv，故D错误。
题型四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像




OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段

F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速直线运动

2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝