2022-2023学年重庆市江津区12校联盟学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市江津区12校联盟学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若式子有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  在▱中，，，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列计算中，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是的中点，以下说法错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  四边形中，对角线与交于点，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  估计的运算结果应在(    )

A. 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间

11.  如图，中，有一点在上移动．若，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知直角坐标系中，四边形是长方形，点，的坐标分别为，，点是的中点，点是边上的一个动点，当是腰长为的等腰三角形时，则点坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  在▱中，，则______．

14.  已知直角三角形两条边的长为、，则这个直角三角形的第三边长为        ．

15.  在中，，，，分别为的中线和角平分线，过点作于点，并延长交于点，连接，则线段的长为        ．

16.  如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则        ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
计算：．

18.  本小题分
如图，在平行四边形中，，在取一点，使得，连接．
用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法和结论
根据 中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整．
证明：
      
四边形为平行四边形
      


平分
      
四边形为平行四边形

      
．
即．
在中，．
．

19.  本小题分
已知，求的值．

20.  本小题分
有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的度数；
求四边形的面积．

22.  本小题分
已知如图，在平行四边形中，于，于，，，平行四边形的周长为，求平行四边形的面积．

23.  本小题分
阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，
它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式于是，二次根式除法可以这样解：
如，．
当然也可以利用得，
故，
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
解决问题：
化简：；
计算：．

24.  本小题分
如图，在中，于点，在线段上取点使得，平分交于点，连接．
若，，，求的长；

若，求证：．

25.  本小题分
通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由．

思路梳理
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，点、、共线．
根据        ，易证≌        ，得．
类比引申
如图，四边形中，，点、分别在边、上，若、都不是直角，则当与满足等量关系        时，仍有．
联想拓展
如图，在中，，，点、均在边上，且猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和解不等式，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
A、能与合并，故A不符合题意；
B、能与合并，故B不符合题意；
C、能与合并，故C不符合题意；
D、不能与合并，故D符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义，可得答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
是最简二次根式，
故B符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，分别判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平行四边形的周长为：．
故选：．
平行四边形的周长等于两邻边长度之和的二倍．
本题考查平行四边形的性质，是基础题，熟悉“平行四边形对边相等”这一性质是解答关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知：，，
，，


．
故选：．
根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C不符合题意；

，
选项D符合题意．
故选：．
根据算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确算术平方根的含义和求法．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、、C正确；由，得出，选项D错误；即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
又点是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
选项A、、C正确；
，
，
选项D错误；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：、，不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
根据根据平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

10.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
的运算结果应在至之间．
故选：．
先计算已知式子，再估算出的取值范围，最后估算出的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，能够正确估算出的取值范围是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：从向作垂线段，交于，
设，则，
在中，，
在中，，
，

解得，
在中，，
．
故选C．
若最小，就是说当最小时，才最小，因为不论点在上的那一点，都等于那么就需从向作垂线段，交于先设，再利用勾股定理可得关于的方程，解即可求，在中，利用勾股定理可求那么的最小值可求．
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从向作垂线段，交于，再利用勾股定理解题即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：是等腰三角形的底边时，就是的垂直平分线与的交点，此时；
是等腰三角形的一条腰时：若点是顶角顶点时，点就是以点为圆心，以为半径的弧与的交点，
在直角中，，
则的坐标是；
若是顶角顶点时，点就是以点为圆心，以为半径的弧与的交点，过作于点，
在直角中，，
当在的左边时，，则的坐标是；
当在的右侧时，，则的坐标是．
所以满足条件的点的坐标为：或或．
故选：．
题中没有指明的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，分别求得点的坐标，即可求解．
此题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数．
本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当是斜边时，第三边长；
当和是直角边时，第三边长；
第三边的长为：或，
故答案为：或．
已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 

15.【答案】 

【解析】解：为的角平分线，，
是等腰三角形，
，
，
，，
为的中线，
是的中位线，
，
，
．
，
故答案为：．
首先证明是等腰三角形，则，，则是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作，交于点，
，，
为边上的中线，
，
，
根据勾股定理得：，
，
在中，，
，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则．
故答案为：．
过作，交于点，由三角形为等腰直角三角形，利用三线合一得到为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，在直角三角形中，利用度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长即可．
此题考查了勾股定理，含度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据二次根式的除法法则、零指数幂和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：如下图：

证明：，
，
四边形为平行四边形，
，
，

平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
即．
在中，．
，
故答案为：，，，．
根据作角平分线的基本作图画图；
根据平行四边形的性质及平行线的性质证明．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，，
解得，，



． 

【解析】根据算术平方根、偶次方的非负性分别求出、，再代入计算即可．
本题考查的是非负数的性质，求出、是解题的关键．
 

20.【答案】解：与关于成轴对称，
，，，
在中，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，即． 

【解析】点拨：
根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理列式求出，从而求出，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，，
则，，
，
，
；
． 

【解析】连接，根据，，得出是等边三角形，求得，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，从而求得；
根据四边形的面积等于三角形和三角形的和即可求得．
本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．
 

22.【答案】解：在平行四边形中，，
，
，，
，
平行四边形的周长为，
，
，
，
． 

【解析】在直角中，利用三角函数求得的长，根据周长即可求得平行四边形的边长，进而求得平行四边形的面积．
此题主要考查平行四边形形的性质及面积的计算，正确求得平行四边形的边长是解题的关键．
 

23.【答案】解：


；



． 

【解析】根据平方差公式可以将分母有理化，然后化简即可；
根据分母有理化的方法，可以将式子化简，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
证明：如图，

由知，，
平分，
，
过点作，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】先判断出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理求出；
过点作，再判断出≌，得出，可得结论．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，锐角三角函数，解本题的关键是判断出≌，判断出，作出辅助线是解本题的难点，是一道中等难度的中考常考题．
 

25.【答案】     

【解析】证明：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中
，
≌，
，
即：．
故答案为：，．

解：时，；
，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中
，
≌，
，
即：．
故答案为：；

解：猜想：．
理由：把绕点顺时针旋转得到，连接，
≌，
，，
，，
在中，，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，

≌，
，
．
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，再证明≌进而得到，即可得；
时，，与的证法类同；
根据绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知≌得到，，，，根据中的，得到，所以，证≌，利用得到；
此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明≌此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．