黑龙江省哈尔滨市第九中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附答案）
展开2022-2023年度哈九中高一下学期3月月考考试
数学学科试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
I卷
一､单选题，本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（ ）
A. B. C. D.
2.函数一部分图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
3.函数图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
5.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知是边长为1的正三角形，，则（ ）
A. B. C. D.1
7.记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为.已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动.若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
8.设，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知向量和实数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则或
B.
C.若则与共线同向
D.若，则为钝角三角形
11.已知函数，对任意均有，且在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A.函数图像关于对称
B.函数的最小正周期为
C.函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D.若在上恒成立.，则的最大值为
12.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A. B.
C. D.
II卷
二､填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）
13.__________.
14.已知向量与的夹角为，则实数__________.
15.在中，，若均大于0，则的值为__________.
16.已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，__________.
三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设两个非零向量与不共线.
（1）若，，求证三点共线.
（2）试确定实数，使和共线.
18.（本小题满分12分）
知.
（1）若为第一象限角，求；
（2）求的值.
19.（本小题满分12分）
已知向量与的夹角，且，.
（1）求，；
（2）求；
（3）与的夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）已知，且，求的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，且当时，的最大值为.
（1）求a的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围.
22.（本小题满分12分）
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由.
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围.
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B
9.AD 10.BD 11.ACD 12.BC
13.1 14.-2 15.15 16.
17.（1）因为，
所以
所以，共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线；
（2）因为和共线，
所以存在实数，使，
所以，
即.
又，是两个不共线的非零向量，
所以
所以，
所以或.
18.（1）因为，
所以，则.
因为为第一象限角，所以，
（2）由（1）知，
所以，
所以
19.（1）已知向量与的夹角，且，，则，
所以；
（2）
（3）与的夹角的余弦值为.
20.（1）.
所以函数的单调递增区间是
（2）
21.（1）
，
令，则在上的最大值为，
当时，的开口向下，对称轴为，
故当时，即时，在取到最大值，
则，解得或(舍去).
当时，即时，在取到最大值
则，解得(舍)
所以
（2）由（1）可得：，
令，则的开口向下，对称轴为，
故当或时，取到最小值，
故在上的值域，
又∵，则，故，
设在上的值域为，
若对任意的，总存在，使得，则，
当时，则，显然不成立，不合题意，舍去；
当时，则，可得，解得；
当时，则，可得，解得；
综上所述：实数b的取值范围为.
22.（1）因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
（2）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.
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