2023年山东省济宁市梁山县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市梁山县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是计算器上显示的数字“”，说法正确的是(    )

A. 是轴对称图形但不是中心对称图形
B. 是中心对称图形但不是轴对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 不是轴对称图形也不是中心对称图形

5.  定义运算：例如：则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

6.  小华把如图所示的的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等，则飞镖落在阴影区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是、上的动点，当的周长取最小值时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，、、、、、、、分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是，那么大正方形的边长应该是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  疫情期间，某商店连续天销售口罩的盒数分别为，，，，，，关于这组数据，下列结论错误的是(    )

A. 众数是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 方差是

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若，则代数式的值为          ．

12.  如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合点与点重合，点与点重合，则这个旋转中心的坐标为______．

13.  一渔船在海岛南偏东方向的处遇险，测得海岛与的距离为海里，渔船将险情报告给位于处的救援船后，沿北偏西方向向海岛靠近．同时，从处出发的救援船沿南偏西方向匀速航行．分钟后，救援船在海岛处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为______ ．

14.  如图，在中，，，，是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为______．

15.  某商店以固定进价一次性购进一种商品，月份按一定售价销售，销售额为元，为扩大销售，减少库存，月份在月份售价基础上打折销售，结果销售量增加件，销售额增加元．设该商店月份这种商品的售价是元，则根据题意所列方程为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简：，然后从中选一个合适的整数作为的值代入求值．

17.  本小题分
某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理、描述和分析．部分信息如下：
七年级成绩频数分布直方图
 

七年级成绩在这一组的是：
七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
在这次测试中，七年级在分以上含分的人数有多少？
表中的值为多少？
在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是．
求的值；
若将一次函数的图象向下平移个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数的图象相交于，两点，求此时线段的长．

19.  本小题分
端午节临近，某商店推出白水粽和红豆粽，其中红豆粽的销售单价是白水粽的倍，月份，红豆粽和白水粽共销售千克，红豆粽的销售额是元，白水粽的销售额为元．
求红豆粽、白水粽的销售单价各是多少？
为迎接端午节到来，该蛋糕店在月推出“粽享会员”活动，对所有的粽子均可享受的折扣，非“粽享会员”需要按照原价购买，就红豆粽而言，月销量比月销量增加了，其中通过“粽享会员”购买的销量占月红豆粽销量的，而月红豆粽的销售总额比月红豆粽销售额提高了，求的值．

20.  本小题分
在中，为中点，、与射线分别相交于点、射线不经过点．
如图，当时，连接并延长交于点求证：四边形是平行四边形；
如图，当于点，于点时，分别取、的中点、，连接、、、求证：．
 

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
证明：为的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
试求抛物线的解析式；
直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．先计算绝对值，再计算减法即可得．
【解答】解：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
则用科学记数法表示为
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：计算器上显示的数字“”，不是轴对称图形也不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由新定义得：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用新定义得到，然后利用可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，阴影区域的面积为，
飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：．
根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论．
此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，点关于的对称点，点关于直线的对称点，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
由解得：，
直线与直线的交点坐标为，
是中点，
可得．
连接与交于点，与交于点，此时周长最小，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
解得，
，
故选：．
点关于的对称点，点关于直线的对称点，连接与交于点，与交于点，此时周长最小，解求得的坐标，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，然后与直线的解析式联立，解方程组即可．
本题考查轴对称最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点、点位置．
 

8.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
又在直角中，：：，
，
与小正方形的边长相等，
．
故选：．
根据勾股定理即可计算与的比值，观察图形可以求得的值，根据的值即可求得的值，即可解题．
本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求的值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，
是的平分线，
．
在中，，
由勾股定理得：，
，，
∽．
即．
，
故选：．
过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明∽，根据相似三角形的性质得出的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：这个数据，，，，，，中，出现次数最多的是，因此众数是，
这个数的平均数为，
将这个数从小到大排列后，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
这组数据的方差为，
故选：．
根据中位数、众数、平均数、方差的计算方法分别求出结果再进行判断即可．
本题考查了平均数，中位数，众数、方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
由，可得，代入所求代数式求值即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是点，．

旋转中心即为对应点所连线段的垂直平分线的交点，所以连接、，作线段、的垂直平分线交于点，即为所求，故答案为。
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 

13.【答案】海里分 

【解析】解：作，
，，
海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里分．
故答案为：海里分．
作，得到两直角三角形、，利用三角函数的知识即可求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据方位角的定义得到图中方位角的度数是前提条件．
 

14.【答案】 

【解析】解：作的中点，连接，，．

在直角中，，
是直角斜边上的中点，
．
是的中点，是的中点，
．
，即．
最小值为，
故答案为：．
作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后确定的范围．
本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：设该商店月份这种商品的售价是元，由题意得：
，
故答案为：．
设该商店月份这种商品的售价是元，则月份这种商品的售价是元，根据题意可得等量关系：月份的销量月份的销量，根据等量关系列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，原式． 

【解析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
 

17.【答案】解：在这次测试中，七年级在分以上含分的人数有人；
七年级学生成绩的中位数分；
七年级学生甲的成绩更靠前，
因为七年级学生甲的成绩大于其中位数． 

【解析】根据频数分布直方图可得七年级在分以上含分的人数；
根据中位数的概念求解即可；
根据中位数的意义求解即可．
本题主要考查频数分布直方图、中位数，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义．
 

18.【答案】解：将代入，
交点的坐标为，
将代入，
解得：；

将一次函数的图象向下平移个单位长度得到，
由，
解得：或，
，，
． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，体现了方程思想，综合性较强．
将代入，故其中交点的坐标为，将代入反比例函数表达式，即可求解；
一次函数的图象向下平移个单位得到，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
 

19.【答案】解：设白水粽的销售单价是元，则红豆粽的销售单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：红豆粽的销售单价是元，白水粽的销售单价是元．
红豆粽月份的销量为千克．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为． 

【解析】设白水粽的销售单价是元，则红豆粽的销售单价是元，利用数量总价单价，结合月份红豆粽和白水粽共销售千克，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出白水粽的销售单价，再将其代入中即可求出红豆粽的销售单价；
利用数量总价单价，即可求出红豆粽月份的销量，利用销售总额销售单价销售数量，结合月红豆粽的销售总额比月红豆粽销售额提高了，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

20.【答案】证明：如图，为的中点，
，
，
，
在与中，

≌，
，
四边形是平行四边形；

如图连接、，延长交于点，
，，
，
由可知，又，
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
在中，是的中点，
，
在中，、分别是、的中点，
，
，
同理，，
在与中，

≌，
． 

【解析】根据两直线平行内错角相等求得，然后依据求得≌得出，最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形求得．
连接、，延长交于点，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得，，进而根据即可证明≌，最后根据全等三角形的对应角相等求得．
本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理等，此题的根据是能够找出三角形全等的条件，证得全等．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的切线；
解：连接，
为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故DE的长为． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，，推出，于是得到结论；
连接，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：因为抛物线经过、两点，
所以可以假设，
，，
，代入抛物线的解析式得到，
或或．

如图中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于．

，
∽，
，
直线与轴交于点，则，
的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时．

存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
当是矩形的边时，有两种情形，
、如图中，四边形是矩形时，

有可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由∽可得，
，
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
，即
、如图中，四边形是矩形时，

直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
，即．
当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点坐标为或． 

【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
因为抛物线经过、两点，所以可以假设，求出点坐标代入求出即可；
由∽，可得，根据关于关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：当是矩形的边时，有两种情形；当是对角线时．