2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期中数学试卷

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2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝27，则a1a4＝（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（5分）（1+x）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
3．（5分）在等差数列{an}中，a4＝8，且a2，a4，a10构成等比数列，则公差d等于（　　）
A． B．0 C． D．0或
4．（5分）已知f（x）＝x3﹣2xf'（1），则f'（2）等于（　　）
A．11 B．10 C．8 D．1
5．（5分）由0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（　　）
A．60 B．72 C．96 D．120
6．（5分）函数f（x）＝ex﹣e﹣x+2cosx，若2a＝3，b＝lg0.1，，则有（　　）
A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（b）＞f（c）＞f（a）
7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞f（x）﹣1，f'（x）是f（x）的导函数，且f（0）＝6，则不等式f（x）＞5ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（0，+∞） D．（3，+∞）
8．（5分）一个口袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，每次从袋中至少取出一个球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有（　　）种
A．76 B．48 C．40 D．28
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（　　）
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共3项
（多选）10．（5分）数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又称“冰雹猜想”）就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．记正整数a0按照上述规则实施第n（n∈N）次运算的结果为an，若a6＝1，则a0可能为（　　）
A．64 B．16 C．8 D．1
（多选）11．（5分）日前，为应对新冠疫情，某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　）
A．每人都只安排到一个社区的不同方法数为625
B．每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C．如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D．每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞1 B．x1x2＞1 C．x1x2＜1 D．x1+x2＞2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）5个人排成一排拍照，其中甲、乙不相邻，共有 　 　种排法．（用数字作答）
14．（5分）（x﹣y﹣2z）5的展开式中含x2yz2的项的系数为 　 　．（用数字作答）
15．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax2﹣3a在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是 　 　．
16．（5分）曲线f（x）＝xi+1（i∈N*）在x＝2处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为Si，则Si＝　 　，＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R，且f'（1）＝1．求：
（1）a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）函数f（x）在区间[0，2]上的最大值．
18．（12分）等差数列{an}前n项和为Sn，且a3+a6＝16，S9＝81．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
19．（12分）已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．（12分）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中m∈（0，1）．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为x∈[20，30]（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
21．（12分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，其中a1＝1，且．
（1）求常数λ的值，并写出{an}的通项公式；
（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n≥k，k∈N*，都有，求正整数k的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝（aex﹣x）ex．
（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x∈R，恒成立，求a的最小值．

2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝27，则a1a4＝（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝27，
∴，解得，
∴a1a4＝＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（1+x）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数为（　　）
A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80
【分析】在二项展开式的通项公式中，（1+x）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数C53（﹣2）3+C52（﹣2）2，计算即可．
【解答】解：（1+x）（1﹣2x）5的展开式中x3的系数C53（﹣2）3+C52（﹣2）2＝﹣40．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
3．（5分）在等差数列{an}中，a4＝8，且a2，a4，a10构成等比数列，则公差d等于（　　）
A． B．0 C． D．0或
【分析】由等比数列的性质列出等式，再利用等差数列的通项公式解方程，能求出公差．
【解答】解：在等差数列{an}中，a4＝8，且a2，a4，a10构成等比数列，
∴，
∴82＝（8﹣2d）（8+6d），
解得d＝0或d＝，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的运算，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）已知f（x）＝x3﹣2xf'（1），则f'（2）等于（　　）
A．11 B．10 C．8 D．1
【分析】先求出导函数，令x＝1求出f'（1）的值，进而求出f'（2）的值．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2xf'（1），
∴f'（x）＝3x2﹣2f'（1），
令x＝1得，f'（1）＝3﹣2f'（1），解得f'（1）＝1，
∴f'（x）＝3x2﹣2，
∴f'（2）＝3×4﹣2＝10，
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
5．（5分）由0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（　　）
A．60 B．72 C．96 D．120
【分析】根据偶数的定义分别讨论个位数是0，2，4，然后进行计算即可．
【解答】解：若个位数是0，则有A＝24种，
若个位数是2，则有＝18，
若个位数是4，则有＝18，
综上24+18+18＝60，
故选：A．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6．（5分）函数f（x）＝ex﹣e﹣x+2cosx，若2a＝3，b＝lg0.1，，则有（　　）
A．f（a）＞f（b）＞f（c） B．f（a）＞f（c）＞f（b）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（b）＞f（c）＞f（a）
【分析】先根据指数及对数函数性质判断a，b，c的范围，进而可比较a，b，c的大小，然后对已知函数求导，结合导数与单调性关系可判断f（x）的单调性，利用单调性可比较函数值大小．
【解答】解：因为2a＝3，
所以a＝log23＞1，b＝lg0.1＝﹣1，∈（0，1），
f′（x）＝ex+e﹣x﹣2sinx﹣2sinx＝2﹣2sinx≥0，
所以f（x）在R上单调递增，
所以f（a）＞f（c）＞f（b）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用单调性比较函数值大小，导数的应用是求解问题的关键，属于中档题．
7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞f（x）﹣1，f'（x）是f（x）的导函数，且f（0）＝6，则不等式f（x）＞5ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（0，+∞） D．（3，+∞）
【分析】设g（x）＝，结合已知条件，利用导数判断g（x）的单调性，再根据不等式f（x）＞5ex+1⇔＞，即g（x）＞g（0），脱“g“，解相应的不等式即可．
【解答】解：设g（x）＝，
∵f'（x）＞f（x）﹣1，
∴g′（x）＝＞0，
∴g（x）在R上单调递增，又f（0）＝6，
∴不等式f（x）＞5ex+1⇔＞5＝f（0）﹣1＝，
∴g（x）＞g（0），∴x＞0，
∴原不等式的解集为（0，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
8．（5分）一个口袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，每次从袋中至少取出一个球，恰好4次取完，那么不同的取法一共有（　　）种
A．76 B．48 C．40 D．28
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①4次取球中，有1次取出3个，剩下3次都取出1个，②4次取球中，有2次取出2个，剩下2次都取出2个，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①4次取球中，有1次取出3个，剩下3次都取出1个，
若4次求出的球为3红，1红，1白、1白，有CC＝12种取法，
若4次求出的球为2红1白，1红，1红、1白，有CC＝12种取法，
若4次求出的球为1红2白，1红，1红、1红，有C＝4种取法，
有12+12+4＝28种取法，
②4次取球中，有2次取出2个，剩下2次都取出2个，
若4次求出的球为2红、2红、1白、1白，有C＝6种取法，
若4次求出的球为2红、2白、1红、1红，有A＝12种取法，
若4次求出的球为2红、1红1白，1白、1红，有A＝24种取法，
若4次求出的球为1红1白、1红1白，1红、1红，有C＝6种取法，
则有6+12+24+6＝48种取法，
则有28+48＝76种取法，
故选：A．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（　　）
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共3项
【分析】由已知求出n＝6，选项A：根据二项式系数和的公式即可判断；选项B：令x＝1，进而可以判断；选项C：根据n的值即可判断；选项D：求出展开式的通项公式，然后令x的指数为整数，由此即可判断求解．
【解答】解：由已知可得n＝6，
选项A：所有项的二项式系数和为26＝64，故A错误，
选项B：令x＝1，则所有项的系数和为（2﹣1）6＝1，故B正确，
选项C：因为n＝6，则展开式中二项式系数最大项为第4项，故C正确，
选项D：展开式的通项公式为T＝C，
令6﹣，且r＝0，1，2，....6，
所以r＝0，2，4，6，故展开式的有理项共有4项，故D错误，
故选：BC．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解展开式的有理项问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）数学上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又称“冰雹猜想”）就是其中之一，它是指任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．记正整数a0按照上述规则实施第n（n∈N）次运算的结果为an，若a6＝1，则a0可能为（　　）
A．64 B．16 C．8 D．1
【分析】根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此能求出结果．
【解答】解：若6次步骤后变成1，则a6＝1，
a5＝2，a4＝4，a3＝8或1，
当a3＝8时，a2＝16，a1＝32或a1＝5，
则a1＝32时，a0＝64，a1＝5时，a0＝10，
当a3＝1时，a2＝2，a1＝4，则a0＝1或a0＝8，
∴a0的所有可能取值组成的集合为{1，8，10，64}．
故选：ACD．
【点评】本题考查正整数不可能取的值的判断，考查“角谷猜想”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）日前，为应对新冠疫情，某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是（　　）
A．每人都只安排到一个社区的不同方法数为625
B．每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480
C．如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的不同方法数为150
D．每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案的种数是126
【分析】根据条件将5人先进行分组，然后在进行排列即可．
【解答】解：每人都只安排到一个社区的不同方法数4×4×4×4×4＝1024，故A错误，
每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则将5人分成四组即可，则有＝240，故B错误，
如果D社区不安排，其余三个社区至少安排一人，则将5人分3组，人数是1，1，3或1，2，2，
若是1，1，3，则有＝60，
若是1，2，2，则有•＝90，则共有60+90＝150，故C正确，
每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，则将5人分成四组即可，
若甲乙2人一组，则先排甲乙，后排其他3组，有＝18种，
若甲乙2人分开，且单独一组，则有CA＝36种，
若甲所在组2人，乙单独一组，则有A＝36种，
若乙所在组2人，甲单独一组，则有A＝36种，
则合计18+36+36+36+36＝126，故D正确，
故选：CD．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后排列的方式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是（　　）
A．a＞1 B．x1x2＞1 C．x1x2＜1 D．x1+x2＞2
【分析】分析可知直线y＝a与y＝g（x）的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；证明对数平均不等式＜＜，其中x1≠x2，且x1，x2均为正数，利用对数平均不等式可判断BCD选项．
【解答】解：由f（x）＝0可得a＝x﹣lnx，
令g（x）＝x﹣lnx，其中x＞0，
所以，直线y＝a与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，
g'（x）＝1﹣＝，
令g′（x）＝0，可得x＝1．
所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g（x）min＝g（1）＝1，
作出函数y＝a与y＝g（x）的图象如下图所示：

由图可知，当a＞1时，函数y＝a与y＝g（x）的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式＜＜，其中x1≠x2，且x1，x2均为正数．
先证明＜，其中x1＞x2＞0，
即证ln＞＝，
令t＝＞1，p（t）＝lnt﹣，其中t＞1，
则p′（t）＝﹣＝＞0，
所以，函数p（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，p（t）＞p（1）＝0，
所以，当x1＞x2＞0时，＜，
接下来证明：＞，其中x1＞x2＞0，
即证ln＜＝﹣，
令t＝＞1，
即证2lnt＜t﹣，
令h（t）＝2lnt﹣（t﹣），其中t＞1，
则h′（t）＝﹣1﹣＝﹣＜0，
所以，函数h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时，h（t）＜h（1）＝0，
所以，当x1＞x2＞0时，＞，
由已知可得，
两式作差可得x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，
所以，＝1，
因为＜＝1＜，
故x1x2＜1，x1+x2＞2，
所以B错，CD都对．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的零点、数形结合思想、转化思想，难点在于证明＜＜，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）5个人排成一排拍照，其中甲、乙不相邻，共有 　72　种排法．（用数字作答）
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙之外的三人全排列，②三人排好后有4个空位，在其中任选2个，安排甲乙，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将甲乙之外的三人全排列，有A33＝6种排法，
②三人排好后有4个空位，在其中任选2个，安排甲乙，有A＝12种平排法，
则甲乙不相邻的排法有6×12＝72种；
故答案为：72．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14．（5分）（x﹣y﹣2z）5的展开式中含x2yz2的项的系数为 　﹣120　．（用数字作答）
【分析】由二项式定理求解即可．
【解答】解：（x﹣y﹣2z）5的展开式中含x2yz2的项的系数为××＝﹣120，
故答案为：﹣120．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了运算能力，属基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax2﹣3a在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是 　（﹣∞，2]　．
【分析】依题意，f′（x）＝（2x+1）ex﹣2ax≥0在区间（0，+∞）上恒成立，分离参数a，令g（x）＝（x＞0），求出g（x）的最小值，再求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax2﹣3a在（0，+∞）上为增函数，
则f′（x）＝（2x+1）ex﹣2ax≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即∀x∈（0，+∞），2a≤恒成立，
令g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，
当x＝时，g（x）取得极小值，也是最小值g（）＝4，∴a≤2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，2]
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化化归思想及函数思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）曲线f（x）＝xi+1（i∈N*）在x＝2处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为Si，则Si＝　　，＝　（n2﹣2n+3）•2n+2﹣12．　．
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可求出切线与两坐标轴交点的坐标，利用三角形的面积公式可求出Si，然后利用错位相减法能求出．
【解答】解：∵f（x）＝xi+1（i∈N*），f′（x）＝（i+1）xi，则f（2）＝2i+1，f′（2）＝（i+1）•2i，
∴切线方程为y﹣2i+1＝（i+1）•2i（x﹣2），
在切线中，令x＝0可得y＝﹣i•2i+1，令y＝0可得x＝，
∴Si＝×i×2i+1＝，（i+1）Si＝i2•2i+1，
设数列{n2•2n+1}的前n项和为Tn，
则Tn＝12•22+22•23+32•24+•••+n2•2n+1，
∴2Tn＝12•23+22•24+33•25+•••+（n﹣1）2•2n+1+n2•2n+2，
上述两个等式作差得：
﹣Tn＝1×22+3×23+5×24+•••+（2n﹣1）×2n+1﹣n2×2n+2，
令An＝1×22+3×23+5×24+•••+（2n﹣1）×2n+1，
则+（2n﹣1）×2n+2，
上述两个等式作差得：
﹣An＝22+2（23+24+•••+2n+1）﹣（2n﹣1）•2n+2＝4+﹣（2n﹣1）•2n+2＝（3﹣2n）•2n+2﹣12，
∴An＝（2n﹣3）•2n+2+12，
则﹣Tn＝An﹣n2•2n+2＝（﹣n2+2n﹣3）•2n+2+12，
∴＝Tn＝（n2﹣2n﹣3）•2n+2+12，
∴＝Tn＝（n2﹣2n+3）•2n+2﹣12．
故答案为：；（n2﹣2n+3）•2n+2﹣12．
【点评】本题考查曲线的切线与两坐标轴围成的三角形的面积的计算，考查导数性质、切线方程、错位相减求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R，且f'（1）＝1．求：
（1）a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）函数f（x）在区间[0，2]上的最大值．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）＝1，得到关于a的方程，求出a的值，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣ax2（a∈R），
∴f'（x）＝3x2﹣2ax，
由f'（1）＝3﹣2a＝1，解得a＝1，
∴y＝f（x）＝x3﹣x2，
∵f（1）＝0，f'（x）＝3x2﹣2x，f'（1）＝1，
∴切点（1，0），斜率为1，
∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1；
（2）f（x）＝x3﹣x2，f'（x）＝3x2﹣2x＝x（3x﹣2），
x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（，2]时，f′（x）＞0，f（x）递增，
而f（0）＝0，f（2）＝8﹣4＝4，
∴f（x）最大值为f（2）＝4．
【点评】本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．
18．（12分）等差数列{an}前n项和为Sn，且a3+a6＝16，S9＝81．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，a3+a6＝16，S9＝81，利用通项公式列出方程组，解出即可得出a1，d，即可得出an．
（2）＝＝（﹣），利用裂项求和方法可得数列的前n项和为Tn，根据即可得出n的最小值．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a6＝16，S9＝81，
∴2a1+7d＝16，9a1+d＝81，
解得a1＝1，d＝2，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）＝＝（﹣），
∴数列的前n项和为Tn＝（1﹣+﹣…+﹣）＝（1﹣），
∵，∴（1﹣）＞，化为：n＞7，
∴n的最小值为8．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求n；
（2）求展开式中系数最大的项．
【分析】（1）求出展开式的第2项与第3项的二项式系数，然后建立方程即可求解；（2）求出二项式的通项公式，令第r+1项的系数最大，然后建立不等式组，根据r的范围即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得C，解得n＝8或﹣9，
所以n＝8；
（2）二项式（）8的展开式的通项公式为T＝C，
设第r+1项的系数最大，所以，解得5≤r≤6，
又因为r∈Z，则r＝5或6，
所以系数最大项为T＝1792x，T＝1792x﹣5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
20．（12分）某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中m∈（0，1）．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为x∈[20，30]（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【分析】（1）利用导函数的几何意义，即可解出；
（2）根据题意列出不等式，构造函数，即可解出．
【解答】解：（1）设加工费用为f（x），则f（x）＝ln（2x+1）﹣x，
∴f′（x）＝＝，
若企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则f′（x）≥0，
∵2x+1＞0，
∴200﹣2x≥0，
∴0＜x≤100，
即该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在（0，100]范围内；
（2）令g（x）＝ln（2x+1）﹣mx﹣，该企业加工生产将不会出现亏损，即g（x）≥0，
∴ln（2x+1）≥（m+）x，
∴m+≤，
令h（x）＝，则h′（x）＝，
令t（x）＝，则t′（x）＝＝＜0，
所以t（x）在[20，30]上单调递减，且t（20）＝＜0，
∴h′（x）＜0在[20，30]上恒成立，故h（x）min＝h（30）＝，
∴m+≤，
∴m≤，
所以当m∈（0，]时，该企业加工生产将不会出现亏损．
【点评】本题考查了导函数的简单应用，学生的数学运算能力，属于中档题．
21．（12分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，其中a1＝1，且．
（1）求常数λ的值，并写出{an}的通项公式；
（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n≥k，k∈N*，都有，求正整数k的最小值．
【分析】（1）根据题意，分别求得，结合数列{an}为等差数列，列出方程组，求得，得到a2＝2，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求得，把不等式，转化为，令，结合，根据数列的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）解：由a1＝1，且，
令n＝1，可得，解得，
当n＝2，可得，解得，
因为数列{an}为等差数列，可得，解得，
所以a2＝2，所以d＝a2﹣a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝1+（n﹣1）×1＝n；
（2）解：由（1）知an＝n，所以，
则，
可得，
两式相减可得
＝，
所以，
要使得，即，即，
令，可得，
则，
当n＝1时，c2＞c1；
当n≥2时，cn+1﹣cn＜0，即cn+1＜cn，
即，
所以当n≥9时，恒有cn＜1，
故存在kmin＝9时，对于任意n≥k时，都有成立．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，数列的递推关系以及数列与不等式的综合问题，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（aex﹣x）ex．
（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意的x∈R，恒成立，求a的最小值．
【分析】（1）a＝0时，f（x）＝﹣xex，x∈R，利用导数运算法则可得f′（x），即可得出函数f（x）的单调性．
（2）令g（x）＝（aex﹣x）ex+，x∈R，对于任意的x∈R，恒成立⇔g（x）max≤0，x∈R．g′（x）＝﹣ex（x+1﹣2aex），由题意可得g（0）＝a+≤0，可得a＜0．令h（x）＝x+1﹣2aex，根据其单调性可得：存在唯一实数x0∈（2a﹣1，﹣1），使得h（x0）＝x0+1﹣2a＝0，a＝，可得函数g（x）在R上的单调性，进而得出结论．
【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝﹣xex，x∈R，
f′（x）＝﹣（x+1）ex，
x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在x∈（﹣∞，﹣1）上单调递增；在x∈（﹣1，+∞）上单调递减．
（2）令g（x）＝（aex﹣x）ex+，x∈R，
对于任意的x∈R，恒成立⇔g（x）max≤0，x∈R．
g′（x）＝2ae2x﹣（x+1）ex＝﹣ex（x+1﹣2aex），
由题意可得g（0）＝a+≤0，解得a＜0．
令h（x）＝x+1﹣2aex，则h（x）在R上单调递增．
x＜0时，h（x）＜x+1﹣2a，h（2a﹣1）＜2a﹣1+1﹣2a＝0，
h（﹣1）＝＞0，
∴存在唯一实数x0∈（2a﹣1，﹣1），使得h（x0）＝x0+1﹣2a＝0，a＝，
函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．
∴g（x）max＝g（x0）＝﹣x0+≤0，x0＜﹣1，
解得﹣3≤x0＜﹣1，
令a＝＝u（x），x∈[﹣3，﹣1）．
u′（x）＝＞0，函数u（x）在x∈[﹣3，﹣1）上单调递增．
∴x＝﹣3时，函数u（x）取得最小值，u（﹣3）＝﹣e3．
∴a的最小值为﹣e3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性与极值及其最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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