高中数学5.3.5 随机事件的独立性课后练习题

二十一　随机事件的独立性

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,两人互不干扰,若两人同时射击一次,则他们都中靶的概率是              (　　)

A.   B.   C.    D.

解析:选A.由题意可知甲乙同时中靶的概率为×=.

2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为              (　　)

A.1　   B.0.629

C.0    D.0.74或0.85

解析:选B.事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74=0.629.

3.假日期间,甲去黄山的概率是,乙去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是              (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析:选C.设甲、乙去黄山分别为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P()=1-×=.

4.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则              (　　)

A.A与B互斥　   B.A与B相互独立

C.P(A∪B)=　   D.P(A)=P(B)

解析:选BCD.根据题意,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,

可知两事件互不影响,即A与B相互独立,故B正确,A不正确;

由P(A)=,P(B)=,

所以P(A∪B)=1-P()P()=,

且P(A)=P(B),故D正确,C正确.

5.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　)

A.　 B.　 C.　 D.

解析:选A.由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.

所以所求概率P=××=.

6.四个同学猜同一个谜语,如果每人猜对的概率都是,并且各人猜对与否互不影响,那么他们同时猜对的概率为              (　　)

A.   B.   C.   D.

解析:选B.由各人猜对与否互不影响,每人猜对的概率都是,得他们同时猜对的概率为=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　　　　.  

解析:加工出来的零件的正品率是1-×1-×1-=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.

答案:

8.甲、乙两人投球命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为　　　　. 

解析:事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次,恰好命中一次”记为事件C,则C=A∪B且A与B互斥,P(C)=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×==.

答案:

三、解答题

9.(10分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.

(1)求恰有一名同学当选的概率.

(2)求至多有两人当选的概率.

解析:设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,

则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.

(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P(B)+P(C)

=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C)

=××+××+××=.

(2)至多有两人当选的概率为

1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.

　　　【补偿训练】

　　　在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.

(1)求恰有两个项目成功的概率.

(2)求至少有一个项目成功的概率.

解析:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××1-=,

只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为×1-×=,

只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为1-××=,

所以恰有两个项目成功的概率为++=.

(2)三个项目全部失败的概率为1-×1-×1-=,

所以至少有一个项目成功的概率为1-=.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A )=0.44,则P(B)等于(　　)

A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6

解析:选A.因为A,B是相互独立事件,所以,B和A, 均相互独立.因为P(A)=0.2,P(AB+B+A )=0.44,所以

P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2(1 -P(B))=0.44,解得P(B)=0.3.

2.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是              (　　)

A.　 B.  C.　 D.

解析:选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:

第一条:按A→B→C→A,P1=××=;

第二条,按A→C→B→A,P2=××=.

所以跳三次之后停在A叶上的概率为

P=P1+P2=+=.

3.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则              (　　)

A.甲与丙相互独立   B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立   D.丙与丁相互独立

解析:选B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).

则P(A)=P(B)=,P(C)==,P(D)=;

对于A选项,P(AC)=0;

对于B选项,P(AD)==;

对于C选项,P(BC)==;

对于D选项,P(CD)=0.

若两事件X,Y相互独立,

则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.

二、填空题(每小题5分,共15分)

4.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=　　　　　　　　;P( )=　　　　　. 

解析:因为P(A)=,P(B)=,

所以P()=,P()=.

所以P(A)=P(A)P()=×=,

P( )=P()P()=×=.

答案:　

5.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,, ,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为　　　　. 

解析:分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,停车一次为事件BC+AC+AB发生,故概率为1-××+×1-×+××1-=.

答案:

　　　【补偿训练】

　　　若三个电子元件A,B,C按照如图的方式连接成一个系统,每个元件是否正常工作不受其他元件的影响,当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时,系统就正常工作,若元件A,B,C正常工作的概率依次为0.7,0.8,0.9,则这个系统正常工作的概率为　　　　　. 

解析:由题意,系统正常工作的情况分成两个步骤,A正常工作且B,C至少有一个正常工作的情况,其中A正常工作的概率为0.7;B正常工作的概率为0.8,C 正常工作的概率为0.9,则B与C至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98,

所以这个系统正常工作的概率为:0.7×0.98=0.686.

答案:0.686

6.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　. 

解析:由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

答案:

三、解答题

7.(10分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率.

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

解析:记事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.

(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,

则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××1-=.

(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,

则P(C)=P(∪A1∪A1A2)

=P()+P(A1)+P(A1A2)

=+×+××1-=.

　　　【补偿训练】

　　　根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率.

(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

解析:记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险;C表示事件:该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;E表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,

P(E)=0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2+0.2×0.8×0.8=0.384.