数学必修 第二册5.1.2 数据的数字特征课时训练

十三　分层抽样

基础练习

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(多选题)对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是 (　　)

①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验;

②一次数学竞赛中,某班有10人的成绩在110分以上,40人的成绩在90~100分,10人的成绩低于90分,现在从中抽取12人的成绩了解有关情况;

③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道.

A.①②适宜采用分层抽样

B.②③适宜采用分层抽样

C.②适宜采用分层抽样

D.③适宜采用简单随机抽样

解析:选CD.①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验,不满足分层抽样的方法;②总体由差异明显且互不重叠的几部分组成,若要从中抽取12人的成绩了解有关情况,适合采用分层抽样的方法;③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道,具有随机性,适合用简单随机抽样.

2.某市刑警队对警员进行技能测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级,测试结果如下表:(单位:人)

若按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取40人,成绩为良好的有24人,则a等于              (　　)

A.10　　　B.15　　　C.20　　　D.30

解析:选A.设该市刑警队共n人,由题意得=,解得,n=200;

则a=200-(40+105+15+25+5)=10.

【补偿训练】

　　　1.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为              (　　)

A.60　 B.80　 C.120　 D.180

解析:选C.从11~12岁的学生中回收180份问卷,从中抽取60份,则抽样比为.

因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,所以从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900(份),

则15~16岁回收问卷份数为x=900-120-180-240=360(份).

所以在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120(份).

2.如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为              (　　)

A.　 B.  C.　 D.

解析:选C.根据每个个体都等可能入样,所以每个个体被抽到的可能性是样本容量与总体容量之比.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.某农场在三种地上种玉米,其中平地210亩,河沟地120亩,山坡地180亩,估计产量时要从中抽取17亩作为样本,则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是　　　　　　　. 

解析:由题意得共有210+120+180=510(亩),所以应抽取的亩数分别为210×=7,120×=4,180×=6.

答案:7,4,6

【补偿训练】

　　　将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取　　　　个个体. 

解析:由题意可设A,B,C中个体数分别为5k,3k,2k,所以C中抽取个体数为×100=20.

答案:20

4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为　　　　,中年教师人数为　　　　. 

解析:设样本中老年教师人数为n人,=,解得n=180,同理得中年教师人数为360.

答案:180　360

三、解答题(共10分)

5.某城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,计划抽取一个容量为21的样本,按照分层抽样法抽取时,各种百货商店分别要抽取多少家?写出抽样过程.

解析:(1)样本容量与总体的个体数的比为=.

(2)确定各种商店要抽取的数目:大型:20×=2(家),中型:40×=4(家),小型:150×=15(家).

(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型:2家;中型:4家;小型:15家.这样便得到了所要抽取的样本.

【补偿训练】

　　　在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,现要抽取一个容量为30的样本,请说明其抽样过程,并说明其公平性和合理性.

解析:先将产品按等级分成三层:第一层,一等品20个;第二层,二等品30个;第三层,三等品50个,然后确定每一层抽取的样本容量,因为20∶30∶50=2∶3∶5,所以应在第一层中抽取产品6个,在第二层中抽取产品9个,在第三层中抽取产品15个,即通过分层抽样法得到了一个容量为30的样本.

在100个产品中抽取30个,因此总体中每个个体入样的概率P==.

在第一层中每个个体入样的概率P1==,

在第二层中每个个体入样的概率P2==,

在第三层中每个个体入样的概率P3==.

因此,可以说明每个个体被抽到的概率是相同的,即抽样方法是合理、公平的.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件.为了调查产品的情况,需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本,若采用分层随机抽样,设甲产品中应抽取产品件数为x,设此次抽样中,某件产品A被抽到的可能性为y,则x,y的值分别为              (　　)

A.25,   B.20,

C.25,  D.25,

解析:选D.根据分层随机抽样的定义和方法可得=,解得x=25,由于分层随机抽样的每个个体被抽到的可能性相等,则y==.

2.(多选题)简单随机抽样、分层抽样二者的共同特点是 (　　)

A.都是从总体中逐个抽取

B.都是用样本研究总体

C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相等

D.将总体分成几层,然后在各层按照比例抽取

解析:选ABC.简单随机抽样与分层抽样都是从总体中逐个抽取、都是用样本研究总体、抽样过程中每个个体被抽到的机会相等.

二、填空题(每小题5分,共20分)

3.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,若用分层随机抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取　　　　人. 

解析:40岁以下年龄段的职工数为200×0.5=100,则应抽取的人数为×100=20.

答案:20

 【补偿训练】

　　　1.已知某疫苗由A,B,C三家生物公司同时生产,且这三家公司分别生产了250万支、200万支、160万支.为了解它们生产的疫苗的质量,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行检测,其中从B公司生产的疫苗中抽取了200支,则n=              (　　)

A.460　 B.510

C.610  D.720

解析:选C.依题意及分层抽样知=,

解得n=610.

2.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三个学校学生的身体健康状况,计划采用分层抽样方法抽取一个容量为90的样本,则在甲、乙、丙三校分别抽取的学生人数为　　　　　　　. 

解析:由题可知抽样比为

=,故应从甲校抽取3 600×=30(人),

应从乙校抽取5 400×=45(人),

应从丙校抽取1 800×=15(人).

答案:30,45,15

4.某学校共有师生3 200人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是　　　　. 

解析:设教师人数为x,依题意有=,所以x=200.

答案:200

5.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为　　　　. 

解析:由题意知,抽取比例为3∶3∶8∶6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40×=16.

答案:16

 【补偿训练】

　　　防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生1 600名,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是　　　　. 

解析:设该校的女生人数是x,则男生人数是1 600-x,抽样比是=,则x=(1 600-x)-10,解得x=760.

答案:760

6.某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女学生中抽取的人数为80人,则n的值为　　　　　. 

解析:由于女学生的入样比与总体的入样比相等,则=,解得n=192.

答案:192

三、解答题(共10分)

7.某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如表:

已知在全校学生中初二年级女生占19%.

(1)求x的值.

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?

解析:(1)因为=0.19,所以x=380.

(2)初三年级人数为y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:×500=12(名).

 【补偿训练】

　　　1.一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至50岁的有280人,50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取?

解析:用分层抽样来抽取样本,步骤:

(1)分层:按年龄将500名职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至50岁的职工;50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为=,则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人);在35岁至50岁的职工中抽取280×=56(人);

在50岁以上的职工中抽取95×=19(人).

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样,组成样本.

2.某班有42名男生,30名女生,已知男女身高有明显不同,现欲调查平均身高,若采用分层抽样方法,抽取男生1人,女生1人,这种做法是否合适,若不合适,应怎样抽取?

解析:由于抽样比过小,仅抽取2人,很难准确反映总体情况,又因为男、女生差异较大,抽取人数相同,也不尽合理,故此法不合适.抽取人数过多,失去了抽样调查的统计意义,取样太少,不能准确反映真实情况,考虑到本题应采用分层抽样及男、女生各自的人数,故按6∶1抽取更合适,即男生抽取7人,女生抽取5人,各自用抽签法或随机数表法抽取组成样本.