专题09 二次函数抛物线与三角形存在性问题-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题09 二次函数抛物线与三角形存在性问题-2023年中考数学二轮专题提升训练，共23页。试卷主要包含了二次函数与等腰三角形，二次函数与直角三角形，二次函数与等腰直角三角形等内容，欢迎下载使用。
专题09 二次函数抛物线与三角形存在性问题
类型一 二次函数与等腰三角形
（2022秋•和平区校级期中）
1．如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
（2019•黄冈）
2．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

类型二 二次函数与直角三角形
（2022•呼和浩特）
3．如图，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为A，连接、．

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图1，若点D是线段的中点，连接，在y轴上是否存在点E，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作轴，分别交、x轴于点M、N，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．
（2019•广西）
4．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．

(1)直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点E，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2021•郧西县校级模拟）
5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求直线BD的解析式；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 二次函数与等腰直角三角形
（2020•岳阳）
6．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，．
①求点的坐标；
②判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2022•黔东南州一模）
7．抛物线 经过点，现将一块等腰直角三角板按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点、坐标分别为、．点在抛物线图象上．

(1)求点的坐标：
(2)求抛物的解析式；
(3)在抛物线上是否还存在点点除外，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)y＝﹣x2+x+4
(2)存在，四边形ABFC的面积最大为16，F（2，4）
(3)P点坐标为（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）
(4)存在，P点坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，1）或（1，4+）或（1，4﹣）

【分析】（1）先由抛物线的对称轴是直线x＝1，求得b＝﹣2a，再将将A（﹣2，0），C（0，4）代入，即可求函数的解析式；
（2）过点F作FGy轴交BC于点G，设F（t，+t+4），则G（t，﹣t+4），再由，当t＝2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，此时F（2，4）；
（3）设P（m，﹣m+4），Q（t，+m+4），分两种情况讨论：①当DP为平行四边形的对角线时，此时P（3，1）；②当DQ为平行四边形的对角线时，此时P（2，2）或（2，2）；
（4）设P（1，n），分三种情况讨论：①当AP＝AC时，20＝9+，此时P（1，）或（1，）；②当AP＝PC时，9+＝1+，此时P（1，1）；③当AC＝PC时，20＝1+，此时P（1，4）或（1，4）．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∴，
将A（﹣2，0），C（0，4）代入，
得，
解得，
∴；
（2）存在点F使四边形ABFC的面积最大，理由如下：
令y＝0，则x2+x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
过点F作FGy轴交BC于点G，

设F（t，+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴PG+t+4+t﹣4+2t，
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，
∴
，
∴当t＝2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，
此时，
∴F（2，4）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，，y＝﹣x+4＝﹣1＋4＝3，
∴D（1，），E（1，3），
设P（m，﹣m+4），Q（t，m2+m+4），
①当DP为平行四边形的对角线时，
，
解得（舍）或，
当m＝3时，﹣m+4＝1，
∴P（3，1）；
②当DQ为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
当m＝时，﹣m+4＝，
当m＝时，﹣m+4＝2，
∴P（2，2）或（2，2）；
综上所述：P点坐标为（3，1）或（2，2）或（2，2）；
（4）存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，n），
∴，，，
①当AP＝AC时，，
解得n＝±，
∴P（1，）或（1，）；
②当AP＝PC时，，
解得n＝1，
∴P（1，1）；
③当AC＝PC时，20，
解得n＝4或n＝4，
∴P（1，4）或（1，4）；
综上所述：P点坐标为（1，）或（1，）或（1，1）或（1，4）或（1，4）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．（1）；（2）P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；（3）S＝﹣+8t﹣8，S最大值为；（4）存在，Q（﹣2+2，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+，0）或Q（﹣2﹣，0）
【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据待定系数法求解即可；
（2）根据△PAM≌△PBM，可得PA＝PB，MA＝MB，从而可得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，再根据AB＝2，可得点P的纵坐标是1，代入求出x的值，即可求出点P的坐标；
（3）分别用含t的式子表示GM、BF、MF，再代入三角形面积公式，即可求出S的最大值；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，再分三种情况讨论：①当OK＝OH时，②当OH＝HK时，③当OK＝HK时，分别进行计算即可．
【详解】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴
∴；
（2）∵△PAM≌△PBM，
∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1，
∴1＝﹣﹣x+2，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；
（3）∵CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，
∴MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，
∴MF＝MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t，
∴S＝（GM+BF）×MF
＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）
＝﹣+8t﹣8
＝﹣（t﹣）2+；
当t＝时，S最大值为；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，
∴K（0，），H（﹣，），
∴OK2＝，OH2＝，HK2＝，
①当OK＝OH时，＝，
∴3m2+12m+8＝0，
∴m＝﹣2+或m＝﹣2﹣，
经检验，m＝﹣2+或m＝﹣2﹣为所列方程的解，
所以m＝﹣2+或m＝﹣2﹣；
②当OH＝HK时，＝，
∴m2+4m+8＝0，
∴m无实数解；
③当OK＝HK时，＝，
∴m2+4m﹣8＝0，
∴m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2；
经检验，m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2为所列方程的解，
所以m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2；
综上所述：Q（﹣2+2，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+，0）或Q（﹣2﹣，0）
【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质、一次函数的性质、全等三角形的性质、解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．(1)抛物线的解析式为；
(2)存在，E的坐标为或
(3)满足条件的点P的横坐标为2或

【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为，令得．
（2）由，，知线段的中点，设，根据，
得，即可解得E的坐标为或；
（3）分当时，时，当时三种情况，利用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可．
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线中，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
在中，令得，
解得：，，
∴；
（2）解：存在y轴上一点E，使得是以为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：

∵点D是线段的中点，，，
∴，
设，
又，
∵，
∴，
即，
化简得：，
解得：，，
∴E的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴设直线的解析式为，
把点代入解析式得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
①当时，
过点C作于点F，如图，

∵，轴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴F是线段的中点，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵点P是第一象限内抛物线上的动点，
∴；
②时，
∵，
∴，即，
∵轴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴此种情况不存在；
③当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：；
综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质及应用，勾股定理，利用分类讨论的思想是解题的关键．
4．(1)， ，，
(2)存在， 或．

【分析】（1）由抛物线：可得，将，代入
，求得，；
（2）易得直线的解析式：，①若B为直角顶点，，；②若A为直角顶点，，；③若E为直角顶点，设不符合题意；
【详解】（1）由抛物线：可得，
将，代入得
，
解得，
∴，
∴；
（2）易得直线的解析式：，
①若B为直角顶点，，，
∴，
直线解析式为
联立，
解得或，
∴；
②若A为直角顶点，，
同理得解析式：，
联立，
解得或，
∴；
③若E为直角顶点，设，
由得，
即，
，
解得，
经检验得是方程的增根，即方程无解，
综上所述， 或
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
5．（1）y＝x﹣3；（2）当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；（3）存在，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．
【分析】（1）对于y＝−x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，令y＝−x2＋2x＋3＝0，解得x＝−1或3，进而求解；
（2）由四边形BOCP面积＝S△OBC＋S△PHC＋S△PHB＝×OB•OC＋×PH×OB＝×3×3＋×3×（−x2＋2x＋3＋x−3）＝﹣x2+x+，即可求解；
（3）分∠PBD为直角、∠PDB为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
∵点D与点C关于x轴对称，故点D（0，﹣3），
设直线BD的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BD的表达式为y＝x﹣3；
（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB•OC+×PH×OB＝×3×3+×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，
∵﹣＜0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x＝时，四边形BOCP面积最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为（0，3）；
②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，
当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，
故设直线PD的表达式为y＝﹣x+t，
将点D的坐标代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3， 故直线PD的表达式为y＝﹣x﹣3 ②，
联立①②并解得：x＝，
故点P的坐标为（，）或（，），
综上，点P的坐标为（，）或（，）或（0，3）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
6．（1）；（2）①点的坐标；②是等腰直角三角形，理由见解析；（3）或．
【分析】（1）将点代入即可得；
（2）①先根据二次函数的平移规律得出抛物线的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得；
②先根据抛物线的表达式求出点B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出BC、BD、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得；
（3）设点P的坐标为，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当时，先根据等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点P的坐标，再代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；②当时，先根据平行四边形的判定得出四边形BCDP是平行四边形，再根据点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同可求出点P的坐标，然后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可；③当时，先根据等腰直角三角形的性质得出点P在线段BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出BD的垂直平分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和可求出点P的坐标，最后代入抛物线的表达式，检验点P是否在抛物线的表达式上即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的表达式得：
解得
则抛物线的表达式为
故抛物线的表达式为；
（2）①由二次函数的平移规律得：抛物线的表达式为
即
联立，解得
则点的坐标为；
②对于
当时，，解得或
则点B的坐标为
当时，，则点C的坐标为
由两点之间的距离公式得：


则，
故是等腰直角三角形；
（3）抛物线的表达式为
设点P的坐标为
由题意，分以下三种情况：
①当时，为等腰直角三角形
是等腰直角三角形，，

点D是CP的中点
则，解得
即点P的坐标为
对于抛物线的表达式
当时，
即点在抛物线上，符合题意
②当时，为等腰直角三角形
，
，
四边形BCDP是平行四边形
点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同

点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度


即点P的坐标为
对于抛物线的表达式
当时，
即点在抛物线上，符合题意
③当时，为等腰直角三角形
则点P在线段BD的垂直平分线上
设直线BD的解析式
将点代入得：，解得
则直线BD的解析式
设BD的垂线平分线所在直线的解析式为
点的中点的坐标为，即
将点代入得：，解得
则BD的垂线平分线所在直线的解析式为
因此有，即点P的坐标为
由两点之间的距离公式得：
又，为等腰直角三角形

则
解得或
当时，，即点P的坐标为
当时，，即点P的坐标为
对于抛物线的表达式
当时，
即点不在抛物线上，不符合题意，舍去
当时，
即点不在抛物线上，不符合题意，舍去
综上，符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，点坐标的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况，结合等腰直角三角形的性质是解题关键．
7．(1)点的坐标为
(2)抛物线的解析式为
(3)存在，点的坐标为

【分析】（1）根据题意，过点作轴，垂足为；根据角的互余的关系，易得到、轴的距离，即的坐标；
（2）根据抛物线过点的坐标，可得的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分、是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
【详解】（1）解：(1)过点作轴，垂足为．

，，
，
又，，
，
，，
点的坐标为；
（2）抛物线经过点，点，
则，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：

①若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
，
，
，
，
，
；
②若以点为直角顶点；
则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证，
，
点，

③以为直角顶点的等腰的顶点有两种情况．即过点作直线，在直线上截取时，点可能在轴右侧，即现在解答情况②的点；
点也可能在轴左侧，即还有第③种情况的点．因此，然后过作轴于，同理：，
，
为；
经检验，点与在抛物线上，点，点都不在抛物线上．
综上，存在，点的坐标为．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，能力要求极高．解题的关键是利用分类讨论，数形结合的数学思想方法．