2022-2023学年广东省汕头市九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解是(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确认

4.  设、为实数，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是(    )

A.
B. 平分
C.
D. ：：

7.  已知的半径为，点到圆心的距离，则点(    )

A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 无法确定

8.  如图，圆锥的底面圆半径为，高为，则圆锥的侧面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，且分别交，于点，，若：：，则和的面积之比等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D.

10.  如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知与关于原点对称，则______．

12.  将抛物线向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为______．

13.  若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是        ．

14.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为        ．

15.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是______ ．
 

三、计算题（本大题共3小题，共25.0分）

16.  计算：

17.  某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，若在此处建桥，求河宽的长．结果精确到
参考数据：，，

18.  某中学开展了四项体育锻炼活动：：篮球；：足球；：跳绳；：跑步陈老师对学生最喜欢的一项体育锻炼活动进行了抽样调查每人只限一项，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．

请根据图中信息解答下列问题：
参加此次调查的学生总数是______ 人；将图、图的统计图补充完整；
已知在被调查的最喜欢篮球的名学生中只有名男生，现从这名学生中任意抽取名学生参加校篮球队，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到两名女生的概率．

四、解答题（本大题共5小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知抛物线
求证：该抛物线与轴必有两个交点；
若抛物线与轴的两个交点分别为、点在点的左侧，且，求的值．

20.  本小题分
如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别与、相交于点、．
若点，求的值；
若四边形面积为，求反比例函数的解析式．

21.  本小题分
某网店销售一种儿童玩具，进价为每件元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的在销售过程中发现：当销售单价为元时，每天可售出件，若销售单价每提高元，则每天销售量减少件设销售单价为元销售单价不低于元
求这种儿童玩具每天获得的利润元与销售单价元之间的函数表达式；
当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，连接，过半圆上的点作，连接、的延长线相交于点．
求证：是的切线；
若，，
求的半径．
将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积结果用表示．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点点是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点作轴，垂足为，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
连接，若，求点的坐标；
连接，求四边形面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
原式利用绝对值的代数意义化简即可．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘除法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可知：抛物线的图象与轴的交点横坐标是，，
则一元二次方程有两个实根是或．
故选：．
首先根据图象求出抛物线的图象与轴的交点的横坐标，进而写出一元二次方程的解的情况．
本题考查的是抛物线与轴的交点问题的知识，根据抛物线与轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．灵活运用二次根式有意义的条件是解题的关键根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
代入可得，
所以，．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
所以．
故选B．
由于方程有两个实数根，则，然后解不等式即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：在和中，，
A、，
，
，
和相似，故本选项不符合题意；
B、平分
，
，
和相似，故本选项不符合题意；
C、，，
，，
，
，
和相似，故本选项不符合题意；
D、根据：：和不能推出和相似，故本选项符合题意；
故选：．
已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；根据可得出，故和相似；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离，
，
点在圆内，
故选：．
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断；
本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外 点在圆上点在圆内．
 

8.【答案】 

【解析】解：由圆锥底面半径，高，
根据勾股定理得到母线长，
根据圆锥的侧面积公式：，
故选A．
根据圆锥的侧面积公式，直接代入数据求出即可．
此题主要考查了圆锥侧面积公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由得出，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，直线与交于点，如图所示，
扇形中，，
，
翻折后点与圆心重合，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
阴影部分的面积为．
故选B．
根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：与关于原点对称，
，，
，
故答案为：．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，再进一步计算即可得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以，原抛物线的顶点坐标为，
向左平移一个单位，再向下平移三个单位，
，
，
平移后的抛物线顶点坐标为，
抛物线的解析式应为．
故答案为：．
先将抛物线整理成顶点形式并求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
 

13.【答案】且 

【解析】解：将原式去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数，
得到，且，
解得且，
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再由分式方程的解为非负数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，关键在于要注意分式方程中分母不为．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
，
．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，即，然后代入计算即可求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等．
由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，可证明与全等，可得到，，再证和是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【解答】
解：连结，设与相交于点，如下图所示，

中，，，
，，
绕点逆时针旋转与重合，
，，
又旋转角为，
，
是等边三角形，
，
在与中，

≌，
，，
在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
又在中，，，
，
．  

16.【答案】解： 

【解析】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可．
 

17.【答案】解：在中，，，
，
，
．
在中，，，，
．
．
．
答：河宽的长约为． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
项活动的人数为，
项所占的百分比是：；
补全统计图如下：

故答案为：；
男生用表示，两名女生分别用和表示．画树状图如下：

共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到两名女生的结果有种，所以抽到两名女生的概率是．
根据活动的人数及其百分比可得总人数，用总人数减去、、的人数求出活动的人数，用项的人数除以总人数即可求出项所占的百分比，从而补全统计图；
男生用表示，两名女生分别用和表示．画树状图得出所有等可能结果，再从中找到恰好抽到两名女生的结果数，继而根据概率公式计算可得．
本题考查了用树状图或者列表法求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
 

19.【答案】证明：，
又，
，即，
知抛物线与轴必有两个交点；
解：令，则，
，
或，
，，
点在点的左侧，，
，，
，
又，
，
． 

【解析】判断即可得证；
先求出、的坐标，然后根据得出关于的方程，最后解方程即可．
本题考查了二次函数与轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系，因式分解解一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：矩形对角线相交于点，
是的中点，
点，
，
反比例函数的图象经过点，
；
设点坐标为，则，即，
点为矩形对角线的交点，
，，，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
又点、点在反比例函数的图象上，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
，
，
，
．
反比例函数为． 

【解析】根据矩形的性质求得的坐标，代入即可求得的值；
设点坐标为，即可得出，由点为矩形对角线的交点，根据矩形的性质易得，，，利用坐标的表示方法得到点的横坐标为，点的纵坐标为，而点、点在反比例函数的图象上即它们的横纵坐标之积为，可得点的纵坐标为，点的横坐标为，利用，得到，求出，即可得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，能够准确表示有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
当时，每天的销售量为件，
当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为件；
根据题意得，，
这种儿童玩具每天获得的利润元与销售单价元之间的函数表达式为
；
，
，对称轴，
，
当时，，
答：当销售单价为元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据儿童玩具进价为每件元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的，求出的取值范围；根据总利润每件利润销售量列出函数解析式；
根据中解析式，由函数的性质和的取值范围求出最大值．
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

22.【答案】证明：连接，

是半圆的直径，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
为半圆的切线，
，
，
，
是半径，
是半圆的切线；
解：，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的半径为；
由题意知，扫过的图形是以为半径，圆心角为的扇形，
扫过的图形的面积为． 

【解析】连接，由平行线的性质得，再根据垂径定理得是的垂直平分线，得，再利用切线的性质和判定即可解决问题；
利用∽，得，代入计算可得的长，从而得出半径；
由题意知，扫过的图形是以为半径，圆心角为的扇形，代入扇形面积公式即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，利用∽求出直径的长是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，
，
，
；
如图，
设直线交轴于，
，
，
，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
解得或，
；
设，
轴，
，
四边形面积的面积四边形的面积


，
故四边形面积的最大值为． 

【解析】将，，两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，，进而求得结果；
可推出为等腰直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；
设，得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．