2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一上学期10月期中考试数学试题含解析

2022-2023学年新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一上学期10月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式求出集合，进而求出.

【详解】，解得：，故，，解得：，故，所以

故选：C

2．下列命题中正确的是（    ）

A．命题“，使得”的否定是“都有”

B．命题“，”的否定是“，”

C．是，的必要条件

D．的充要条件是

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D；

【详解】解：对于A：命题“，使得”的否定是“都有”，故A错误；

对于B：命题“，”的否定是“，”，故B错误；

对于C：由，，则，故是，的必要条件，

由推不出，，如，，显然满足，故不是，的充分条件，故C正确；

对于D：由推不出，如，显然满足，但是没意义，故D错误；

故选：C

3．已知全集，且则等于

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由题意可知，，=

【解析】集合运算及解不等式，函数定义域

4．若且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】取可否定AB；当时可否定C；利用不等式基本性质可以证明D.

【详解】逐一考查所给的选项：

当时，，选项A错误；

当时，，选项B错误，

当时，，且，选项C错误；

由不等式的性质可知，，选项D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有．给出以下三个命题：

①直线是函数图像的一条对称轴；

②函数在区间上为增函数；

③函数在区间上有五个零点．

问：以上命题中正确的个数有（   ）．

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得，结合函数的奇偶性可得，

进而可得，所以的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．

【详解】解：根据题意，对于任意，都有成立，

令，则，

又是上的偶函数，所以，则有，所以的周期为6；

据此分析三个命题：

对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为轴，又由函数的周期为6，

则直线是函数图象的一条对称轴，①正确；

对于②，当，，，且时，都有，

则函数在，上为增函数，

因为是上的偶函数，所以函数在，上为减函数，

而的周期为6，所以函数在，上为减函数，②错误；

对于③，（3），的周期为6，

所以，

函数在，上有四个零点；③错误；

三个命题中只有①是正确的；

故选：B．

【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出的值，分析函数的周期与对称性．

6．已知集合．若，则集合可以是．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为且，所以在选项中只有C满足题意.

【解析】子集的概念.

7．函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】若满足特性，即在两点处切线斜率乘积为，利用导数的几何意义即可判断选项.

【详解】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，

对A，，则，故A不正确；

对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；

对C，，则，故C不正确；

对D，，则，故D不正确，

故选：B

8．函数f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的取值所成的集合为(　　)

A．[0,6] B．[-1,1] C．[1,5] D．[1,7]

【答案】D

【分析】首先将二次函数的解析式写成顶点式，然后结合二次函数的性质分类讨论求解m+n的取值所成的集合即可.

【详解】∵f(x)=-(x-2)2+4,x∈[m,n],由于函数的最大值为，

∴m≤2,且n≥2.

①若f(m)=-5,即-m2+4m=-5.

∴m=-1或m=5(舍去),

此时2≤n≤5.

∴1≤m+n≤4.

②若f(n)=-5,即-n2+4n=-5,

∴n=5.

此时-1≤m≤2,

∴4≤m+n≤7.

综上得1≤m+n≤7,

本题选择D选项.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、多选题

9．函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项正确的有（    ）

A．关于中心对称

B．关于中心对称

C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是为偶函数

D．，则为偶函数

【答案】BC

【解析】根据函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，即可判断A错误，B正确.对选项C，根据充要条件的定义即可判断C正确，对选项D，根据即可判断D错误.

【详解】因为函数为奇函数，所以，

即

对选项A，，，，

，故A错误.

对选项B，，，，

，

故B正确.

对选项C，若函数的图像关于对称，

则.

令，则，

即，所以函数为偶函数，满足充分性.

若函数为偶函数，则，

令，则，

即，函数的图像关于对称，满足必要性.

故C正确.

对选项D，，，

，

所以，故D错误.

故选：BC

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减

C．是周期函数 D．≥-1恒成立

【答案】AD

【分析】判定的奇偶性判断选项A；判定的单调性判断选项B；判定的周期性判断选项C；求得的最小值判断选项D.

【详解】的定义域为R

，

则为偶函数.故选项A判断正确；

时，

恒成立，则为上增函数.

故选项B判断错误；选项C判断错误；

又为偶函数，则为上减函数

又，则的最小值为.故选项D判断正确；

故选：AD

11．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．

C．若，则或 D．若方程有两个不同的实数根，则

【答案】BCD

【分析】根据给定的分段函数逐项分析计算即可判断作答.

【详解】对于A：当时，，解得，当时，，解得，则或，A不正确；

对于B：，

，B正确；

对于C：当时，，即，解得，当时，，解得，则或，C正确；

对于D：函数在上单调递增，值域为R，则时，，

函数在上单调递减，值域为，则时，，

因此，方程有两个不同的实数根，则，D正确.

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．当时，函数的定义域为

B．当时，函数的值域为

C．当时，函数在上单调递减

D．当时，关于x的方程有两个解

【答案】BCD

【分析】A.由根式函数的定义域求法求解；B.由函数值域的求法求解；C.由 ，分和判断；D. 设，将问题转化为，即有两个解求解判断.

【详解】A. 当时，，由，解得或，所以函数的定义域为，故错误；

B.当时，，定义域为R，当时，，当时，，所以函数的值域为，故正确；

C.当时，，当时，，在上递减，当时，，在上递减，又，所以函数在上单调递减，故正确；

D. 易知，，即为，设，则，即，若方程有两个解则，故正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知，，且，则的最大值为______．

【答案】

【分析】利用基本不等式即可得到答案.

【详解】因为，所以，解得，当且仅当，时，等号成立．

故答案为：.

14．已知集合，，且，则实数组成的集合为__________．

【答案】

【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.

【详解】

当时，，满足

当时，

    或，解得：或

实数组成的集合为

故答案为

【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值的问题，易错点是忽略集合为空集的情况，造成求解错误.

15．已知函数.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设的值域为A,设的值域为B,求出集合B，由题意分析出，由得到只需，列不等式组求出的范围.

【详解】设的值域为A,

设的值域为B,

因为所以在单调递减，所以.

因为对任意，总存在，使得，

所以.

因为，时，，所以在恒成立，

所以只需，只需，解得：，

故实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）相等关系

记的值域为A, 的值域为B,

①若，，有成立，则有；

②若，，有成立，则有；

③若，，有成立，故；

（2）不等关系

(1)若，，总有成立，故；

(2)若，，有成立，故；

(3)若，，有成立，故；

(4) 若，，有成立，故．

16．函数在上为增函数，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】根据二次函数的对称轴和单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】，

函数图象开口向上，对称轴为，

又函数在上为增函数，

，解得，

故的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．记函数的定义域为集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）化简可得，，直接求交集即可；

（2）根据集合关系，直接求参数的范围，即可得解.

【详解】（1）函数的定义域满足：，故，即．

，故

（2）当时，，．

，故，即．

【点睛】本题考查了集合的运算以及利用集合关系求参数范围，考查了计算能力，属于基础题.

18．（1）求函数的定义域；

（2）求函数的值域；

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据定义域得到计算得到答案.

（2）分离常数得到，根据，利用反比例函数知识得到值域.

【详解】（1）要使函数有意义，则，解得且.

∴函数的定义域为

（2），，∴，则，

∴，即函数的值域为.

【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，是函数的常考知识，需要熟练掌握.

19．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍，某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如下图所示.

(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？

(2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间？

(3)在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150,200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150,200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用.

【答案】(1)

(2)间

(3)元

【分析】（1）根据题目所给电费的收取方案求得与的函数关系式.

（2）先求得的值，然后求得月用电量在度的宿舍的数量.

(3)【详解】（1）当时，，

当时，，

综上：.

（2），

，即图中月用电量在（200,250]度的宿舍有22间.

（3）各组区间中点值分别为：75、125、175、225、275、325，即各宿舍用电量有6种情形，

各组区间中点值发生的频率分别为：0.12、0.18、0.3、0.22、0.12、0.06，

频数分别为12、18、30、22、 12、 6.

故100间宿舍月均用电费用为：

（元），

∴估计我校学生宿舍的月均用电费用为104元.

20．已知函数，其中是自然数的底数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；

（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）根据，，不等式可化为，由此可求不等式的解集；

（2）求导函数，再分类讨论：①当时；②当时，令，由 ，则有极大值又有极小值．再分和，从而可确定的取值范围；

（3）当时，原方程等价于，令，求出函数的导数，即可得到函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可得的值．

【详解】解：（1）因为，所以不等式，即为，

又因为，所以不等式可化为，

所以不等式的解集为．

（2），

①当时，，在，上恒成立，

当且仅当时取等号，故符合要求；

②当时，令，

因为，所以有两个不相等的实数根，，不妨设，

因此有极大值又有极小值．

若，因为，所以在内有极值点，故在，上不单调．

若，可知，因为的图象开口向下，要使在，上单调，

因为，必须满足，即，所以．

综上可知，的取值范围是．

（3）当时，方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，

令，

因为对于，，恒成立，

所以在和内是单调增函数，

又，，，，

所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间，和，上，

所以整数的所有值为．

21．设偶函数的一个零点为，直线（）与函数的图象相切．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据是偶函数，得；根据得；从而得到函数；

（Ⅱ）由直线（）与函数的图象相切得方程只有一个解，即△，化简得，由均值不等式可得，当且仅当时取等号，即的最大值为.

试题解析：

解：（Ⅰ）因为是偶函数，所以

又，

所以，即

所以

（Ⅱ）因为直线（）与函数的图象相切

所以方程只有一个解

所以△

所以

则

因为，所以当且仅当时取等号．

此时，即的最大值为

【解析】二次函数的解析式；直线与二次函数图像的交点；均值不等式.

22．已知函数．

（）判断并证明函数的奇偶性．

（）判断并用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集．

【答案】（1）奇函数；（2）.

【详解】试题分析：（1）的定义域为，关于原点对称，进而验证可得函数为奇函数；

（2）任取，，且，判断的正负可得单调性，从而根据函数单调性解不等式即可.

试题解析：

（）是奇函数，

证明如下：的定义域为，关于原点对称，

，

∴，

所以为奇函数．

（）在上为增函数．

证明：任取，，且，

则，

∵，，且，

∴，，，

∴即，

∴在上为增函数，

∵在上为增函数且，

∴，

∴，

即的解集为．

点睛：本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.