题型02 三角函数与解三角形题型（面积与周长问题、几何分析与实际应用）-高考数学必考重点题型技法突破

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三角函数与解三角形

目录
一、知“积”积求“和”与知“和”求“积”问题 1
二、“中线”和“角平分线”问题（子母三角形问题） 7
三、面积的最大值问题 12
四、周长或边长的最值（取值范围）问题 16
五、三角函数与解三角形的综合 20
六、几何图形问题与实际应用 25

一、知“积”积求“和”与知“和”求“积”问题
1、的内角A，B，C的对边分别为，已知.
(I)求B；
(II)若的周长为的面积.
【解析】，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得，
，
，
，
.
2、在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【答案】见解析
【解析】
若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.
3、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【解析】

∵
∴


∵，∴
∴，
解法2：∵，
所以

∵，∴，∴
∴，∵，∴，∴
(2)由(1)知，所以的面积为，∴
因为，由正弦定理可得，
由余弦定理
∴，∴
所以的周长为
4、在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为．
【解析】
由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又(若，则这与矛盾)，
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c。
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。
【解析】　(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC，
故2sinCcosC＝sinC。又因为C为△ABC的内角，
可得cosC＝，所以C＝。
(2)由已知，absinC＝。
又C＝，所以ab＝6。
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25。
所以△ABC的周长为5＋。
二、“中线”和“角平分线”问题（子母三角形问题）
①学会利用互补角的余弦值互为相反数构造等式，进行消元解决
②对于中线有时候还需要用等积法或面积比值进行解题
1、如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，求cosC

【解析】　由条件得cos∠ABC＝，
sin∠ABC＝。在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则9b2＝a2＋4－a①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6②。联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3。在△ABC中，cosC＝＝＝。
2、在非直角中，，，分别是，，的对边.已知，，求：
(1)的值；
(2)边上的中线的长.
【解析】(1)

.
(2)由余弦定理，即：，∴.
法一：设的长为.则在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
∴，
得，即：.
法二：，
∴，
即：.
3、在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
解:若选择条件①，则答案为:
(1)在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解法1:设，易知

在中由余弦定理得:，解得.
所以
在中，

所以，所以，
所以
解法2:因为，所以，
因为所以，
所以
因为为锐角，所以
又
所以
所以

若选择条件②，则答案为:
(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
则，所以.
(2)同选择①
4、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即28＝4＋c2－4c·cos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
所以c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
5、已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)因为，所以，得，
，，
为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然，得.
当①③正确时，
由，得(无解)；
当②③正确时，由于，，得；
(2)如图，因为，，则，
则，.









三、面积的最大值问题
技巧：学会用余弦定理构造基本不等式
1、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2－cos2(B＋C)＝。
（1）求角A
（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值
【解析】　（1）因为B＋C＝π－A，所以cos2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos2A＝2cos2A－1，又cos2＝，所以4cos2－cos2(B＋C)＝可化为4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝。
又A为三角形的内角，所以A＝，
（2）由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC的面积的最大值为。
2、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC。
（1）求角A
（2）求△ABC的面积的最大值
【解析】（1）　由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c。
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理，得cosA＝＝。
又A为三角形的内角，所以A＝，
（2）由b2＋c2－a2＝bc，得b2＋c2＝4＋bc。
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4。
∴S△ABC＝bc·sinA≤，即(S△ABC)max＝。
3、现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：(选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分)在中，分别为内角所对的边( ).
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)选①，
由正弦定理可得：，
即，∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴，
选②，
由正弦定理可得：，
∴，
∵，∴，∴，
又，∴；
(2)由余弦定理得：，
又，当且仅当“”时取“=”，
∴，即，∴，
∴，
∴的面积的最大值为.
4、在中，角的对边分别为.已知，.
(1)若，求；
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)；(2)4
【解析】
(1)∵，∴，
由正弦定理得.
(2)由(1)知，，
所以，，，
当且仅当时，的面积有最大值4.
5、现给你三个条件：①tan A＋tan C＝.②b＝sin B．③c＝.请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为，求a.
【解】　若选①，由tan A＋tan C＝得＝.
而sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B>0，
所以cos C＝，又C∈(0，π)．所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
＝a2＋b2－ab≥ab.
所以S△ABC＝absin C≤c2·＝c2.
当且仅当a＝b时，取等号．
由题意得c2＝.所以c＝.此时，a＝b＝c＝.
若选②，b＝sin B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
2sin2 B＝a2＋c2－2accos B≥2ac(1－cos B)，
所以ac≤＝1＋cos B．所以S△ABC＝acsin B≤·(1＋cos B)sin B．当且仅当a＝c时取等号．
由题意得sin B＝.
(1＋cos B)sin B－＝0
令f(B)＝sin B＋sin Bcos B－，B∈(0，π)．
f′(B)＝cos B＋cos2 B－sin2B＝2cos2 B＋cos B－1
＝(cos B＋1)(2cos B－1)，
f′(B)＝0时，B＝.
f′(B)