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沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质一等奖课件ppt
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这是一份沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质一等奖课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了学习目标及重难点，课程导入，量一量猜一猜，课程讲授，变式一，∠C∠C′，课堂练习，习题1，习题2等内容，欢迎下载使用。
1.理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比及相似三角形的面积的比、周长比与相似比之间的关系；(重点)2.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.(难点)
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等.
探索1：相似三角形对应高的比等于相似比
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 是对应高.
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴ ∠B = ∠B′.
∵ ∠BDA = ∠B′D′A′ = 90°,
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.
相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是ΔASR的高吗？为什么？
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高 ∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR // BC ∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR // BC ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似.
（3）求正方形PQRS的边长.
解：∵ △ASR ∽ △ABC AE、AD分别是△ASR 和△ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24cm.
如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
如图，AD是△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
分析：情况一：SR=2SP.
分析：情况二：SP=2SR.
如图，AD是△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm
如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长BC=80cm，高AD=60cm，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB,AC上，求这个矩形的边长.
解: 如图，矩形PQRS为加工后的零件，边SR在边BC上，顶点P,Q分别在边AB,AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS=xcm，则PQ为2xcm.
∵PQ∥BC，∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.
解方程，得x=24,2x=48.答：这个矩形的零件的边长分别是48cm和24cm.
相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？
（1）如图, △ABC, AE为BC边上的中线, 则把三角形扩大 2 倍后得 △A′B′C′ , A′E′ 为 BC 边上的中线. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比是多少？AE与A′E′ 的比是多少？
探索2：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
（2）如右图两个相似三角形的比为 k, 则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？
相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
探索3：相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
∴ ∠BAC = ∠B′A′C′,
∴ ∠DAC = ∠D′A′C′ ,
∴ △DAC∽△D′A′C′.
又∵AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有 解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
相似三角形的性质定理1
1. 判断题（1）相似三角形的中线比等于相似比 . ( )（2）两个相似三角形的边长之比等于高之比. ( )
2. 填空.（1）相似三角形对应边的比为 2∶3, 那么相似比为_______, 对应角的角平分线的比为______.
（2）两个相似三角形的相似比为 1∶4, 则对应高的比为______, 对应角的角平分线的比为______.
如图 , 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G .（1）求证: △CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时, 过F作EF∥CD交AD于点E, 若AB=6cm, EF=4cm, 求CD的长.
（1）证明: ∵在梯形ABCD中, AB∥CD, ∴∠CDF=∠FGB, ∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.
（2） 由（1）知△CDF∽△BGF, 又F是BC的中点, ∴ BF = FC, ∴ △CDF≌△BGF, ∴ DF = FG, CD = BG.又∵ EF∥CD, AB∥CD, ∴ EF∥AG, 得 2EF = AB+BG. ∴ BG = 2EF-AB = 2×4-6 = 2, ∴ CD = BG = 2cm．
1.理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比及相似三角形的面积的比、周长比与相似比之间的关系；(重点)2.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.(难点)
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽ △A1B1C1
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等.
探索1：相似三角形对应高的比等于相似比
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 是对应高.
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴ ∠B = ∠B′.
∵ ∠BDA = ∠B′D′A′ = 90°,
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.
相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是ΔASR的高吗？为什么？
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高 ∴ ∠ADC=90° ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR // BC ∴∠AER=∠ADC=90° ∴ AE是ΔASR的高.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR // BC ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似.
（3）求正方形PQRS的边长.
解：∵ △ASR ∽ △ABC AE、AD分别是△ASR 和△ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24cm.
如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
如图，AD是△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.
分析：情况一：SR=2SP.
分析：情况二：SP=2SR.
如图，AD是△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm
如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长BC=80cm，高AD=60cm，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB,AC上，求这个矩形的边长.
解: 如图，矩形PQRS为加工后的零件，边SR在边BC上，顶点P,Q分别在边AB,AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS=xcm，则PQ为2xcm.
∵PQ∥BC，∴∠APQ=∠ABC,∠AQP=∠ACB,∴△APQ∽△ABC.
解方程，得x=24,2x=48.答：这个矩形的零件的边长分别是48cm和24cm.
相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？
（1）如图, △ABC, AE为BC边上的中线, 则把三角形扩大 2 倍后得 △A′B′C′ , A′E′ 为 BC 边上的中线. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比是多少？AE与A′E′ 的比是多少？
探索2：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
（2）如右图两个相似三角形的比为 k, 则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？
相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
探索3：相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
∴ ∠BAC = ∠B′A′C′,
∴ ∠DAC = ∠D′A′C′ ,
∴ △DAC∽△D′A′C′.
又∵AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有 解得x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
相似三角形的性质定理1
1. 判断题（1）相似三角形的中线比等于相似比 . ( )（2）两个相似三角形的边长之比等于高之比. ( )
2. 填空.（1）相似三角形对应边的比为 2∶3, 那么相似比为_______, 对应角的角平分线的比为______.
（2）两个相似三角形的相似比为 1∶4, 则对应高的比为______, 对应角的角平分线的比为______.
如图 , 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G .（1）求证: △CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时, 过F作EF∥CD交AD于点E, 若AB=6cm, EF=4cm, 求CD的长.
（1）证明: ∵在梯形ABCD中, AB∥CD, ∴∠CDF=∠FGB, ∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.
（2） 由（1）知△CDF∽△BGF, 又F是BC的中点, ∴ BF = FC, ∴ △CDF≌△BGF, ∴ DF = FG, CD = BG.又∵ EF∥CD, AB∥CD, ∴ EF∥AG, 得 2EF = AB+BG. ∴ BG = 2EF-AB = 2×4-6 = 2, ∴ CD = BG = 2cm．
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