专题3 复数-高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版必修第二册）

复数

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★★★★★★知识回顾★★★★★★

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

[常用结论]

(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；

i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.

★★★★★★掌握题型★★★★★★

考点一 复数有关的概念

1．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

【答案】D

【解析】易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.故选D.

2．已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)

A．－3－i  B．－3＋i

C．3＋i  D．3－i

【答案】C

【解析】由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.

3．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＝________.

【答案】

【解析】|z|＝＝＝＝.

【方法技巧】解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

考点二 复数的运算

1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i

C．1－i  D．1＋i

【答案】D

【解析】由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.

2．(2022·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5  B．5i

C．－－i  D．－＋i

【答案】A

【解析】＝＝5，故选A.

3．(2022·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．i  B．－1＋i

C．－1－i  D．－i

【答案】C

【解析】由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.

4．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0  B．

C．1  D.

【答案】C

【解析】∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.

【方法技巧】

复数代数形式运算问题的解题策略

考点三  复数的集合意义

1．设z＝－3＋2i，则在复平面内　对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限 

C．第三象限  D．第四象限

【答案】C

【解析】＝－3－2i，故 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.

2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1

【答案】C

【解析】由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，

∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C.

3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

【答案】D

【解析】∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得∴x＋yi在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.

4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)  D．(－1，＋∞)

【答案】B

【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a<－1.

5．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)

A．1＋i  B．＋i

C．1＋i  D．1＋i

【答案】B

【解析】因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.

6．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

【答案】1

【解析】由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，

根据＝λ＋μ，得

(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴解得∴λ＋μ＝1.

【方法技巧】

1．准确理解复数的几何意义

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤

(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．

★★★★★★题组训练★★★★★★

一、单选题

1．复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（       ）

A．=(1，2) B．=(-3，0)

C． D．=(-1，-2)

【答案】C

【解析】向量对应的复数为i，是纯虚数.故选：C

2．复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（       ）

A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i

【答案】A

【解析】∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）

∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）对应的向量＝﹣3﹣4i故选：A．

3．复数（其中为虚数单位）的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为复数，

所以复数的虚部为，故选：A.

4．已知复数，若是纯虚数，则实数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】是纯虚数，

则，解得.故选：D.

5．设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件故选：C

6．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】由题意，若为纯虚数，则故选：B

7．若复数满足，则必为（       ）

A．实数 B．纯虚数 C．0 D．任意复数

【答案】B

【解析】设复数，

由得，

则，即，

所以，则，即，

因此，

所以，解得，所以；

若，则不满足题意，所以，

因此为纯虚数.故选：B.

8．若复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得，

所以.故选：C

二、多选题

9．已知复数（其中为虚数单位，，则以下结论正确的是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】，，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；，故C正确；

，故D正确.故选：BCD.

10．下列结论正确的是（       ）

A．若复数满足，则为纯虚数

B．若复数满足，则

C．若复数满足，则

D．若复数，满足，则

【答案】BC

【解析】对于A选项，设复数，满足，不为纯虚数，故A选项错误；

对于B选项，设复数，则，所以，即，故B选项正确；

对于C选项，设复数，则，所以且，所以，即，故C选项正确；

对于D选项，设复数，，所以，但不成立，故D选项错误.故选：BC

11．设，是复数，则下列说法中正确的是（       ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【解析】设，

，，A正确.

，

，B正确.

，C错误.

，，，，D正确.故选：ABD

12．已知是复数，下列结论中不正确的是（       ）

A．若，则 B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】对于选项A：取，，，，

满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；

对于选项B：取，，，

而无意义，故选项B不正确；

对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；

对于选项D：设，，则

，

，，所以，所以，故选项D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．

【答案】

【解析】复数是纯虚数，

，且，解得：.故答案为：.

14．已知是虚数单位，则________.

【答案】

【解析】，

故答案为：

15．设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________

【答案】

【解析】因为，

将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，则，

因为，所以，，所以，，

所以，，当时，取得最小值.故答案为：.

16． ______.

【答案】

【解析】

.故答案为：

四、解答题

17．把下列复数的三角形式化成代数形式.

（1）；

（2）.

【解析】（1）.

（2）.

18．在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，．

（1）求，及，；

（2）设，求．

【解析】（1）因为

所以所对应的复数

所以，

因为

所以所对应的复数

所以，

（2）由题

因为，

所以，

，

所以

19．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)零.

【解析】z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)化为

（1）由，得，或，

当，或时，是实数；

（2）由，得且，

当且时，为虚数；

（3）由，且，解得，

当时，为纯虚数；

（4）由，解得，

当时，为零．

20．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

（1）求复数；

（2）若为纯虚数，求实数的值.

【解析】（1）设，，.

由题意：.①

，

得，

，②

①②联立，解得，

得.

（2）由（1）可得

所以

由题意可知解得且且所以

21．已知复数，其中是实数，

（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围；

（2）若是纯虚数，是正实数，

①求，

②求；

【解析】（1）由题可得：，

因为复数在第一象限，

所以，解得．

（2）依题意得：

因为是纯虚数，则：，解得或；解得且；

综上可得或；

又因为是正实数，则．

当时，，

因为，，，，，，，，，

所

．

22．如图，扇形OPQ的半径为1，圆心角为，平行四边形ABCD的顶点C在扇形弧上，D在半径OQ上，A，B在半径OP上，记平行四边形ABCD的面积为S，．

(1)用表示平行四边形ABCD的面积S；

(2)当取何值时，平行四边形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积．

【解析】 (1)

过点作交于点，

在中，，所以

在中，，所以

由正弦定理可得，所以

所以

(2)因为，所以

所以当即时，取得最大值