专题5 统计-高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版选择性必修第二册）

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统计
★★★★★★期末导航★★★★★★

★★★★★★知识回顾★★★★★★
一、 随机抽样
1．简单随机抽样
(1)特征：①逐个不放回的抽取；②每个个体被抽到的概率都相等．
(2)常用方法：①抽签法；②随机数法．
2．分层随机抽样
(1)定义：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 在比例分配的分层随机抽样中，＝＝.
(3)在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
二、用样本估计总体
1．频率分布直方图

可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律．
2．百分位数与总体百分位数的估计
(1)第p百分位数：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)可以用样本数据的百分位数估计总体的百分位数．
3．众数、中位数和平均数与总体集中趋势的估计



4．总体集中趋势的估计


★★★★★★掌握题型★★★★★★
考点一 简单随机抽样及其应用
(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A.08 B.07 C.02 D.01
【方法技巧】1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
【跟踪训练】 (1)从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率(　　)
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等，且为 D.都相等，且为
(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行).
87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
考点二 分层抽样及其应用
【例2】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
【例3】(1)(2022·安庆一中、太原五中联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(　　)
A.12 B.18 C.24 D.36
(2)(2022·唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
【方法技巧】
1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【跟踪训练】
(1)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.
(2)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)(元)内应抽取________人.

考点三 总体百分位数的估计
【例3】根据表1或图1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．
分组
频数累积
频数
频率
[1.2,4.2)
正正正正
23
0.23
[4.2,7.2)
正正正正正正
32
0.32
[7.2,10.2)
正正
13
0.13
[10.2,13.2)
正
9
0.09
[13.2,16.2)
正
9
0.09
[16.2,19.2)
正
5
0.05
[19.2,22.2)

3
0.03
[22.2,25.2)

4
0.04
[25.2,28.2]

2
0.02
合计

100
1.00
表1

【方法技巧】求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．
【跟踪训练】某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．
考点四 平均数、众数、中位数的求法
【例4】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为
甲：18 19 20 20 21 22 23 31 31 35
乙：11 17 19 21 22 24 24 30 30 32
则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．
易错辨析：众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，易混。
【方法技巧】1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．
2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．
3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．
【跟踪训练】
1．十名工人某天生产同一零件，生产的件数是：15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c　　　　　B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考点五 平面向量的坐标运算
【例5】为了增强市民的环保意识，某校八年级（1）班50名学生在今年6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃废旧塑料袋的情况，有关数据如下表：

根据以上信息回答：
（1）50户居民每天丢弃废旧塑料袋的平均数是　3.7　个；
（2）该校所在的居民区有1万户，则该居民区每天丢弃的废旧塑料袋约　3.7　万个．
【方法技巧】在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．
【变式1】条件不变，求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的众数和中位数；
【变式2】条件不变，该校所在的居民区有1万户，则该居民区每天丢弃的废旧塑料袋约　　万个．
【变式3】条件不变，求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
考点六 柱形图、折线图、扇形图的应用
【例7】现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图．

解答下列问题：
(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________．
(2)若2019年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？
(3)根据扇形图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？
【方法技巧】 1．扇形图的特点
(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．
(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．
2．条形图的特点
(1)能清楚地表示出每个项目中的具体数目．
(2)易于比较数据之间的差别．
3．折线图的特点
(1)能清楚地反映事物的变化情况．
(2)显示数据变化趋势．
【跟踪训练】1．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”．乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是(　　)

A．甲和乙　　　　B．乙和丙
C．甲和丙 D．甲、乙和丙
考点七 样本的数字特征
【例7】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
(2)(2019·济南模拟)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A. ＝4，s2<2 B. ＝4，s2>2
C. >4，s2<2 D. >4，s2>2
【方法技巧】1.平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
【跟踪训练】 (1)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.
(2)(2018·北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：

假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.
①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；
②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；
③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；
④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大.
其中符合茎叶图所给数据的结论是(　　)
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
★★★★★★题组训练★★★★★★
一、单选题
1．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个数为（       ）
①甲队的技术比乙队好；       ②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．
A．0 B．3 C．2 D．1
2．已知某个数据的平均数为，方差为，现加入和两个新数据，此时个数据的方差为（       ）
A． B． C． D．
3．甲､乙､丙､丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表：
题目
学生
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
甲
10
10
10
20
0
乙
10
10
5
15
10
丙
10
10
15
15
10
丁
0
10
10
20
20
下列说法正确的是（       ）
A．甲的平均得分比丙的平均得分高
B．乙的得分极差比丁的得分极差大
C．对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好
D．对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小
4．奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（       ）
A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数
5．某老师为了解某班50名同学在家学习的情况，决定将本班学生依次编号为01，02，，50.利用下面的随机数表选取10名学生调查，选取方法是从下面随机数表的第1行第2列开始由左到右依次读取两个数字，则选出来的第4名学生的编号为（       ）
7   2   5   6   0   8   1   3   0   2   5   8   3   2   4   9   8   7   0   2   4   8   1   2   9   7   2   8   0   1
9   8   3   1   0   4   9   2   3   1   4   9   3   5   8   2   0   9   3   6   2   4   4   8   6   9   6   9   3   8
7   4   8   1
A．25 B．24 C．29 D．19
6．从一批零件中抽取个，测量其直径（单位：），将所得数据分为组：、、、、，并整理得到频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径不小于的个数为（       ）

A． B． C． D．
7．甲､乙､丙､丁四位同学在高中学业水平模拟测试中的成绩分布分别为下面的频率分布直方图，估计他们的中位数和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，正确的是（ ）

A．乙的中位数最高，甲的平均分最高
B．甲的中位数最高，丙的平均分最高
C．丁的中位数最高，乙的平均分最高
D．丁的中位数最高，丁的平均分最高
8．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（       ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
9．（多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（       ）
A．调查某市中小学生每天的运动时间
B．某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查
C．农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D．调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
10．根据2021年年初国家统计局发布的数据显示，我国2020年完成邮政行业业务总量21053亿元，比上年增长29.7%．快递业务量833.6亿件，快递业务收入8795亿元．下图为2016—2020年快递业务量及其增长速度，根据该统计图，下列说法正确的是（       ）

A．2016—2020年，我国快递业务量持续增长
B．2016—2020年，我国快递业务量增长速度持续下降
C．预计我国2021年快递业务量将持续增长
D．估计我国2015年的快递业务量少于210亿件
11．一组数据按从小到大排列为2，3，3，，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是（       ）
A． B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为
12．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（       ）
A．应该采用分层抽样法抽取
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
三、填空题
13．国家统计局、国家残联决定对国家残疾人生活、就业等情况进行调查，某同学设计的调查方案是在国家残联的网站上设立一个调查表，根据网站上的数据进行分析．你认为他的方案________(填“合理”或“不合理”)．
14．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数).
15．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.
16．已知x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数与方差的和为______.
四、解答题
17．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：   
成绩分组
频数
频率
平均分
[0，20)
3
0.015
16
[20，40)
a
b
32.1
[40，60)
25
0.125
55
[60，80)
c
0.5
74
[80，100]
62
0.31
88
（1）求a，b，c的值；
（2）如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率 (注：60分及60分以上为及格)；
（3）试估计这次数学测验的年级平均分．
18．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：
用户用水量频数直方图               用户用水量扇形统计图

（1）此次抽样调查的样本容量是________；
（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．
19．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组
频数
频率

10
0.25

24
n

m
p

2
0.05
合计
M
1

(1)求表中M、p及图中a的值；
(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
(3)估计这次学生参加社区服务次数的众数、中位数以及平均数．（结果精确到0.01）
20．某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.

分组
频数
频率




25








10




合计

1
(1)求出表中及图中的值；
(2)（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数.
21．某大学为该市即将举行的国际马拉松比赛招募志愿者，被招募的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图7-1所示．

(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数．
(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试．
①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；
②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和均值．









22．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.

（1）求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式.
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如上图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值.
（3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数.