解密01 函数及其性质（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密01  函数及其性质

内容索引

核心考点1 分段函数问题图像问题

核心考点2函数奇偶性与周期问题

核心考点3 函数图形交点问题

核心考点一  函数的定义域与值域

题组一 求函数的定义域

☆技巧点拨☆

求函数的定义域

求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．

对于抽象函数，

（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

（2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

例题1 1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A：因为，所以，解得或，即函数的定义域为故选：A

例题2已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（    ）

A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．

【答案】C

【分析】由题设，若，则，

∴对于有，故其定义域为.故选：C

例题3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B由，得，

所以，所以．故选：B．

例题4．已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（    ）

A． B．， C．， D．，

【答案】C因为，且的定义域为，，值域为，，

则的定义域为，，值域为，，由得，

所以的定义域为，，值域为，，则，，，，所以.故选：C.

核心考点二 求函数的值域

☆技巧点拨☆

求函数值域的常用方法

求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

①观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；

②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法.求值域时一定要注意定义域的影响；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；

④换元法：对于一些无理函数(如)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域；

⑤利用常见函数的值域；

⑥数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域；

⑦单调性法；

⑧基本不等式法；

⑨判别式法；

⑩导数法.

例题1．函数的最大值是___．

【答案】  由题意，函数，

令，则，所以，

根据二次函数的性质，可得当时，，

即函数的最大值为.

故答案为：.

例题2．若函数的值域为，则的值为__________.

【答案】 关于的方程在上有解，若，可得，则；

若，则，即，

由题意可知，关于的二次方程的两根为、，由韦达定理可得，解得.综上所述，.故答案为：.

例题3．函数的值域为________.

【答案】   令，则，故，

由于，∴，，∴，即函数的值域为，

故答案为：.

核心考点三  分段函数

☆技巧点拨☆

解决分段函数问题的注意事项

分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.

例题1．函数，则的值为________.

【答案】

【分析】由题知，，则故答案为：27

例题2．．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.

∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，

由图知：，且，

∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，

∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，

∴，即.

综上，的范围为.

故答案为：

例题3．．已知函数，若单调递增数列满足，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由题意可得，

解得.所以实数的取值范围为.故答案为：

例题4．．已知函数，则不等式的解集是__________．

【答案】

【分析】解：作出函数的图象如图，

由图可知，函数在上为增函数，

则由式，得式，即，解得．

∴不等式的解集是．故答案为：．

函数的图象应用

☆技巧点拨☆

函数图象的识别与判断技巧

1．方法1：特殊点法

用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．

2．方法2：性质检验法

已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．

3．方法3：导数法

判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．

4．方法4：图象变换法

有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．

例题1当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B由于，

所以为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数的图象过定点，且为上的单调递增函数.

为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数图象过定点，且为上的单调递增函数.  故选：B．

例题2．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合图象可排除A，B，D，故选：C

例题3．已知函数，则的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D  化简原函数

则函数为奇函数，排除选项A，当，排除选项B，当选项C错误.

故选：D.

例题4．已知函数，它们的零点的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B【分析】，，

，，

，，作出函数，，的图象及直线，由图象可得，，，所以．故选：B．

核心考点四  函数的奇偶性周期性

☆技巧点拨☆

将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：

1．判断函数单调性的一般规律

对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．

2．函数的奇偶性

(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

3．记住几个周期性结论

(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．

(2)若函数f(x)满足(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．

例题1已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B  因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.故选：B.

例题2 ．已知函数为奇函数，，若当时，，则______．

【答案】

【分析】为奇函数，，解得：；

，，

是周期为的周期函数，.故答案为：.

例题3．已知函数满足，且图像关于直线对称．当时，，则函数在上的零点之和为____________．

【答案】6原问题等价于求解函数与函数的交点横坐标之和.

因为，所以函数的周期为2，

时， ，图像关于直线对称，利用周期性，对称性，作出与 在的图象，由图象可知与关于中心对称，且与交点个数为6个，故零点之和为6.

例题4．已知是定义域为的奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是________.

【答案】

【分析】：由题得，

所以，

所以，所以函数的最小正周期为4.

所以，，

.所以.故答案为：

考点五  指数函数、对数函数、幂函数的应用

☆技巧点拨☆

1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小

（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．

（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．

2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解．

例题1三个数的大小顺序为

A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c

【答案】D

【分析】，由于，，所以，所以，即.而，所以，所以，即，所以.

故选：D

例题2．三个数，，的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意得，

故选：D.

例题3．已知奇函数在上是增函数，．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

， 所以.故选：C．