解密15 双曲线方程（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

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解密15 双曲线方程


高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
双曲线的定义及方程
双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
2021年全国乙卷 11
2021年新课标Ⅰ21
2021年全国甲卷 13
2020课标全国Ⅲ11

★★
双曲线的性质
2021年新课标Ⅰ21
2020课标全国Ⅰ15
2020课标全国Ⅱ8
2019课标全国Ⅰ16
2019课标全国Ⅱ11
2019课标全国Ⅲ10


★★★★★

双曲线常见的二级结论
1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.
4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
9. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.
10. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
11. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
12. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .
13. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).
14. (2) .(3) .
15. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

16. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.



考点一 双曲线的定义及方程

☆技巧点拨☆
双曲线的定义是基础知识，很少单独在高考中出现，但其基础性不容忽视，注意掌握以下内容：
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件．
2．双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有.
3．由,知≥1,所以x≤-a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.


题组一 双曲线定义的应用
例题1 若双曲线E：的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于
A．1 B．13
C．1或13 D．15
【答案】B
【解析】由题意得,,,而,解得或1.
而,所以.选B．
例题2．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的标准方程为：
故选：A
例题3．是双曲线右支上的一点，，是左，右焦点，，则的内切圆半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】：由双曲线定义可得，即，又，由余弦定理得，，
设的内切圆半径为r，则，
.
故选：D.
例题4．若双曲线：，，分别为左､右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为△的内心，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则
D．不存在点，使得取得最小值
【答案】C
【分析】由题意，双曲线，可知其渐近线方程为，A错误；
设，△的内切圆与、、分别切于、、，可得，
由双曲线的定义可得：，即，
又，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，即的横坐标为，故在定直线上运动，B错误；
由且，解得：，
∴，则，
∴，同理可得：，
设直线，直线，联立方程得，
设△的内切圆的半径为，则，解得，即，
∴，
由，可得，解得，故， C正确；
若与关于y轴对称，则且，而，
∴，故要使的最小，只需三点共线即可，易知：，故存在使得取最小值，D错误.
故选：C.

例题5．已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是___．
【答案】
【分析】因为双曲线的两个焦点分别为，，，，
所以双曲线的焦点在轴上，且，由于三角形为直角三角形，
故，所以，
由双曲线定义得，即，故，所以双曲线方程为．
故答案为：．


题组二 求双曲线的方程
☆技巧点拨☆
求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意：
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.

例题1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．x＝0 B．
C． D．或x＝0
【答案】D
【分析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0
②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有，
即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为
综上：轨迹方程为或x＝0，
故选：D
例题2．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：因为椭圆的焦点坐标为，
所以双曲线中，
设点P为两曲线在第一象限的交点，
由于在椭圆中，为等腰三角形，所以,
所以，
在双曲线中，，所以，代入，得，
所以该双曲线的渐近线方程为，
故选：B

例题3．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围是 B．双曲线C的焦点在x轴上
C．双曲线C的焦距为6 D．双曲线C的离心率e的取值范围是
【答案】ABC
【分析】因为表示双曲线，所以，解得-5 因为，故双曲线的焦点在x轴上，故B正确；
设双曲线的半焦距为c，则，所以，，故C正确；
双曲线的离心率，故D错误.
故选：ABC
例题4．已知曲线C的方程为（且），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当时，曲线C是离心率为的椭圆
C．曲线C可能是一个圆
D．当时，曲线C是渐近线方程为的双曲线
【答案】AD
【分析】对于A，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，且，即焦距为4，A正确；对于B，当时，曲线C的方程为，表示椭圆，离心率，B错误；对于C，令，得，，该方程无解，则曲线C不可能是一个圆，C错误；对于D，当时，曲线C的方程为，表示双曲线，渐近线方程为，即，D正确.故选：AD



考点二 双曲线的性质
题组一 求双曲线的渐近线
例题1 已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的离心率e=,
则
故渐近线方程为.
故选D．
例题2．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（ ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
【答案】D
【解析】令，解得，
所以，因为点A在双曲线上，
所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以m-n的最大值为4故选：D
例题3．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，
依题意可得，则，即双曲线的方程为.
因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D.

例题4．P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【解析】如图，圆C的圆心C为（2,0），半径r=2，

，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.故选：C.
例题5．已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
【答案】AC
【解析】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为，
焦点到渐近线的距离为，故正确；
对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则，
所以新离心率，
即离心率变小，故B错误；对于选项C，
，，
又点在双曲线上，，
，（定值），故C正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；故选：AC
例题6．已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，所以
，解得，所以四边形的面积为．
故答案为：．


题组二 求双曲线的离心率
☆技巧点拨☆
双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定要掌握.
1．求双曲线的离心率，可以由条件寻找满足的等式或不等式，结合得到，也可以根据条件列含的齐次方程求解，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解，同样注意根据双曲线离心率的取值范围是.
例题1．已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．（1，2）
C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
所以，因为是钝角三角形，
所以是钝角，即，
因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，所以，又，
所以，即，即，
解得或（舍去），所以双曲线的离心率的取值范围是，故选：D
例题2．已知双曲线C：（，）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设渐近线是，记，则，所以，
设，中应用余弦定理有，
所以，即，
由于，因此上述方程的两解就是，
又，不妨记，
又，，
，，
所以，，解得或，
又，所以．
故选：C．
例题3．过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．或4 D．或2
【答案】D
【解析】若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限，如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又，所以，所以，从而可得；

若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限如图，易知|FA|=b，|OF|=c，
|OA|=a，所以△OAB的内切圆半径为，
所以，又因为|OB|2=|AB|2+a2，所以，|OB|=2a，
所以∠BOA=60°，∠AOF=60°，则，从而可得.

综上，双曲线C的离心率为或2.
故选：D
例题4．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S，若S1－S2≥S恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是________.
【答案】1 【解析】设三角形PF1F2内切圆的半径为r，
则S△IPF1＝|PF1|r，S△IPF2＝|PF2|r，S△IF1F2＝|F1F2|r＝cr，
∴S△IPF1－S△IPF2＝|PF1|r－|PF2|r＝·2a·r＝ar，∴ar≥cr，即2a≥c，∴e＝≤2.
又e>1，∴1 例题5．已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.故答案为：
例题6．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，点是双曲线上一点，且直线，的斜率分别为，，若不等式恒成立，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】：由恒成立，
可得，
因为，所以，则设直线为，设，令，
由，得，则，
因为，
，
所以
，所以恒成立，
因为直线过原点，所以，关于原点对称，
设，，
因为点在双曲线上，所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，所以，即，所以离心率为，
故答案为：

考点三 双曲线的综合应用
方法一
点差法
使用情景
一般已知中涉及直线和圆锥曲线相交产生的弦的中点
解题步骤
一般先“设点代点”，再作差，最后化简.

方法二
设而不求法
使用情景
一般已知中涉及圆锥曲线上的两个动点.
解题步骤
一般先设点，再利用韦达定理.

方法三
韦达定理法
使用情景
一般已知中涉及圆锥曲线上的两个动点.
解题步骤
一般先设点，再写出韦达定理，再代韦达定理. 学.科.网

方法四
定义法
使用情景
一般已知中涉及圆锥曲线的定义中的焦半径、准线等.
解题步骤
一般要联想到圆锥曲线的定义，利用定义解答.



例题1．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】A
【分析】曲线,
当当 当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确
故选：A

例题2．双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】A
以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.

例题3．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，，则双曲线的离心率是__________．
【答案】【解析】
设双曲线的半焦距为，因为， ,设 ，则根据双曲线的定义，得

例题4．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；.
【分析】：（1）由椭圆：得到：，
双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.
则双曲线的方程．
（2）若存在定值，使得，∵与同向，∴，
∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，
有，即，则，
，
由于，可设：，由消去整理得：，∴，
由此，
∴，故存在定值，使得．
.
例题5．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为；
（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，
不妨直线的方程为，即，
联立，消去并整理可得，
设点、，则且.
由韦达定理可得，，
所以，，
设直线的斜率为，同理可得，
因为，即，整理可得，
即，显然，故.
因此，直线与直线的斜率之和为.