专题13 旋转中的全等模型-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题13 旋转中的全等模型（原卷版）

类型一 对角互补模型

（1）正方形中的半角模型

1．（2021春•平阴县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．

（1）求证：△AEQ≌△AEF；（2）求证：EF2＝DF2+BE2；

（3）当F是BD的中点时，判断四边形AFEQ的形状，并说明理由．

（2）等腰三角形中的半角模型

2．（2021秋•东坡区期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是 　   　．

3．（绍兴中考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．

类型二 对角互补且一组邻边相等的半角模型

4．（2022春•简阳市期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的有　     　（写出序号）．

5．（2022秋•西城区校级期中）（1）问题背景．

如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　      　．

（2）猜想论证．

如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．

（3）拓展应用．

如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为　　．

6．（2020秋•海淀区期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为       　．（不需要证明）；

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

类型三 手拉手模型——旋转全等

7．（2022•沈阳）【特例感知】

（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是      　；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

8．（2022春•南山区期末）如图1．△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，连接DE、BE，设点D运动了ts，

（1）点D的运动过程中，线段AD与BE的数量关系是 　   　，请以图1情形为例（当点D在线段OA上时，点D与点A不重合），说明理由，

（2）当6＜t＜10时，如图2，△BDE周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由．

（3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时t的值 　 　．

类型三  中点旋转模型

9．（2019春•双流区期末）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG＝CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

类型五 通过旋转构造三角形全等

10．（2021春•雨花区期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为　  　．

11．（2022春•顺德区校级月考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．

（1）则线段AP、BP、CP构成的三角形是 　 　三角形（填“钝角、直角、锐角”）；

（2）将△BPA绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的△BP1A1，并由此求出∠BP1A1的度数；

（3）求三角形ABC的面积．

12．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　   ．