2023年中考数学二轮复习选填专题复习专题十：图形的翻折

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2022-2023年中考二轮复习选填专题十：
图形的翻折
典例分析
例1：（2022台湾中考）如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？　　

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形是正三角形，可得，，即可求出，而，，，可得，故．
【解答】解：三角形是正三角形，
，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度．
例2：（2022扬州中考）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则_____________．

【答案】6
【解析】
【分析】根据第一次折叠的性质求得和，由第二次折叠得到，，进而得到，易得MN是的中位线，最后由三角形的中位线求解．
【详解】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．
例3：（2022苏州中考）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】在矩形ABCD中，设，运动时间为，得到，利用翻折及中点性质，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根据判定的得到，从而代值求解即可．
【详解】解：如图所示：

在矩形ABCD中，设，运动时间，
，
在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形，
，
若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，
，
在中，，则，
，
,
,
,
,
，
，
，则，
，即，
在和中，

，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．
专题过关
1. （2022济宁中考） 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
2. （2022宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．
3. （2022湖州中考） 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（ ）

A. BD＝10 B. HG＝2 C. D. GF⊥BC
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项
【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，


故A选项正确，
将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，
，
,

故B选项正确，
,

∴EG∥HF，
故C正确
设，则，
，


即

，同理可得
若
则
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正确．
故选D
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
4. （2022牡丹江中考）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断．
【详解】解：设，
∴，
在中，，
由折叠可知，，
∴ ，
又∵，
∴，
，
，，
，
∴比值为的是①③，
故选：B．
【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5. （2022金华中考） 如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为与相交于点G，的延长线过点C．若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
6. （2022达州中考）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
,，
，，
设，则，，
在中，
即，
解得，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
7. （2022营口中考）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠DEC=∠FCB，
∵，
∴∠BFC=∠CDE，
∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，
∴BC=EC，
在△BFC与△CDE中，

∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴DE=CF=2，
∴，
∴AD=BC=CE=，
∴AE=AD-DE=，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．
8. （2022毕节中考） 矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，

∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
【点睛】本题考查了折叠对称性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．
9. （2022连云港中考）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=，
∴AB=2=AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x==，即DF=FO=，
GE=a，
∴，
∴GE=DF；故③正确；
∴，
∴OC=2OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
10. （2022泰安中考） 如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于_____

【答案】
【解析】
【详解】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，


∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，
∴BC=，AD=BD=2.5，
∴BC·AH=AC·AB，即2.5AH=6，
∴AH=2.4，
由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，
∴S△ADB=AD·OB=BD·AH，
∴OB=AH=2.4，
∴BE=4.8，
∴CE=．
故答案为：．
【点睛】本题的解题要点有：（1）读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，利用面积法求出AH和OB的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角．
11. （2022青岛中考） 如图，已知的平分线交于点E，且．将沿折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：__________（填写序号）
①
②点E到的距离为3
③
④


【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设，则，中，，．继而求得，设，则，根据，进而求得的值，根据，，可得，即可判断④
【详解】解：∵
∴，故①正确；
如图，过点作于，于，


，
平分，
，
是的角平分线，
，
，
，故②不正确，
.将沿折叠使点C与点E恰好重合，
，
设，则，
中，，．
，
解得，
故③不正确，


设，则，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去）
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①④
【点睛】本题考查了解直角三角形，三线合一，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
12. （2022潍坊中考）小莹按照如图所示步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．

【答案】：1
【解析】
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴AD=AB，
∴=，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为：1．
故答案为：：1．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. （2022雅安中考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】利用矩形与轴对称的性质先证明 再利用勾股定理求解 再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，






解得：

故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．
14. （2022大连中考）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．连接，若，，则的长是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和DM，从而得到答案．
【详解】解：如下图所示，设交BM于点O，连接AO，

∵点是中点，
∴在和 中，,
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形平行四边形，
∴
∴,
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形以及熟练掌握直角三角形中的三角函数．
15. （2022台州中考）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；
【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，
∴AE=EB=AB=3，
在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，
tan60°=，
∴EF=3；
当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，
由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，
∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，
过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，
∴FM=DG，
在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，
∴DG=DCsin60°=3，
∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，
故答案为：3；6-3．

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16. （2022黔东南中考） 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．

【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．
【详解】解：连接如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
17. （2022北部湾中考）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_________．

【答案】或
【解析】
【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得≌，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1， 过点F作FM⊥AC 于点M，作FN⊥OD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得Rt≌Rt得到，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案．
【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，


∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在与中

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F为中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
过点F作FM⊥AC 于点M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，
作FN⊥OD于点N，
，
在Rt与Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．
18. （2022抚顺中考） 如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是_____________．


【答案】
【解析】
【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．
【详解】解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：


③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：


在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，
当三点共线时，最小为，
接下来，求的长：连接，如图所示


根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．
19．（2022南充中考）（4分）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是 　①②③　．（填写序号）

【分析】①正确．根据SAS证明三角形全等即可；
②正确．过点D作DT⊥CA1于点T，证明∠ADE+∠CDT＝45°，∠CDT＝∠BCA1即可；
③正确．连接PA，AC．因为A，A1关于DE对称，推出PA＝PA1，推出PA1+PC＝PA+PC≥AC＝，可得结论；
④错误．过点A1作A1H⊥AB于点H，求出EB，A1H，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°，
∴∠ABA1＝∠CBA2，
∵BA1＝BA2，
∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，
过点D作DT⊥CA1于点T，
∵CD＝DA1，
∴∠CDT＝∠A1DT，
∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDT＝45°，
∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，
∴∠CDT＝∠BCA1，
∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．
连接PA，AC．
∵A，A1关于DE对称，
∴PA＝PA1，
∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝，
∴PA1+PC的最小值为，故③正确，
过点A1作A1H⊥AB于点H，
∵∠ADE＝30°，
∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，
∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，
∵∠A1EB＝60°，
∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，
∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．
故答案为：①②③．

【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. （2022德阳中考） 如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么______．

【答案】
【解析】
【分析】根据D为AB中点，得到AD=CD=BD，即有∠A=∠DCA，根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，再根据CE⊥AB，求得∠A=∠BCE，即有∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，则有∠A=30°，在Rt△ACB中，即可求出AC，则问题得解．
【详解】∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵D为AB中点，
∴在直角三角形中有AD=CD=BD，
∴∠A=∠DCA，
根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°
∴∠A=30°，
∴在Rt△ACB中，BC=1，
则有，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°是解答本题的关键．
21. （2022兰州中考） 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．

【答案】
【解析】
【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。
【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF，，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm)，
故答案为∶．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
22. （2022河池中考） 如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_____．


【答案】##0.625
【解析】
【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出
∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出，再判断出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键．
23. （2022嘉兴中考） 如图，在廓形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．

【答案】 ①. 60°##60度 ②.
【解析】
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N

∵将沿弦折叠
∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴
∵
∴四边形MEOF中
即的度数为60°；
∵，
∴（HL）
∴
∴
∴
∵MO⊥DC
∴
∴
故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
24. （2022杭州中考）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．

【答案】 ①. 36 ②.
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
详解】解：∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO=∠BCO，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
设∠ECO=∠OCB=∠B=x，
∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，
∴∠CEB=2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠B=36°；
∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴，
∴CE2=EO•BE，
设EO=x，EC=OC=OB=a，
∴a2=x（x+a），
解得，x=a（负值舍去），
∴OE=a，
∴AE=OA-OE=a-a=a，
∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴，
∴．
故答案为：36，．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25. （2022濮阳一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上点，若，则折痕BG的长等于（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AP，根据两次折叠得到，，，根据勾股定理求出x，进而求出BG的长度．
【详解】解：连接AP，如下图．


∵把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，
∴．
∵第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上点，
∴，，
∴，．
在中
设,
则,
∴,
解得(负值不符合题意舍去),
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，理解折叠的性质是解答关键．
26.（2022新乡牧野三模） 在中，，，，点是的中点，点E，F分别是线段上任意两点，连接AE，DF，将和分别沿AE、DF折叠，点和点的对称点分别是点和点，当和点重合时，的长是______．


【答案】
【解析】
【分析】过点D作于M，过点F作FN⊥CD于N，设DN=4x．根据线段中点的性质和轴对称的性质求出和的长度，根据直角三角形的边角关系求出∠C的正切值，根据等腰三角形三线合一的性质，直角三角形的边角关系求出∠MAD的正切值，结合角的和差关系，平行线的判定定理和性质求出∠FDN的正切值，根据直角三角形的边角关系用x表示出FN和CN，进而根据CD的长度列出方程并求出x，最后根据勾股定理求出CF的值．
【详解】解：如下图所示，过点D作于M，过点F作FN⊥CD于N，设DN=4x．


∵AC=10，点D是AC中点，
∴AD=CD=5．
∵和分别沿AE、DF折叠，点和点的对称点分别是点和点，AB=8，∠BAC=90°，
∴，，，．
∴．
∵，
∴∠AMD=90°，，．
∴，
∴．
∵，
∴，即∠MDF=90°．
∴∠AMD=∠MDF．
∴．
∴∠FDN=∠MAD．
∴．
∴．
∴．
∴CD=DN+CN=．
∴．
∴．
∴，．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，平行线的判定定理和性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
27. （2022濮阳二模）如图，在中，，，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是____________．

【答案】
【解析】
【分析】以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，此时，BD的长度最小，即的周长最小，过点E作于点M，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】
在中，，，，
，
由勾股定理得，
如图，以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，
此时，BD的长度最小，
将沿对折得到，点E是的中点，
，
的周长，
此时，的周长最小，
过点E作于点M，
，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
，
的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形周长的最小值问题，涉及含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
28. （2022平顶山二模）如图，将正方形ABCD对折后展开，得折痕MN，连结MD．点E在边BC上，连接DE，将△DEC沿DE折叠，当点C的对应点C′落在∠DMN的边上时，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形ABCD的边长为a，ED与MN交于点P，再设PN=PQ=EC=x，根据sin∠DMN=，解方程得出x，进而求出EC即可求解．
【详解】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，ED与MN交于点P，

∵MN∥BC，且M为AB的中点，
∴，
过点P作PQ⊥DM于Q，
由折叠的性质知：DE平分∠CDM，
∴PN=PQ，
设PN=PQ=EC=x，
∴PM=MN-PN=a-x，
∵DM==，
∴sin∠DMN=，即，
解得x==，
经检验x=是原方程的解，
∴EC=2x=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理等，利用辅助线构造直角三角形利用正弦函数得线段比例关系是解题的关键．
29. （2022大同二模）如图，在矩形ABCD中，，点E是AB上一点，且，连接CE，点F是线段DC上一点，将沿AF折叠，使得点D的对应点落在线段CE上，则DF的长度为___________．


【答案】
【解析】
【分析】过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG=4，AH=3，DH=2，设DF=y，则由可得关于y的方程，解方程即可得到DF的值．
【详解】解：如图，过D'作D'G⊥AB于G，D'H⊥AD于H，连结DD'，


由题意可得EB=BC=5，
∴∠CEG=45°，
∴EG=GD'，设EG=GD'=x，
又由题意可得AD'=AD=5，AG=AE+EG=AB-BE+EG=1+x
∴在RT△AGD'中，，
解之可得GD'=x=3，
∴HD'=AG=4，AH=3，DH=2，
设DF=y，
则由可得：
，
解之可得y=，即DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．
30. （2022信阳一模）李明用一张矩形纸片玩折纸游戏.如图1.将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；如图2，将图1中的矩形纸片 ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕 EF，B'C'交AB于点M，CF交DE 于点N.已知AB=4，AD=3，则的值为____

【答案】
【解析】
【分析】连接，通过折叠的性质、正方形及矩形的性质，先证明得到与得到、，代入即可得到答案．
【详解】
连接
由图1得，四边形是正方形、四边形是矩形


四边形ABCD是矩形, AB=4，AD=3


由图2折叠可得，




在和中





故答案为：．
【点睛】本题属于矩形折叠类题目，涉及折叠的性质、正方形的判定及性质、矩形的判定及性质、直角三角形的全等判定及性质、相似三角形的判定及性质，能够综合利用上述知识是解题的关键．
31.（2022驻马店六校联考三模） 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．

【答案】8
【解析】
【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．
【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，

根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，
∴EF⊥PF，EB＝EF，
∵E是AB边的中点，AB＝10，
∴AE＝EF＝5，
∵AD＝BC＝12，
∴CE＝＝＝13，
∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
32. （2022河南社旗一模）如图，折叠矩形纸片ABCD时，进行如下操作：①把△BCE翻折使点B落在DC边上的点F处，折痕为CE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDH翻折使点D落在线段AE上的点G处，折痕为CH，点H在AD边上．若，BC=6，则EG的长为______．

【答案】2
【解析】
【分析】利用折叠的性质得EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，则可判断四边形BEFC为正方形，所以BE＝BC＝6，再根据折叠的性质得△AGH∽△BCG，根据相似比求出AG、AH、BG即可．
【详解】解：∵把△BCE翻折，点B落在DC边上的点F处，
∴EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，
∴四边形BEFC为正方形，
∴BE＝BC＝6，
∵把△CDH翻折，点D落在AE上的点G处，折痕为CH，
∴∠HGC＝90°，DH＝HG，CG＝CD，
∴∠CGB+∠AGH＝90°，
∵∠AHG +∠AGH＝90°，
∴∠CGB＝∠AHG，
∵∠B＝∠A＝90°，
∴△AGH∽△BCG，
∴，
∵BC=6，
∴AG=2，
设AH＝x，则DH＝HG＝6-x，
∴x2+22＝（6-x）2，
解得，
∴BG=3AH=8．
EG= BG- BE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形相似，依据相似三角形的性质求线段长．
33. （2022河南桐柏一模）如图1，在矩形ABCD中，，．第一步，如图2，在CD边上找一点E，将矩形沿AE折叠，点D落在AB边上点F处；第二步，如图3，在AB上找一点M，将沿CM折叠，得到，点N落在AE上，则MN的长为______．


【答案】##2.5##
【解析】
【分析】首先根据折叠的性质可知：四边形AFED是正方形，AC=BC=5，MN=BM，，再过点N作于点P，交DC于点Q，设AP=x，可得，，，，可证得，可求得，，最后由得到方程，解方程即可解答．
【详解】解：根据第一步折叠可知：AF=AD=EF=DE=5
四边形AFED是正方形

根据第二步折叠可知：NC=BC=5，MN=BM，
如图：过点N作于点P，交DC于点Q，设AP=x


四边形APQD是矩形，
，
，
，


，得
，


整理得：
解得，
经检验，都是原方程的解

不合题意舍去


故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定与性质，解分式方程，作出辅助线是解决本题的关键．